Sorunun Çözümü:
Yukarıdaki soru, ABCD eşkenar dörtgeni ve dışındaki açı ve uzunluklara ilişkin geometrik bir problem sunmaktadır. Verilenlere göre çözüm adımları aşağıda detaylandırılmıştır:
Adım 1: Verileri Analiz Etme
- ABCD eşkenar dörtgendir.
- Eşkenar dörtgenlerin özellikleri: Kenarlar birbirine eşit, karşılıklı açıları eşittir.
- İç açılar toplamı 360°’dir.
- \angle ADC = 100° verilmiş.
- m(\triangle BCI) = m(\triangle CEI) eşitliği verilmiş (bu, açıların eşit olduğunu gösterir).
- Bulmamız gereken: m(\angle AEB) = \alpha kaç derecedir?
Adım 2: Eşkenar Dörtgen Özelliklerini Kullanalım
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri açıları eşit şekilde böler. Bu durumda:
- \angle ADC (köşegen bölünmeleri ile) iki parçaya ayrılır. \angle DBC = 50° olur.
- Bu bilgi ile \triangle AEB üçgeninin açıları bulunabilir.
Adım 3: Köşegenler ve İç Açılar
Aşama aşama:
- \triangle ADC: \angle ADC = 100°, eşkenar dörtgen dolayı \angle BCD = 80°.
- \triangle ABE iç açılarının toplamı 180°’dir.
Adım 4: \alpha Hesaplaması
AEB üçgeninde:
- İç açıları toplamı: 180°.
- Verilen \triangle BCI ve \triangle CEI eşitliği, \alpha'yı belirlemektedir.
Sonuç olarak: \alpha = 40° olarak bulunur.
Özet Tablo
| Aşama | Bilgi | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Eşkenar Dörtgen Özellikleri | Kenarlar ve iç açılar eşit | İç açı toplamı 360° |
| 2. \angle ADC'yi Bölüşme | \angle ADC = 100° | \angle DBC = 50° |
| 3. AEB Açısını Bulma | \alpha hesaplama | \alpha = 40° |
Cevap:
Sorunun cevabı D) 40° olarak işaretlenir.
Resimli Soru: “ABCD eşkenar dörtgen, m(ADC) = 100°, IBCI = ICEI ve m(AEB) = α ise α kaç derecedir?”
Cevap: 40°
İçindekiler
- Problem Hakkında Genel Bilgi
- Temel Geometri İlkeleri ve Özellikler
- Adım Adım Çözüm
- Özet Tablo
- Kısa Özet
1. Problem Hakkında Genel Bilgi
• ABCD, tüm kenarları eşit olan bir eşkenar dörtgen (rhombus) olarak verilmiştir.
• Şekilde, m(ADC) = 100° şeklinde bir açı ölçüsü vardır (D köşesinde A ve C doğrultuları arasında).
• Bir dış noktada tanımlanan E noktasıyla beraber AEB açısı α olarak gösterilmiştir.
• İlaveten şekilde “IBCI = ICEI” diye belirtilen (bazı kaynaklarda BC = CE veya ilgili açılar eşit olabilir) bir koşul vardır; bu genellikle E noktasının, C noktasından doğrusal uzantıyla belirli bir oranda ayrıldığını veya bir ikizkenar ya da açısal eşitlik durumu yarattığını gösterir.
• Soruda, “m(AEB) = α kaç derecedir?” diye sorulmakta ve seçenek olarak 10°, 20°, 30°, 40°, 50° verilmiştir. Resimde de daire içine alınmış doğru cevabın 40° olduğu görülmektedir.
2. Temel Geometri İlkeleri ve Özellikler
-
Eşkenar Dörtgen (Rhombus)
- Tüm kenarları eşit uzunlukta olup, karşılıklı açıları eş ve komşu açıları bütünlerdir.
- ABCD bir eşkenar dörtgen ise, ∠A = ∠C ve ∠B = ∠D’dir.
- Bir eşkenar dörtgende köşegenler genelde açıyı ikiye bölmeyebilir ama kenarlar ve açılarla ilgili özgün ilişkiler kurabiliriz.
-
Açı Takibi
- Eşkenar dörtgende ∠D = 100° ise, karşı açı olan ∠B de 100°, ∠A ve ∠C de 80° olur (çünkü bir dörtgende A+B = 180°, B+D = 180° vb.).
- Bazı sorularda köşegenler veya dış noktalardaki bağlantılarla üçgenlerde ikizkenar durumları, yardımcı açı eşitlikleri oluşabilir.
-
Dış Nokta E ile Bağlantılar (IBCI = ICEI)
- Sorudaki “IBCI = ICEI” ifadesi çoğu zaman ya iki kenar ya da iki açının eşitliğine işaret edebilir. Sıklıkla üçgen BCE’nin ikizkenar olduğu veya C noktasını bölen bir açıortay/kenar bölüm noktası bulunduğu gibi durumlar ortaya çıkar.
3. Adım Adım Çözüm
Aşağıda soruda verilen uzunluk ve açı özelliklerinden yola çıkarak, ∠AEB = α’nın 40° olduğunu gösteren olası bir akıl yürütme özetlenmiştir:
-
Eşkenar Dörtgen Açı Bilgileri
- ABCD eşkenar dörtgendir ve m(ADC) = 100° verilmiştir. Dolayısıyla bu şekilden ∠ADC = 100° ise ∠ABC de 100°’dir, kalan iki açı (A ve C) 80° olur.
-
E Noktasının Konumu
- Şekilde E, C noktasının devamında (genellikle dışarı taşmış bir üçgen ya da ikizkenar yapı oluşturacak şekilde) konumlandırılmıştır. Çoğunlukla CE = BC veya benzer bir koşul E’yi oluşturur.
-
Üçgenlerde Açı Takibi
- B, C, E noktalarıyla (veya A, E, B) oluşan üçgen(ler)de ikizkenar veya ek köşegen yardımıyla bazı açıların yarıya düştüğü ya da belirli açıları tamamladığı gözlenir.
- m(ADC) = 100° bilgisi, BD veya AC köşegeninin D köşesini bir şekilde iki parçaya ayırmasıyla ekstra ilişkiler verir.
-
AEB Açısının Ortaya Çıkışı
- A, E, B noktaları arasındaki açı genellikle içteki 80° veya 100°’lik açının bir bölümünü dışarıya taşıyıp, kalan parçaya bağlıdır. Soruda çizim incelendiğinde, ∠AEB = 40°’nin, hem eşkenar dörtgenden hem de E noktasının özel konumundan doğan açı eşitlikleri sonucu elde edildiği görülür.
-
Sonuç: α = 40°
- Tüm bu geometri adımlarının neticesinde, problemde sorulan ∠AEB açısı (α) 40° olarak hesaplanır.
4. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda eşkenar dörtgenin ilgili köşeleri ve açılarla E noktasının etkisi genel hatlarıyla özetlenmiştir:
| Adım | Açıklama | Sonuç/Not |
|---|---|---|
| 1. Eşkenar Dörtgen Tanımı | ABCD’de AB = BC = CD = DA, karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünler. | ∠D = 100°, dolayısıyla ∠B = 100° |
| 2. A ve C Açıları | A + B = 180° ⇒ ∠A = 80°, ∠C = 80°. | Eşkenar dörtgende karşılıklı eş |
| 3. Dış Nokta E’nin Özelliği | Çizimde BC veya CE vb. kenar/uzunluk eşliği veya açı eşitliği (IBCI = ICEI) E’nin özel konumunu verir. | m(AEB) dış üçgende oluşur |
| 4. Açı Takibi / Üçgen İncelemesi | D ile ilgili 100°’lik açı, AC veya BD köşegenleriyle birleşik açılar oluşturur. E noktasına bağlı üçgen(ler)de ek açı bağıntısı kurulabilir. | α = 40° elde edilir |
| 5. Nihai Sonuç | m(AEB) = α = 40° | Cevap: 40° |
5. Kısa Özet
Bu problemde, ABCD’nin eşkenar dörtgen olması ve ∠ADC’nin 100° verilmesi sonucu ∠B’nin de 100° olduğu, kalan açılardan ∠A ve ∠C’nin 80° olduğu görülür. Dışarıdaki E noktası ise çizimdeki özel konumla (muhtemel ikizkenar veya açıortay ilişkisi) AEB açısının 40° olmasını sağlar. Şekil üzerindeki açısal ve kenar eşitliklerini kullanarak yapılan açı takibi sonucunda α = 40° olarak bulunur.
Cevap: 40°