SORU: ABCD karesinde verilen bilgilerle |CH| = x kaç metredir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dik üçgenlerde Pisagor Teoremi
- Vektör ve koordinat sisteminde 90° dönüşlerde yön değişimi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şekli ve verilen uzunlukları incele
Kare ABCD var.
|AE| = 12 m, |EF| = 9 m, |FG| = 5 m olarak verilmiş.
Adım 2 — Yön değişiminde 90° dönüşlerini kullan
Sincap A’dan E, E’den F, F’den G, G’den H’ye giderken her noktada 90° döner.
Bu, E-F-G noktaları arasında çizilen yolların birbirine dik olduğunu gösterir.
Adım 3 — Bileşenleri kullanarak koordinat sistemi gibi düşün
- AE, AD kenarına paralel 12 m
- EF, BF kenarına paralel 9 m
- FG, BC kenarına paralel 5 m
Her dönüş 90° olduğu için AE, EF, FG kenarları birbirine dik.
Adım 4 — |CH| uzunluğunu bulmak için vektör toplamı yapalım
CA vektörünü şu şekilde parçalara ayırabiliriz:
CA = CE + EG + GH
Ama verilenlerde H noktası bilinmediği için, H noktası G’den 90° dönerek çizilmiş.
Burada dikkat: G’den H’ye 90° dönme sonucunda H noktası C ile birleşiyor (şekilde).
Adım 5 — Karekök ile uzunluğu bulalım
|CE| nin uzunluğu
- E noktası A’dan 12 m aşağıda ve 9 m sağda ise, CE = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 m
|EG| = |FG| = 5 m (görselde FG belirtilmiş, EG aynı hizada)
Toplamda CH = CE + EG + GH gibi olabilir ama şekle göre
|CH| = x olarak verilmiş.
Adım 6 — Pisagor Teoremi ile son uzunluk
CH boyunca toplam mesafeyi bulmak için:
CH = √[(EF + FG)² + AE²]
= √[(9 + 5)² + 12²]
= √[14² + 12²]
= √[196 + 144]
= √340 ≈ 18.44
Ama seçeneklerde 18 olduğundan en yakın değer A şıkkı 18
Ama kontrol edelim:
Gözlemden E ve F arası dik, F ve G arası dik ise
Toplamda C’den H’ye olan mesafe |CH|, 9+5=14 m kadar yatay mesafe ve 12 m kadar dikey mesafe.
Bu yüzden:
Yaklaşık 18 metredir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 18
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
SORU: ABCD kare parkta; |AE| = 12 m, |EF| = 9 m, |FG| = 5 m veriliyor. Sincap E, F, G noktalarında 90° dönüyor. Şekilde x ile gösterilen uzunluk kaç metredir? (Şıklar: A)18 B)20 C)24 D)25 E)30)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL: Vektör toplama ve dik açılı dönüşlerde koordinat yöntemi (her segmenti x ve y bileşenlerine ayırma).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinat sistemi ve açının belirlenmesi
- Kareyi şu koordinatlarla alalım: A(0,s), B(0,0), C(s,0), D(s,s).
- AE yönünü +x ekseni ile açı θ olarak alalım; AE = 12(\cos\theta,\sin\theta).
- EF, AE’ye dik olduğundan EF = 9(\sin\theta,-\cos\theta) (uç yönünü şekle göre seçiyoruz).
- F noktası sol kenarda olduğu için x koordinatı 0 olmalıdır:
x_F = 12\cos\theta + 9\sin\theta = 0.
Bu denklemden \tan\theta = -\dfrac{12}{9} = -\dfrac{4}{3}. - Bu durumda \cos\theta = \dfrac{3}{5}, \sin\theta = -\dfrac{4}{5}.
Adım 2 — E ve F koordinatlarının hesaplanması
- E = A + AE = \big(12\cos\theta,\; s+12\sin\theta\big)
= \big(12\cdot\dfrac{3}{5},\; s+12\cdot(-\dfrac{4}{5})\big)
= \big(\dfrac{36}{5},\; s-\dfrac{48}{5}\big). - EF = 9(\sin\theta,-\cos\theta)=\big(9\cdot(-\dfrac{4}{5}),\; -9\cdot\dfrac{3}{5}\big)
= \big(-\dfrac{36}{5},\; -\dfrac{27}{5}\big). - F = E + EF = \big(\dfrac{36}{5}-\dfrac{36}{5},\; s-\dfrac{48}{5}-\dfrac{27}{5}\big)
= \big(0,\; s-\dfrac{75}{5}\big) = (0,\; s-15).
Adım 3 — G noktasının ve karenin kenar uzunluğunun bulunması
- FG, AE yönünde (aynı doğrultuda) olduğu için FG = 5(\cos\theta,\sin\theta)
= 5\big(\dfrac{3}{5},-\dfrac{4}{5}\big) = (3,-4). - G = F + FG = (0+3,\; s-15-4) = (3,\; s-19).
- G noktası alt kenardadır (y = 0) olduğuna göre s-19 = 0 \Rightarrow s = 19 m.
(Karenin bir kenarı 19 m.)
Adım 4 — GH uzunluğunun ve H noktası koordinatının bulunması
- FG = (3,−4) ile dik olan yön, (4,3) vektörüdür; birim vektörü \big(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\big).
- GH uzunluğunu k diye alalım; o zaman GH = k\big(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\big).
- G(3,0) olduğuna göre H = G + GH = \big(3+\tfrac{4}{5}k,\; 0+\tfrac{3}{5}k\big).
- H noktasının sağ kenarda olması gerekir (x = s = 19):
3+\tfrac{4}{5}k = 19 \Rightarrow \tfrac{4}{5}k = 16 \Rightarrow k = 20 m. - Bu durumda H koordinatı H = \big(19,\; \tfrac{3}{5}\cdot20\big) = (19,12).
Adım 5 — İstenen uzunluk ve son not
- Bulduğumuz GH = k = 20 m.
- H noktasının y-koordinatı 12 olduğundan, CH (C(19,0) ile H(19,12) arası dikey uzaklık) = 12 m.
- Şıklar arasında verilen değerlere bakıldığında ve şekildeki “x” etiketi eğik segmente (G→H) yerleştirilmiş olduğundan problemi şekle göre yorumlarsak x = GH = 20 m (B şıkkı).
(Not: Eğer soru gerçekten dikey CH ise onun uzunluğu 12 m’dir; fakat şıklar ve şekil GH = 20 m ile uyumludur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 20 m
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?