Soru Analizi ve Çözümü: Kare Alanı ve Çevre Uzunluğu Problemi
Önemli Noktalar
- Verilen ifade, bir karenin alanını ifade etmektedir: x^2 + 8x + 16
- Alan formülü: \text{Alan} = \text{kenar}^2
- Çevre formülü: \text{Çevre} = 4 \times \text{kenar}
- Çevre uzunluğu 32 birim olarak verilmiş
- x pozitif tam sayı olarak alınabilir
Verilen:
Alan A = x^2 + 8x + 16
Çevre P = 32
İçindekiler
- Denklemin Çözümü ve Kenar Uzunluğu
- Çözüm Adımları ve Pozitif Tam Sayıların Belirlenmesi
- Karşılaştırma Tablosu: Alan ve Çevre İlişkisi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Denklemin Çözümü ve Kenar Uzunluğu
Alan ifadesini inceleyelim:
Bu, bir karenin alanı olarak düşünülebilir; kenar uzunluğu x + 4 birimdir.
Çevre uzunluğu 32 birim olduğuna göre:
Buradan:
2. Çözüm Adımları ve Pozitif Tam Sayıların Belirlenmesi
Soru, x değerinin alabileceği pozitif tam sayı sayısını sormaktadır.
Formül:
Çevre ve alanı sağlayan pozitif tam sayılar için:
Ancak, soruda alan küçüktür ifadesi var: “alanın çevre uzunluğunun 32 birimden küçük olduğu biliniyor.”
Buna göre:
Yani alan < çevre bölü 4 ile kenar mı yoksa alan < çevre mi, soruda alanın çevresinden küçük olduğu belirtilmiş.
Ama çevrenin birimi 32 olduğuna göre, çevre P=32, kenar k=8, alan k^2=64.
Burada:
Alan çevreden küçük olmalıdır:
Yani:
Pozitif tamsayılar için x=1.
Ancak x \in \mathbb{Z}^+ olduğuna göre x=1 tek geçerli pozitif tam sayı.
Sonuç:
x’in alabileceği pozitif tam sayı sayısı: 1
3. Karşılaştırma Tablosu: Alan ve Çevre İlişkisi
| Özellik | Alan (x+4)^2 | Çevre 4(x+4) |
|---|---|---|
| Formül | Alan = Kenar² | Çevre = 4 × Kenar |
| Sınır | Alan < 32 | Çevre = 32 |
| Kenarı bulma | x+4 < 5.656 | x+4 = 8 |
| x için pozitif tam sayı | x < 1.656 ⇒ x=1 | — |
4. Özet Tablo
| Unsur | Değer |
|---|---|
| Alan denklemi | (x+4)^2 |
| Çevre uzunluğu | 32 birim |
| Pozitif tam sayı olan x değeri sayısı | 1 |
| Geçerli x değeri | x=1 |
5. Sık Sorulan Sorular
1. Alanın çevreden küçük olması ne anlama gelir?
Alan, kenarın karesiyken çevre, kenarın dört katıdır. Alanın çevreden küçük olması, kenarın belirli bir değerden küçük olduğunu gösterir.
2. Pozitif tam sayı nedir?
Pozitif tam sayılar, 1, 2, 3,… gibi sıfırdan büyük ve kesir içermeyen sayılardır.
3. Bu tür sorularda en önemli adım nedir?
Denklemleri gerçek kare kenar uzunluğu ile ilişkilendirmek ve koşullara göre eşitsizlikleri doğru çözmek gerekir.
Sonraki Adımlar
Başka tür polinom denklemleri içeren alan-cevre problemlerinde çözüm stratejilerini öğrenmek ister misiniz?
Farklı geometrik şekillerde benzer problemlerin nasıl çözüldüğünü görmek ilginizi çeker mi?
x pozitif gerçek olmak üzere, (x^2 + 8x + 16) birim² alanlı karenin çevresi 32 birimden küçük olduğuna göre, x’in alabileceği pozitif tam sayı değerleri toplamı kaçtır?
Önemli Noktalar
- Karenin alanı x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 olur.
- Bir kenar uzunluğu x + 4, çevresi ise 4(x + 4)\!<\!32 eşitsizliğinden x<4 koşulunu verir.
- Pozitif tam sayılar 1,2,3 olduğundan toplamları 1+2+3=6 dır.
Cevap
Karenin bir kenarı x+4 olduğuna göre
Pozitif tam sayılar 1,2,3 olduğundan istenen toplam $6$’dır.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Alan ifadesini açarakx^2 + 8x + 16=(x+4)^2olduğunu görürüz.
- Karenin bir kenarı s=\sqrt{(x+4)^2}=x+4 (çünkü x>0).
- Çevresi P=4s=4(x+4) formülünden4(x+4)<32\;\Rightarrow\;x<4.
- Pozitif tam sayılar x=1,2,3 olabilir. Bunların toplamı 1+2+3=6.
Özet Tablosu
| Özellik | İfade | Koşul |
|---|---|---|
| Alan | (x+4)^2 | – |
| Kenar uzunluğu | x+4 | – |
| Çevre | 4(x+4) | <32\;\Rightarrow\;x<4 |
| Pozitif tam x | 1,\,2,\,3 | Toplam = 6 |
SSS
Soru: Alan neden (x+4)^2 olarak yazıldı?
Cevap: x^2+8x+16 ifadesi tam kare açılımıdır: (x+4)^2.
Soru: Neden x=4 alınamaz?
Cevap: Çevre eşitsizliği 4(x+4)<32 olduğundan eşitlik değil “küçüktür” şartıyla x<4.
Soru: Pozitif tam sayı tanımı nedir?
Cevap: 1, 2, 3, … şeklinde 0’dan büyük ve kesir içermeyen sayılar.
Soru: x negatif olsa ne olurdu?
Cevap: Soru “x ∈ ℝ⁺” yani pozitif gerçek demektedir, negatifler kabul edilmez.
Yeni benzer sorularla pratik yapmak ister misiniz? @Fatma75