Resimli Soru 26-01-2026 13:44:59

YKS TYT
1

17694243265311680864967972325283
176942432653116808649679723252831200×1600 107 KB

2

Denklem Çözümü: Karekök ve Küpkök İçeren Üs Problemi

Önemli Noktalar

  • Üstlü ifadelerde tabanların aynı üsler şeklinde yazılması eşitlik kurulmasını kolaylaştırır
  • Karekök ve küpkök derecelerini üs olarak ifade etmek gerekir (örneğin, \sqrt[4]{a} = a^{1/4})
  • 81 sayısı 3’ün 4. kuvveti olduğu için kolayca taban olarak yazılabilir

Denklem:

\sqrt[4]{27^{3x-1}} = \sqrt[3]{81}

olarak verilmiştir. Burada, kök ifadeleri üslerle ifade edelim:

  • Soldaki ifade: 27^{3x-1}'in 4’üncü kökü = 27^{\frac{3x-1}{4}}
  • Sağdaki ifade: 81^{1/3}

Şimdi tabanları ortak üsler şeklinde yazalım:

  • 27 = 3^3
  • 81 = 3^4

Buna göre:

(3^3)^{\frac{3x-1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{3}}

Üsleri çarpalım:

3^{\frac{3(3x-1)}{4}} = 3^{\frac{4}{3}}

Tabanlar aynı olduğunda üsler eşittir:

\frac{3(3x-1)}{4} = \frac{4}{3}

Şimdi eşitliği çözelim:

3(3x -1) = \frac{4}{3} \times 4 = \frac{16}{3}

Ama bu yanlış oldu, dikkat!

Doğru adım:

\frac{3(3x -1)}{4} = \frac{4}{3}

Her iki tarafı 12 ile çarparak paydalardan kurtulalım:

12 \times \frac{3(3x-1)}{4} = 12 \times \frac{4}{3}
3 \times 3(3x-1) = 4 \times 4
9(3x -1) = 16
27x - 9 = 16
27x = 25
x = \frac{25}{27}

Sonuç:

\boxed{x = \frac{25}{27}}

Özet

  • Karekök ve küpkök ifadeleri üs olarak yaz
  • Sayıları aynı tabana çevir (3 tabanı)
  • Üsleri eşitle ve çöz

Başka matematik sorusu çözelim mi? @Halime7

3

Soru: √[4]{27^{x-1}} = √[3]{81} ise x kaçtır?

Önemli Tespitler:

    1. dereceden kök, üsü \tfrac{1}{4} ile; 3. dereceden kök ise üsü \tfrac{1}{3} ile gösterir.
  • 27=3^3 ve 81=3^4 olarak ifade edilebilir.
  • Eşit tabanlı üslü ifadelerde üstel değerler karşılaştırılarak çözüm yapılır.

Doğrudan Cevap:
x = \tfrac{25}{9}

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. 4. ve 3. Dereceden Köklerin Karşılaştırması
  3. Özet Tablosu
  4. Sıkça Sorulan Sorular

1. Çözüm Adımları

  1. Kökleri üs şeklinde yazalım:

    \sqrt[4]{27^{\,x-1}} = \bigl(27^{\,x-1}\bigr)^{\tfrac{1}{4}}, \quad \sqrt[3]{81} = 81^{\tfrac{1}{3}}.

  2. Tabanları 3 biçiminde ifade edelim:

    27 = 3^3 \quad\Rightarrow\quad (3^3)^{x-1} = 3^{3(x-1)},
    81 = 3^4 \quad\Rightarrow\quad 81^{\tfrac{1}{3}} = (3^4)^{\tfrac{1}{3}} = 3^{\tfrac{4}{3}}.

  3. Üstel ifadeleri yerine koyalım:

    \bigl(27^{\,x-1}\bigr)^{\tfrac{1}{4}} = \bigl(3^{3(x-1)}\bigr)^{\tfrac{1}{4}} = 3^{\tfrac{3(x-1)}{4}} = 3^{\tfrac{4}{3}}.

  4. Tabanlar aynı olduğuna göre üsleri eşitleyelim:

    \frac{3(x-1)}{4} = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad 3(x-1) = \frac{16}{3} \quad\Longrightarrow\quad x-1 = \frac{16}{9} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{25}{9}.

2. 4. ve 3. Dereceden Köklerin Karşılaştırması

Özellik 4. Dereceden Kök 3. Dereceden Kök
Gösterim \sqrt[4]{a}=a^{\tfrac{1}{4}} \sqrt[3]{a}=a^{\tfrac{1}{3}}
Taban koşulu a\ge0 Her gerçek sayı olabilir
Negatif sonuç Her zaman pozitif Negatif de olabilir
Üs ile dönüşüm Kök derecesi payda Kök derecesi payda

3. Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Kökü üs şeklinde yazma \sqrt[4]{27^{x-1}}=(27^{x-1})^{1/4} –
Tabanları 3’ün kuvveti yapma 27^{x-1}=3^{3(x-1)}, 81=3^4 –
Üsleri eşitleme \tfrac{3(x-1)}{4}=\tfrac{4}{3} x-1=\tfrac{16}{9}
Sonuç – x=\tfrac{25}{9}

4. Sıkça Sorulan Sorular

S1. Kökü üs şeklinde ifade etmek neden işe yarar?
C1. Üslü ifadeler tek tip gösterime dönüştüğünde, tabanlar eşitlenip üsler karşılaştırılarak doğrudan çözüm yapılır.

S2. Farklı tabanlı üslü ifadelerde nasıl ilerlenir?
C2. Tabanları ortak bir değere (ör. 2, 3, 5…) indirgeyip ardından üsleri karşılaştırmak gerekir.

S3. Çözümü kontrol etmek için ne yapılabilir?
C3. Bulduğunuz x değerini orijinal denkleme geri koyarak her iki tarafın eşit olup olmadığına bakabilirsiniz.

Başka bir üs ve kök problemi çözmek ister misiniz? @Halime7