Resimli Soru 26-01-2026 13:29:42

YKS TYT
1

17694233877354815212324187048130
176942338773548152123241870481301200×1600 116 KB

2

Soru İncelemesi: \frac{1}{\sqrt{2}-1} + \frac{1}{\sqrt{2}+1}=?

Önemli Noktalar

  • İki kesrin paydasını rasyonel hale getirmek için eşlenik çarpan kullanılır
  • Paydalar eşlenik olduğunda bu terimlerin toplamı basit bir sayı haline gelir
  • Karekök içeren ifadelerde sıklıkla bu tür sadeleştirmeler kullanılır

İfade \frac{1}{\sqrt{2}-1} + \frac{1}{\sqrt{2}+1} sadeleştirilirse, paydalarının eşlenik olması nedeniyle ortak payda oluşturulacak ve işlem kolaylaşacaktır.

İçindekiler

  1. İfadeyi Payda Sadeleştirme
  2. Toplama İşlemi
  3. Sonuç ve Açıklama

1. İfadeyi Payda Sadeleştirme

Her iki kesri de paydasındaki karekökten kurtarmak için eşlenikleriyle genişletelim:

\frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 -1} = \sqrt{2} + 1

Benzer şekilde,

\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 -1} = \sqrt{2} - 1

:light_bulb: Pro İpucu: Bu tür ifadelerde payda eşlenik çarpan sayesinde a^2 - b^2 formu kullanılarak kolayca sadeleştirme yapılır.

2. Toplama İşlemi

Şimdi sadeleşmiş formları toplayalım:

(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1 = 2 \sqrt{2}

3. Sonuç ve Açıklama

Bulduğumuz değer:

\boxed{2 \sqrt{2}}

Yani ifade toplamı 2 \sqrt{2}'dir.

Özet Tablo

İşlem Adımı Sonuç
\frac{1}{\sqrt{2}-1} sadeleştirme \sqrt{2} + 1
\frac{1}{\sqrt{2}+1} sadeleştirme \sqrt{2} - 1
Toplam 2 \sqrt{2}

Sık Sorulan Sorular

1. Paydaları eşlenik çarpanla genişletmek neden önemli?
Paydada karekök varsa, eşlenik çarpanla genişleterek payda rasyonel sayıya dönüşür, bu da işlem yapmayı kolaylaştırır.

2. Bu yöntem başka hangi durumlarda kullanılır?
Karekök ve benzeri irrasyonel ifadeler payda veya payda varsa, rasyonel hale getirmek için standarttır.

3. \sqrt{2} sayısını içeren işlemlerde dikkat edilmesi gerekenler nelerdir?
Kök içindeki ifadeye negatif değer verilmez, payda sadeleştirilirken işaretlere dikkat edilmelidir.

Sonraki Adımlar

Benzer ifadelerde payda sadeleştirmeyi daha hızlı yapabilmek için “eşlenik çarpan yöntemi”ne dair örnek çözüm ister misiniz?
Ya da kara kök içeren diğer cebirsel ifadelerin sadeleştirme tekniklerini detaylı öğrenmek ister misiniz?

@Halime7

3

1/√2 + 1/(√2 + 1) ifadesinin değeri nedir?

Temel Çıkarımlar

  • 1/√2 ifadesi rasyonelleştirildiğinde \sqrt{2}/2 olarak yazılır.
  • 1/(√2 + 1) ifadesini rasyonelleştirerek √2 – 1 elde ederiz.
  • Bu iki değerin toplamı (3√2 – 2)/2 formunda sadeleşir.

1/√2 + 1/(√2 + 1) ifadesinin değeri $\frac{3\sqrt{2} - 2}{2}$’dir.

İçindekiler

  1. Adım Adım Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Adım Adım Çözüm

  1. 1/\sqrt{2} ifadesini önce paydayı rasyonelleştiririz:
    \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
  2. 1/(\sqrt{2}+1) ifadesini rasyonelleştirmek için pay ve paydayı (\sqrt{2}-1) ile çarparız:
    \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1.
  3. İfadeleri topladığımızda:
    \frac{\sqrt{2}}{2} + (\sqrt{2}-1) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} - 1 = \frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{3\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{3\sqrt{2} - 2}{2}.

Özet Tablosu

İfade Düzenlenmiş Hali
1/\sqrt{2} \sqrt{2}/2
1/(\sqrt{2}+1) \sqrt{2}-1
Toplam \displaystyle\frac{3\sqrt{2}-2}{2}

SSS

Soru: Rasyonelleştirme nedir?
Cevap: Kareköklü ifadelerde paydada kök kalmaması için pay ve paydayı uygun şekilde düzenleme işlemidir.

Soru: 1/(\sqrt{2}+1) nasıl rasyonelleştirilir?
Cevap: Pay ve paydayı (\sqrt{2}-1) ile çarparak paydayı 2-1=1 şekline getiririz.

Soru: 1/\sqrt{2} neden \sqrt{2}/2 olur?
Cevap: Paydada kök olduğu için pay ve paydayı \sqrt{2} ile çarparız: \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Soru: İfadeyi sadeleştirirken nelere dikkat etmeli?
Cevap: Payda rasyonel hale getirilmeli; toplama işlemlerinde payda eşitlenmeli; en son sade haline bakılmalı.

Bu ifadeyi benzer yöntemlerle pekiştirmek için birkaç köklü ifade alıştırması çözmek ister misiniz?
@Halime7