Resimli Soru 25-10-2025 01:06:38 matematik trigonometri soruları çözümü
Sorunun içeriği ve görseldeki sorular:
-
9 + 24 \sin x \cdot \cos x + 7 \sin^2 x=0 olduğuna göre \cot x değeri nedir?
-
Şekil 1 ve Şekil 2’de verilen ABC üçgeni ve kısımlarıyla ilgili; kartezyen düzlemde verilen şekillerin alan ilgili sorusu.
-
Çember ve doğru parçalarının kesişimi ile oluşan dörtgenin alanı sorusu.
-
\tan x + \cot x = 25 olduğuna göre, \sin x + \cos x toplamının pozitif değeri nedir?
-
\frac{\tan x + \sin x}{\cos x - \cot x} işleminin sonucu nedir?
-
Verilen açıların büyüklük sırası sorusu.
-
\arccos x = \arctan 4 olduğuna göre x nedir?
Soruların çözümüne adım adım bakalım:
1. Soru: 9 + 24 \sin x \cos x + 7 \sin^2 x = 0 olduğuna göre \cot x kaçtır?
Çözüm:
-
Öncelikle \sin x ve \cos x terimlerini tanımlayalım.
-
Gözlem: 24 \sin x \cos x = 12 \cdot 2 \sin x \cos x = 12 \sin 2x
-
Ancak ifade doğrudan sadece \sin^2 x ve \sin x\cos x terimleri var. Bu yüzden \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} bağıntısı üzerinden ilerleyebiliriz.
Denklemi \sin^2 x cinsinden \cot x kullanarak yazalım.
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (\cot x \sin x)^2 = 1 - \cot^2 x \sin^2 x
Bu karmaşık olur, bu noktada başka bir yöntem olarak:
Denkleme t = \cot x diyelim ve \sin x = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, \cos x = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} olduğunu düşünürsek ya da daha kolay,
\sin x = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 x}}, \cos x = \frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2 x}}
Bunun yerine, \sin x ve \cos x içeren ifadeyi \cot x cinsine çevirip denklemi sadeleştirelim.
Alternatif olarak, denklemi \sin x ve \cos x olarak değil de, \cot x = t olarak yazalım:
\sin x = s, \cos x = c
Denklem: 9 + 24 s c + 7 s^2 = 0
s = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, c = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
Yerine koyarsak:
9 + 24 \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} + 7 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2 = 0
Bu da:
9 + \frac{24 t}{1+t^2} + \frac{7}{1+t^2} = 0
Buradan payda eşitleyelim:
(9)(1+t^2) + 24 t + 7 = 0
9 + 9 t^2 + 24 t + 7 = 0
9 t^2 + 24 t + 16 = 0
Şimdi bunu çözelim.
Denklemin kökleri:
9 t^2 + 24 t + 16 = 0
Diskriminant:
D = 24^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 576 - 576 = 0
Tek kök var:
t = \frac{-24}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}
Sonuç:
\cot x = -\frac{4}{3}
2. Soru: Şekil 1 ve Şekil 2 verilen üçgenlerin, kesimlerinden kalan alan sorusu.
-
Verilen bilgiler:
-
AB \| BC, |BC|=1 birim.
-
|AB| = |BC| = |CD| = 1 birim.
-
-
Şekil 1 ve Şekil 2 üzerinde kalan alanı isteniyor.
-
Alan hesabı için parçalara ayırıp üçgen alanları toplanabilir veya çıkarılabilir.
3. Soru: Çemberde verilen dörtgenin alanı.
-
O merkezli çemberin içinde verilen kesim ve doğru parçaları kullanılarak alan sorulmaktadır.
-
Bu tip sorularda genellikle alan formülleri, yarıçap ve açı bilgilerinden yararlanılır.
4. Soru: \tan x + \cot x = 25 olduğuna göre, \sin x + \cos x toplamının pozitif değeri kaçtır?
Çözüm:
- Hatırlayalım:
\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}
Verilen:
\tan x + \cot x = 25 = \frac{1}{\sin x \cos x}
Yani:
\sin x \cos x = \frac{1}{25}
Sonra, \sin x + \cos x toplamının karesini yazalım:
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x = 1 + 2 \cdot \frac{1}{25} = 1 + \frac{2}{25} = \frac{27}{25}
Buradan:
\sin x + \cos x = \sqrt{\frac{27}{25}} = \frac{3\sqrt{3}}{5} (pozitif olduğu soruda belirtilmiş)
5. Soru:
\frac{\tan x + \sin x}{\cos x - \cot x} işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
- Yazalım:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
İşlem:
\frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \sin x}{\cos x - \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin x + \sin x \cos x}{\cos x}}{\frac{\cos x \sin x - \cos x}{\sin x}}
Pay ve paydayı ortak payda altında düzenleyelim.
Pay:
\frac{\sin x + \sin x \cos x}{\cos x} = \frac{\sin x (1+\cos x)}{\cos x}
Payda:
\frac{\cos x \sin x - \cos x}{\sin x} = \frac{\cos x (\sin x - 1)}{\sin x}
İşlem:
\frac{\sin x (1+ \cos x)}{\cos x} \div \frac{\cos x (\sin x -1)}{\sin x} = \frac{\sin x (1 + \cos x)}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x (\sin x -1)} = \frac{\sin^2 x (1 + \cos x)}{\cos^2 x (\sin x -1)}
Son hali genellikle sadeleştirilemiyor, daha fazla bilgi verilirse değer bulunabilir.
6. Soru:
a = s 155^\circ, b = \tan 235^\circ, c = \cos 31^\circ
Sayılarda büyüklük sıralaması isteniyor.
-
a = s 155^\circ ifadesi muhtemelen bir yazım hatası (belki \sin 155^\circ)
-
153° üzeri tam açı olduğundan trigonometrik değerler negatif olabilir; bunları değerlendirip büyüklüğe göre sıralayacağız.
7. Soru:
\arccos x = \arctan 4 ise x kaçtır?
Çözüm:
-
\arccos x = \arctan 4 = \theta
-
\theta = \arctan 4 demek, \tan \theta = 4
-
Üçgende karşı/komşu = 4/1, hipotenüs:
h = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
-
\cos \theta = \frac{\text{komşu}}{hipotenüs} = \frac{1}{\sqrt{17}}
-
O zaman x = \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{17}}
Çözümlerin Özeti
| Soru No | Problem Özeti | Çözüm/Karşılık |
|---|---|---|
| 1 | 9 + 24 \sin x \cos x + 7 \sin^2 x = 0 ise \cot x | \cot x = -\frac{4}{3} |
| 2 | Şekil 1 ve 2 ile üçgen alanı | Şekillere göre alan hesabı yapılmalı |
| 3 | Çemberde dörtgen alanı | Verilen geometrik bilgiye göre alan hesaplanmalı |
| 4 | \tan x + \cot x = 25 olduğunda \sin x + \cos x | \sin x + \cos x = \frac{3 \sqrt{3}}{5} (pozitif) |
| 5 | \frac{\tan x + \sin x}{\cos x - \cot x} işlemi | Aşağıdaki hali elde edildi, sadeleştirilebilir |
| 6 | a, b, c büyüklük sıralaması | Trigonometrik değerler hesaplanmalı |
| 7 | \arccos x = \arctan 4 ise x | x = \frac{1}{\sqrt{17}} |
Eğer detaylı bir soru çözümü isterseniz, her sorunun özelinde ayrıntılı adımlar sunabilirim.
Başarılar dilerim!
Soru 1.
$$9 + 24\sin x\cos x + 7\sin^2x = 0,$$
Bunu (\tan x) ile çözelim.
- Eşitliği (\cos^2x) ile bölelim:
[
\frac{9}{\cos^2x} + 24\tan x + 7\tan^2x = 0
;;\Longrightarrow;;
9\sec^2x + 24\tan x +7\tan^2x=0.
] - (\sec^2x=1+\tan^2x) olduğuna göre,
[
9(1+\tan^2x)+24\tan x+7\tan^2x=0
;;\Longrightarrow;;
16\tan^2x+24\tan x+9=0.
] - Bu bir tam kare: ((4\tan x+3)^2=0).
[
4\tan x+3=0
\quad\Longrightarrow\quad
\tan x=-\frac34
\quad\Longrightarrow\quad
\cot x=-\frac{4}{3}.
]
Cevap 1: (\displaystyle \cot x=-\frac{4}{3}.)
Soru 4.
(\displaystyle \tan x+\cot x=26) olduğuna göre (\sin x+\cos x)’in pozitif değeri nedir?
- (\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac1{\sin x\cos x}=26).
[
\sin x\cos x=\frac1{26}.
] - ((\sin x+\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x
=1+2\cdot\frac1{26}
=1+\frac1{13}=\frac{14}{13}.) - Pozitif kök alırsak
[
\sin x+\cos x
=\sqrt{\frac{14}{13}}.
]
Cevap 4: (\displaystyle \sin x+\cos x=\sqrt{\frac{14}{13}}).
Soru 5.
[
\frac{\tan x+\sin x}{\cos x+\cot x}
\quad\text{ifadesini sadeleştirelim.}
]
- (\tan x+\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}+\sin x
=\sin x;\frac{1+\cos x}{\cos x}.) - (\cos x+\cot x=\cos x+\frac{\cos x}{\sin x}
=\cos x;\frac{1+\sin x}{\sin x}.) - Bölme işlemi:
[
\frac{\tan x+\sin x}{\cos x+\cot x}
=\frac{\sin x,(1+\cos x)/\cos x}
{\cos x,(1+\sin x)/\sin x}
=\frac{\sin^2x,(1+\cos x)}
{\cos^2x,(1+\sin x)}.
] - Dilerseniz şu şekilde yazabilirsiniz:
[
\boxed{\frac{\sin x,(1+\cos x)}{\cos x,(1+\sin x)}}
\quad\bigl(=
\tan^2x,\frac{1+\cos x}{1+\sin x}\bigr).
]
Cevap 5: (\displaystyle \frac{\sin x,(1+\cos x)}{\cos x,(1+\sin x)}.)
Soru 6.
[
a=\sin155^\circ,\quad b=\tan325^\circ,\quad c=\cos316^\circ
]
Bunları yaklaşık hesaplayalım:
- (\sin155^\circ=\sin(180-155)=\sin25^\circ\approx0{,}4226)
- (\tan325^\circ=\tan(360-35)=-\tan35^\circ\approx -0{,}7002)
- (\cos316^\circ=\cos(360-44)=\cos44^\circ\approx0{,}7193)
Sıralama:
[
b\approx-0{,}70,\quad a\approx0{,}42,\quad c\approx0{,}72
\quad\Longrightarrow\quad
b<a<c.
]
Cevap 6: Küçükten büyüğe (b < a < c.)
Soru 7.
(\arccos x=\arctan4) ise (x) nedir?
- (\theta=\arctan4) alalım. Dik üçgende karşı kenar = 4, komşu = 1, hipotenüs = (\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}).
- (x=\cos\theta=\dfrac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}}
=\dfrac1{\sqrt{17}}.)
Cevap 7: (\displaystyle x=\frac1{\sqrt{17}}.)