SORU: Öğretmenin verdiği sayının asal çarpanlarının çarpımı 2^a \cdot 3 şeklindedir. Buna göre sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir sayının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazımı, o sayının sadece 2 ve 3 asal sayılarından oluştuğunu gösterir. Yani sayı, 2’nin bir kuvveti ile 3’ün bir çarpımıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların asal çarpanlarına ayrılması
Seçeneklerdeki sayıların asal çarpanlarını bulalım:
-
30 = 2 \times 3 \times 5
Burada 5 olduğu için uygun değil (farklı asal çarpan var). -
42 = 2 \times 3 \times 7
Burada 7 olduğu için uygun değil. -
60 = 2^2 \times 3 \times 5
Burada 5 olduğu için uygun değil. -
72 = 2^3 \times 3^2
Burada 2^3 ve 3^2 var.
Ancak ifadenin son kısmı sadece 3 ile, yani 3^1 ile bitmeli. Bu nedenle 3^2 olmamalı.
Adım 2 — İfade ile karşılaştırma
Verilen koşula göre sayı 2^a \cdot 3 şeklinde olmalı, yani
Şimdi seçenekleri kontrol ediyoruz:
- 30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 — burda 5 asal çarpanı var, uygun değil.
- 42 = 2^1 \times 3^1 \times 7^1 — burda 7 asal çarpanı var, uygun değil.
- 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 — burda 5 var, uygun değil.
- 72 = 2^3 \times 3^2 — 3^2 var, sadece 3^1 olmalı.
Adım 3 — Alternatif kontrol
Yukarıdaki seçeneklerin hiçbiri kesin olarak 2^a \cdot 3 şeklinde değil. Ancak soruda 2^a \cdot 3 dedikten sonra a bilinmeyen bir sayı. Eğer a=3 ise 2^3 \cdot 3 = 8 \times 3 = 24, seçeneklerde yok.
Ama 72 sayısındaki asal çarpanlar 2’nin kuvveti ve 3’ün kuvveti şeklinde, sadece 3’ün kuvvet sayısı 2 olarak farklı. Bu soruda hata olabilir ya da 3’ün kuvveti tam olarak belli değil.
Ancak soru sadece “3” var diyorsa, tek kuvvet olarak kabul edelim.
Sonuç:
Seçeneklerdeki en uygun sayı 72’dir çünkü 2^a \cdot 3 şeklinde ve 3’ün kuvveti 2. Soru yanlış yazılmamışsa ve sadece bu şekildeyse 72 cevaptır.
CEVAP: D) 72
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Öğretmenin verdiği sayının asal çarpanlarının çarpımı şeklindeki yazımı 2^{a}\cdot 3^{b} şeklindedir. Yukarıdaki ifadeye göre öğretmenin verdiği sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Seçeneğini İncele
30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2 \times 3 \times 5.
Bu çarpanlar arasında 5 vardır; yani 30 yalnızca 2 ve 3 kuvvetleri şeklinde yazılamaz. A seçeneği YANLIŞ.
Adım 2 — B Seçeneğini İncele
42 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 42 = 2 \times 3 \times 7.
Bu çarpanlar arasında 7 vardır; yani 42 yalnızca 2 ve 3 kuvvetleri şeklinde yazılamaz. B seçeneği YANLIŞ.
Adım 3 — C Seçeneğini İncele
60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 60 = 2^{2} \times 3 \times 5.
Bu çarpanlar arasında 5 vardır; yani 60 yalnızca 2 ve 3 kuvvetleri şeklinde yazılamaz. C seçeneği YANLIŞ.
Adım 4 — D Seçeneğini İncele
72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 2^{3} \times 3^{2}.
72’nin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3 olduğundan, 72 = 2^{a}\cdot 3^{b} formunda yazılabilir (burada a=3,\; b=2). D seçeneği UYGUN.
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
A. 30 — 30’da 5 vardır, sadece 2 ve 3 değil.
B. 42 — 42’de 7 vardır, sadece 2 ve 3 değil.
C. 60 — 60’da 5 vardır, sadece 2 ve 3 değil.
D. 72 — 72 yalnızca 2 ve 3 asal çarpanlarından oluşur (2^{3}\cdot 3^{2}).
Adım 6 — Son Doğrulama
72’nin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3 olduğu için verilen biçimde (2^{a}\cdot 3^{b}) yazılabilir; diğer seçeneklerde farklı bir asal çarpan (5 veya 7) bulunur.
CEVAP: D) 72
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?