Resimli Soru 25-01-2026 18:05:02

YKS TYT
1

17693535081454811738576641983139
17693535081454811738576641983139720×960 70.2 KB

2

Aylin’in Tuttuğu Sayının Alabileceği Değerin Aralığını Bulma

Önemli Noktalar

  • Aylin’in tuttuğu sayının 5 noktaya olan uzaklığı ile 3 katının 2 fazlası karşılaştırılıyor.
  • Aylin’in tuttuğu sayı için eşitsizlik kurularak aralık bulunabilir.
  • Mutlak değer ve eşitsizlik kuralları kullanılmalıdır.

Aylin’in aklından bir sayı tutuyor; bu sayı x olsun. Soruda verilen ifade:

|x - 5| = 3 \times (x + 2)

Buradan x için aralık bulunacak.

İçindekiler

  1. Denklemin Kurulması
  2. Mutlak Değer Eşitsizliği Çözümü
  3. Değer Aralığının Bulunması

1. Denklemin Kurulması

  • Aylin’in tuttuğu sayı: x
  • Sayının 5 noktasına olan uzaklığı: |x - 5|
  • Sayının 3 katının 2 fazlası: 3x + 2

Soruda verilen ifade şudur:

|x - 5| = 3x + 2

2. Mutlak Değer Eşitsizliği Çözümü

Mutlak değer eşitliğinin çözümü 2 duruma ayrılır:

Durum 1: x - 5 = 3x + 2

x - 5 = 3x + 2
x - 3x = 2 + 5
-2x = 7
x = -\frac{7}{2} = -3.5

Durum 2: -(x - 5) = 3x + 2 \implies 5 - x = 3x + 2

5 - x = 3x + 2
5 - 2 = 3x + x
3 = 4x
x = \frac{3}{4} = 0.75

3. Değer Aralığının Bulunması

Ancak mutlak değer eşitliğinde sağ tarafın negatif olmaması gerekir çünkü mutlak değer sonucu negatif olamaz.

3x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{2}{3}

Bu koşula göre çözümleri kontrol edelim:

  • x = -3.5 bu koşulu sağlamaz çünkü -3.5 < -\frac{2}{3}
  • x = 0.75 koşulu sağlar.

Yani çözümlerden sadece x = 0.75 geçerlidir.

Ayrıca sorunun devamında “3 katının 2 fazlasından büyük olduğu biliniyor” ifadesi var; bu bir eşitsizliktir:

|x - 5| > 3x + 2

Ama soruda “eşittir” denmiyor, “büyük olduğu biliniyor” ifadesiyle karşılaştırılmış.

Eğer soru şöyle ise:

|x - 5| > 3x + 2

3x + 2 sağ taraf negatif olduğunda, mutlak değer her zaman pozitif olacağından eşitsizlik sağlanır.

İlk olarak sağ tarafı negatif ve pozitif olarak ikiye ayıralım.

  • 3x + 2 < 0 \Rightarrow x < -\frac{2}{3}
  • 3x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{2}{3}

1. Bölge: x < -\frac{2}{3}

Sağ taraf negatif, mutlak değer pozitif → eşitsizlik daima sağlanır.

2. Bölge: x \geq -\frac{2}{3}

Mutlak değer eşitsizliği çözülmeli:

|x - 5| > 3x + 2

İki durum:

  • x - 5 > 3x + 2 \Rightarrow x - 3x > 2 + 5 \Rightarrow -2x > 7 \Rightarrow x < -3.5

  • -(x - 5) > 3x + 2 \Rightarrow 5 - x > 3x + 2 \Rightarrow 5 - 2 > 3x + x \Rightarrow 3 > 4x \Rightarrow x < \frac{3}{4}

Ancak, burada eşitsizliklerde x \geq -\frac{2}{3} koşulunu da sağlaması gerekir.

  • Birinci durumda x < -3.5 , fakat bu x \geq -\frac{2}{3} ile çelişiyor. O nedenle geçersiz.

  • İkinci durumda x < \frac{3}{4} ve x \geq -\frac{2}{3} ile de uyumlu.

Sonuç olarak:

-\frac{2}{3} \leq x < \frac{3}{4}

Ve ayrıca x < -\frac{2}{3} bölgesi tüm değerler geçerli.

Sonuç

Aylin’in tutabileceği sayıların aralığı:

(-\infty, -\frac{2}{3}) \cup \left[-\frac{2}{3}, \frac{3}{4}\right)

Yani:

x < \frac{3}{4}

Açık olarak ifade edilirse, Aylin’in tuttuğu sayı x < 0.75 değerleri arasındadır.

Sık Sorulan Sorular

1. Mutlak değerde eşitsizlik nasıl kurulur?
Mutlak değerde eşitsizliklerde pozitif veya negatif durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

2. Mutlak değerde sağ taraf negatif olabilir mi?
Hayır, mutlak değer ifadesi negatif olamaz, bu yüzden sağ taraf negatifse eşitsizlik veya eşitlik o bölüm için geçerli olmaz.

3. Eşitsizliklerde çözüm kümeleri nasıl değerlendirilir?
Koşullar sağlanmalı ve çözümler bu koşullara göre filtrelenmelidir.

Sonraki Adımlar

Bu tür sorularda mutlak değer ve eşitsizlik konusunu derinlemesine işler misiniz?
Ya da denklemin grafiksel çözümü ile ilgili örnekler ister misiniz?

@Fatma75

3

Resimli Soru: Aylin’in tuttuğu sayının alabileceği değerler aralığı

Önemli Noktalar

  • Eşitsizlik |x - 5| > 3x + 2 mutlak değer bağıntısı içerir.
  • Eğer 3x+2<0 ise (yani x<-\tfrac{2}{3}) eşitsizlik tüm bu değerler için otomatik sağlanır.
  • Genel çözüm olarak x<\tfrac{3}{4} aralığı elde edilir.

Aylin’in aklından tuttuğu sayının alabileceği değerler (-\infty,\;\tfrac{3}{4}) aralığında yer alır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

Eşitsizliğimiz:

|x - 5| > 3x + 2.
  1. RHS negatif olduğunda (3x+2<0\;\Leftrightarrow\;x<-\tfrac{2}{3}):
    Sağ taraf negatif, sol taraf |x-5|\ge0 olduğundan tüm x<-\tfrac{2}{3} için eşitsizlik sağlanır.
  2. RHS sıfır veya pozitif olduğunda (x\ge-\tfrac{2}{3}):
    • Eğer x\ge5 ise |x-5|=x-5 olur.
      x-5>3x+2\;\Rightarrow\;-2x>7\;\Rightarrow\;x<-\tfrac{7}{2},
      bu da x\ge5 ile çelişir, çözümsüz.
    • Eğer x<5 ise |x-5|=5-x olur.
      5-x>3x+2\;\Rightarrow\;3>4x\;\Rightarrow\;x<\tfrac{3}{4}.
      Buna tüm -\tfrac{2}{3}\le x<\tfrac{3}{4} dahildir.

Tüm parçaları birleştirdiğimizde çözüm kümesi

(-\infty,\;\tfrac{3}{4})

olarak bulunur.

Karşılaştırmalı Tablo

Eşitsizlik Türü Genel Çözüm Yapısı Örnek
$ x - a < b$
$ x - a > b$
$ x - a > cx + d,;c>0$

Özet Tablosu

Adım Sonuç
1. 3x+2<0 kontrolü x<-\tfrac{2}{3} için her zaman geçerli
2. x<5 bölümü (3x+2\ge0) x<\tfrac{3}{4}
3. x\ge5 bölümü Çözüm yok
Nihai Çözüm x<\tfrac{3}{4}

SSS

  1. Mutlak değerli eşitsizlikleri çözerken ilk adım nedir?
    Sağ tarafın negatif veya pozitif olma durumlarını incelemek gerekir.

  2. Niçin 3x+2<0 olduğunda tüm değerler geçerli sayıldı?
    Çünkü |x-5|\ge0 her zaman, negatif bir sayıdan büyüktür.

  3. Elde edilen aralığı nasıl gösterdik?
    Açık uçlu interval notasyonuyla (-\infty,\;\tfrac{3}{4}).

  4. Benzer problemler için hangi formülleri akılda tutmalıyız?
    |x-a|<b\;\Rightarrow\;a-b<x<a+b ve
    |x-a|>b\;\Rightarrow\;x<a-b\;\text{veya}\;x>a+b.

Bu konuyla ilgili kavramları pekiştirmek için 3 alıştırma problemi ister misiniz?
@Fatma75