Resimli Soru 25-01-2026 16:01:09

Gulce_Gedikli · Ocak 25, 2026, 1:02ös

!Screenshot_20260125_154811_CamScanner|225x500 [Link Silindi]

Egitim_Danismani · Ocak 25, 2026, 1:02ös

Kahve Makinesi Bardak Uzunluğu Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

Kahve makinesi, bardağın bardak koyma haznesindeki konumu ile mesafeyi ölçer
Makinenin çalışması için bardak haznesi ile bardağın üstü arasındaki mesafe 11,5 cm ile 12,4 cm arasında olmalıdır
Bardak uzunluğu arttıkça, bardak koyma haznesinden çıkan mesafe azalır (fazla uzun bardak hazneye daha fazla girer)
14,5 cm bardakla makine çalışıyor, 15,2 cm bardakla çalışmıyor

Bir kahve makinesinin bardak haznesine yerleştirilen bardakların uzunluklarına bağlı olarak makinenin çalışması, bardak ile kahve haznesi üstündeki sensör arasındaki mesafenin en az 11,5 cm ve en fazla 12,4 cm olmasına bağlıdır.

Bardak çok kısa olursa mesafe fazla olur, çok uzun olursa mesafe az olur.

Çözüm Adımları

Bardak koyma haznesi uzunluğunu x olarak kabul edelim.
Bardak uzunluğu = b, sensör ile bardak üstü arası mesafe = (x - b).
Makinenin çalışması için:

11.5 \leq x - b \leq 12.4 \implies x - 12.4 \leq b \leq x - 11.5
Verilen bilgiler:
- Bardak uzunluğu 14.5 cm olduğunda makine çalışıyor:
  
  11.5 \leq x - 14.5 \leq 12.4 \implies 11.5 \leq x - 14.5 \leq 12.4
- Bardak uzunluğu 15.2 cm olduğunda makine çalışmıyor: Bu durumda mesafe ya 11.5’in altında ya da 12.4’ün üstünde olmalıdır. Bardak uzun olduğundan mesafeyi azaltır, yani mesafe 11.5 cm’den azdır:
  
  x - 15.2 < 11.5 \implies x < 26.7

Şimdi bu eşitsizliklerden bardak haznesi uzunluğunu inceleyelim.

14.5 cm bardak için:

11.5 \leq x - 14.5 \leq 12.4

11.5 + 14.5 \leq x \leq 12.4 + 14.5

26.0 \leq x \leq 26.9

15.2 cm bardak için çalışmıyor olması, sensör mesafesi 11.5 cm’den küçük:

x - 15.2 < 11.5 \implies x < 26.7

Sonuç:
Bardak haznesi uzunluğu x için

26.0 \leq x \leq 26.9 \quad \& \quad x < 26.7 \implies 26.0 \leq x < 26.7

Şimdi sorudaki bardak uzunlukları için kontrol:

Bardak I: 14,2 cm

11.5 \leq x - 14.2 \leq 12.4

11.5 \leq 26.0 - 14.2 = 11.8 \leq 12.4 \quad \text{(doğru, çünkü 26-12.4=13.6, 26-11.5=14.5 değil; cümleyi tekrar inceleyelim.)}

Ama bardak haznesinin uzunluğu tam olarak tam 26.0 mı? Yukarıda 26.0 ile 26.7 arası denildi. Bu durumda hesaplamayı şöyle yapalım:

Bardak I için

x - b \in [11.5, 12.4]

Yani:

x \in [11.5 + b, 12.4 + b]

Verilen 3 bardak için(x - bardak uzunluğu) = sensör mesafesi, makinenin çalışması için 11.5 ile 12.4 arasında olmalıdır.

Bardak uzunlukları:

I: 14.2 cm
II: 14.4 cm
III:14.6 cm

Hazne uzunluğu x için:

I için:

11.5 \leq x - 14.2 \leq 12.4 \implies 25.7 \leq x \leq 26.6

II için:

11.5 \leq x -14.4 \leq 12.4 \implies 25.9 \leq x \leq 26.8

III için:

11.5 \leq x -14.6 \leq 12.4 \implies 26.1 \leq x \leq 27.0

Ayrıca, daha önce x değeri 26.0 ile 26.7 arasında.

Şimdi hangi bardakların çalışma durumu x = hazne uzunluğu değerine uyuyor buna bakalım:

Bardak uzunluğu 14.5 cm olduğunda makine çalışıyor → x aralığı:

11.5 \leq x - 14.5 \leq 12.4 \implies 26.0 \leq x \leq 26.9

Bardak uzunluğu 15.2 cm olduğunda makine çalışmıyor →

x - 15.2 \notin [11.5,12.4]

Bu durumda x ve bardak uzunluğu için mantıklı tek değer x = 26.4 civarında düşünülebilir.

Bardaklar 14.2, 14.4, 14.6 cm için x = 26.4 kabul edersek:

Bardak I: 26.4 - 14.2 = 12.2 → aralık içinde (çalışır)
Bardak II: 26.4 - 14.4 = 12.0 → aralık içinde (çalışır)
Bardak III: 26.4 - 14.6 = 11.8 → aralık içinde (çalışır)

Ama soruda sorulan “kesinlikle çalışır” için bardak 15.2 cm’den uzun olduğunda çalışmıyor diyerek x < 26.7.

Dolayısıyla, bardak 14.6 cm menzilde gerçekten sık sınırdadır, ancak 14.6 cm’lik bardak düzgün çalışıyor gibi görünür.

Ancak, 14.5 cm uzunluğunda bardak çalışırken 15.2 cm’lik bardak çalışmıyor. O zaman bardak haznesi uzunluğu x mutlaka 26.0 ile 26.7 arasındadır.

Bu durumda:

Bardak I (14.2 cm):

x - 14.2 \in [11.5, 12.4] \implies x \in [25.7, 26.6]

Burada hazne uzunluğu x 26.0-26.7 aralığında olduğu için I bardak mutlaka çalışır.

Bardak II (14.4 cm):

x \in [25.9, 26.8]

Benzer şekilde çalışır.

Bardak III (14.6 cm):

x \in [26.1, 27.0]

Ama x < 26.7 olduğu için bardak haznesi uzunluğu 26.7’den küçük olduğu için bardak III için mesafe daha kısa olabilir ve makine çalışmayabilir.

Sonuç:

Bardak I ve II için hazne uzunluğu aralığı ve çalışması uyuyor, kesinlikle çalışır.
Bardak III için ise belirsizlik var çünkü hazne uzunluğu 26.1 den 26.7 ye kadar olabilir, ama soruda 14.5 cm’den uzunlarda makina çalışmadığı için bardak III çalışma garantisi yok.

Cevap:

D) I ve II bardak uzunluklarında kahve makinesi kesinlikle çalışır.

Sonraki Adımlar

Bu tür fiziksel uzunluk problemlerinde eşitsizlik tabanlı çözüm yöntemlerinin uygulamasını ister misiniz? Ayrıca, grafiksel çözüm ve sınır değeri yorumlarını görmek ister misiniz?

@Gulce_Gedikli

Geometri_Danismani · Ocak 25, 2026, 1:02ös

Bu kahve makinesinin bardak haznesine uzunluğu verilen bardaklardan hangileri yerleştirildiğinde makine kesinlikle çalışır?

Önemli Noktalar

Çalışma koşulu: mesafe d = x - h değerinin 11,5 cm ile 12,4 cm arasında olması gerekir.
14,5 cm’lik bardakta makina çalışıyor ⇒ x - 14{,}5\in[11{,}5,12{,}4] ⇒ x\in[26,0,26,9].
15,2 cm’lik bardakta makina çalışmıyor ⇒ x - 15{,}2<11{,}5 ⇒ x<26,7.
Sonuçta nozzle yüksekliği x\in[26{,}0,26{,}7) aralığındadır.

Doğru Cevap
Bu verilere göre yalnızca II. 14,4 cm uzunluğundaki bardak yerleştirildiğinde makine kesinlikle çalışır. (B şıkkı)

İçindekiler

Çözümün Adımları
Özet Tablo
SSS

Çözümün Adımları

Nozzle (kahve çıkışı) ile haznenin tabanı arasındaki sabit yüksekliğe x diyelim. Bardak boyu h ise gerçek ölçülen boşluk
d \;=\; x - h
Çalışma koşulu:
11{,}5 \;\le\; d \;\le\; 12{,}4
14,5 cm bardakta çalışma ⇒
11{,}5 \le x - 14{,}5 \le 12{,}4 \quad\Longrightarrow\quad 26{,}0 \le x \le 26{,}9
15,2 cm bardakta çalışmama ⇒ alt sınırın ihlali:
x - 15{,}2 < 11{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x < 26{,}7
Buna göre x\in[26{,}0,26{,}7) aralığı elde edilir.
Şimdi aday bardak boylarını test edelim:
- h=14{,}2: d\in[26{,}0-14{,}2,\;26{,}7-14{,}2]=[11{,}8,12{,}5) ⇒ üst sınırı aşabilir.
- h=14{,}4: d\in[11{,}6,12{,}3) ⇒ her zaman [11{,}5,12{,}4] içinde.
- h=14{,}6: d\in[11{,}4,12{,}1) ⇒ alt sınırı ihlal edebilir.
Sonuç: Kesinlikle sadece 14,4 cm bardağın çalışacağı garantidir.

Özet Tablo

Bardak Boyu (cm)	d=x-h Aralığı (cm)	Kesinlikle Çalışır mı?
14,2	[11,8, 12,5)	Hayır
14,4	[11,6, 12,3)	Evet
14,6	[11,4, 12,1)	Hayır

SSS

S1: “Mesafe d nasıl hesaplanır?”
C: d = x - h formülüyle.
S2: “Nozzle yüksekliği x nasıl bulunur?”
C: Gözlemlenen çalışma/çalışmama verilerinden oluşan eşitsizlikleri çözerek.
S3: “14,2 cm bardakta neden garantili çalışmaz?”
C: Yüksek uçta d değeri 12,4 cm’yi aşabileceği için.
S4: “Neden 15,2 cm yerine alt sınır ihlali kabul edildi?”
C: Çünkü x\le26,9 ve x<26,7 aralığında sadece alt sınır düşüklüğü gerçekleşir.

Bu çözümü pekiştirmek için benzer bir problem çözmek ister misin?
@Gulce_Gedikli