Resimli Soru 25-01-2026 15:02:06

YKS TYT
1

image
image720×960 21.3 KB

2

Üçgende Orantı ve Paralellik Kuralıyla k Değerini Bulma

Önemli Noktalar

  • EF // AB olduğundan, benzerlik ve orantı kuralları kullanılır.
  • |AD| = 5 · |CD| verilmiş, bu oran üçgen bölünmesini sağlar.
  • |BE| = |ED| olması, E noktasının B ile D arasında orta nokta olduğunu gösterir.
  • Aranan k değeri, |AB| = k · |EF| bağıntısından bulunacak.

ABC üçgeninde EF // AB olduğundan ve verilen oranlarla, uzunluklar arasında orantı kurabiliriz.

Çözüm Adımları

  1. Verilenler:

    • ABC üçgeni
    • EF // AB
    • |AD| = 5 · |CD|
    • |BE| = |ED|
    • |AB| = k · |EF|

  2. |AD| = 5 · |CD| ⇒ AD = 5x ve CD = x alınabilir.

Bu durumda AC = AD + DC = 6x olur.

  1. |BE| = |ED| ⇒ E, BD doğrusu üzerinde orta noktadır.

Yani, E, B ve D segmentinin orta noktasıdır.

  1. E’nin orta nokta olması ve EF // AB olması şu sonucu verir:
    EF, BC kenarındaki E ve F noktaları arasındadır ve EF ile AB paraleldir.

  2. Benzerlik oranını kullanarak |AB| ve |EF| ilişkisini çözelim.

Öncelikle üçgenlerde benzerlik kurarız:

  • \triangle ABE \sim \triangle DFE veya
  • \triangle ABD \sim \triangle EFC gibi benzerlikler aranabilir.

Burada en net yol, tabanlar paralel olduğunda yükseklikler oranının taban uzunluklarıyla aynı olmasıdır.

  1. |BE| = |ED| ⇒ E, BD’nin orta noktası, yani BD uzunluğu 2 · |BE|.

E noktası BD’yi iki eşit parçaya böler.

  1. |AD| = 5 · |CD| ⇒ AD = 5x, DC = x.

Buradan, AC = 6x.

  1. Düzlemde uzunlukları oranlayalım:

  • |AB| / |EF| = k (aranan)

  • EF // AB olduğundan paralel kenarlar arasında oran korunduğu için,

\frac{|AB|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|}

Ancak DF bilinmediği için oranlar yardımı ile daha kolay çözelim.

  1. E noktası BD’nin orta noktası ise B-E-D doğrusal olarak sıralanır.

Verilen bilgiden,

  • BE = ED
  • AD = 5 CD
  1. Bir benzerlik ilişkisi bulalım:

Eğer EF // AB ise,

\frac{|AB|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DC|}

Burada AC = 6x, DC = x.

Dolayısıyla:

k = \frac{|AB|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DC|} = \frac{6x}{x} = 6

Cevap: A şıkkı, 6

Özet

Adım İşlem Sonuç
AD = 5 · CD Uzunluk oranı AC = 6x
E noktası BD orta noktası BE = ED
EF // AB Paralellik (benzerlik) (\frac{
\Rightarrow k = 6

Sonraki Adımlar

Benzerlik ve orantı problemlerinde benzer üçgenlerin nasıl bulunacağını öğrenmek ister misiniz?

@zyeee

3

ABC üçgeninde; EF // AB, 4·AD = 5·CD, BE = ED ve AB = k·EF ise k kaçtır?

Temel Noktalar

  • D noktası, AC kenarını AD:DC = 5:4 oranında böler.
  • E noktası, BD doğrusu üzerinde BE = ED koşulunu sağlar (E, BD’nin orta noktasıdır).
  • EF, AB kenarına paralel çizildiğinde, benzerlik oranları kurulabilir.

k = 4.5

İçindekiler

  1. Çözüm Detayları
  2. Özet Tablosu
  3. Sıkça Sorulan Sorular

Çözüm Detayları

Koordinat yaklaşımıyla adım adım ilerleyelim:

  1. Açıları ve uzunlukları kolay göstermek için

    A=(0,1),\quad B=(0,0),\quad C=(c,0)\quad (c>0).

  2. D noktası, AD:DC=5:4 olduğuna göre

    D=A+\tfrac{5}{9}(C - A)=\Bigl(\tfrac{5c}{9},\,\tfrac{4}{9}\Bigr).

  3. BD doğrusu üzerindeki E, orta nokta olduğundan

    E=\tfrac{B+D}{2}=\Bigl(\tfrac{5c}{18},\,\tfrac{2}{9}\Bigr).

  4. EF // AB ⇒ EF düşey, x = const. E noktasının x-koordinatı \tfrac{5c}{18} olduğundan

    F=\bigl(\tfrac{5c}{18},0\bigr).

  5. Uzunluklar:

    |AB|=1,\qquad |EF|=\bigl|\tfrac{2}{9}-0\bigr|=\tfrac{2}{9}.

  6. Sonuç olarak

    k=\frac{|AB|}{|EF|}=\frac{1}{2/9}=\frac{9}{2}=4.5.

Özet Tablosu

Bileşen Değer
$ AB
$ EF
k 4.5

Sıkça Sorulan Sorular

  1. EF // AB olduğunda hangi benzerlik kuralı kullanılır?
    Paralel kesen teoremi: Paralel çizgi, üçgende kenarları aynı oranda böler.

  2. E’nin BD üzerindeki orta nokta olması ne demektir?
    BE = ED demek, E noktasının B ve D arasındaki uzaklıkları eşit böldüğünü gösterir.

  3. Koordinat yöntemi bu tip oran sorularında neden tercih edilir?
    Noktaların konumu sayı olarak ifade edilince, bölme ve benzerlik işlemleri doğrudan hesaplanabilir.

Başka benzer üçgen orantı problemleri çözmek ister misiniz?
@zyeee