Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler
Önemli Noktalar
- Havuzun başlangıçta 4000 litre su ile dolu olduğu belirtiliyor.
- Su saniyede 8 litre boşalmaktadır (doğrusal azalma).
- Havuzun içindeki su miktarını zamanla ifade eden doğrusal fonksiyon kurulabilir.
- Soruda havuzun içindeki su miktarına bağlı olarak bireysel temsil ve zaman aralığı (eşitsizlik çözümü) isteniyor.
Sorunun çözümü hemen başlar başlamaz, havuzdaki su miktarı ve geçen zaman doğrusal şekilde ilişkilidir.
İçindekiler
- Suyun Doğrusal Fonksiyonla Temsili
- Havuzdaki Su Miktarına Göre Zaman Aralığı Hesabı
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Suyun Doğrusal Fonksiyonla Temsili
Başlangıçta havuzda 4000 litre su vardır. Zaman ilerledikçe su tahliye edilmektedir ve saniyede 8 litre azalmaktadır. Buna göre;
- Zaman değişkeni olarak t (saniye) alınır.
- Havuzdaki kalan su miktarı S(t) olarak gösterilir.
Doğrusal fonksiyon formu:
Burada:
- S_0 = 4000 litre (başlangıç su miktarı)
- r = 8 litre/saniye (boşalma hızı)
Fonksiyon:
Bu fonksiyon, havuzda geçen t saniye sonra kalan su miktarını verir.
Pro Tip: Fonksiyonda t değerini 0’dan başlayarak artırdıkça su miktarının azaldığını görebilirsiniz, çünkü -8t terimi azalma yönündedir. Fonksiyonun sınırını anlamak için, S(t)=0 olduğu t yi hesaplamak önemli.
2. Havuzda Kalan Su 4000 Litre’den Az Olduğu Zaman Aralığı
Sorunun ikinci bölümü, havuzdaki su miktarının 4000 litreden az olduğu zaman aralığını bulmamızı istiyor.
Matematiksel gösterimi:
Fonksiyon yerine yazarsak:
Her iki taraftan 4000 çıkarılır:
Şimdi, eşitsizlikte t negatif olmadığı için her iki tarafı da eksiye bölmek eşitsizliği tersine çevirir:
Yorum: Havuzdaki su 4000 litreden azdır demek, 0 saniyeden sonra su miktarının azaldığı anlamına gelir.
Ayrıca, suyun tamamen boşaldığı anda (su miktarı 0 litre olması) süre:
Buna göre:
- t zaman aralığı 0 < t < 500 aralığında havuzda su miktarı 4000 litreden azdır.
- t=0 anında ise su tam olarak 4000 litredir.
Uyarı: Zaman negatif olamayacağı için t \geq 0 kabul edilir.
Özet Tablo
| Öğe | Değer |
|---|---|
| Başlangıç su miktarı | 4000 litre |
| Boşalma hızı | 8 litre/saniye |
| Doğrusal fonksiyon | S(t) = 4000 - 8t |
| Su miktarının 4000’den az olduğu zaman | t > 0 (saniye) |
| Havuzun tamamen boşalması | t = 500 saniye |
Sık Sorulan Sorular
1. Havuzda su kalmadığında geçen süre ne olur?
Havuzdaki su tamamen boşaldığında S(t) = 0 olur. Fonksiyon formunda:
4000 - 8t = 0 \Rightarrow t = 500 saniye.
2. Fonksiyonun negatif değer alması ne anlama gelir?
Fonksiyon S(t) = 4000 - 8t negatif değer alamaz çünkü su miktarı negatif olamaz. Bu durumda modelin geçerliliği sona erer yani t \leq 500 olmalıdır.
3. Havuz dolduğunda fonksiyon nasıl olur?
Fonksiyon başlangıçta 4000 litre olduğu için, t=0 anında dolu. Su eklenmezse fonksiyon sadece azalır. Dolum varsa fonksiyon değişir.
4. Su miktarını belirli bir zamanda nasıl bulurum?
İlgilendiğiniz zamanı t olarak fonksiyona yazarsınız:
S(t) = 4000 - 8t litre.
Sonraki Adımlar
Bu problemin çözümünde doğrusal fonksiyon kullanımını öğrendiniz. İsterseniz:
- Farklı boşalma hızları ve başlangıç hacimleri için fonksiyon kurmayı gösterelim mi?
- Eşitsizliklerin gerçek hayatta kullanım alanlarını detaylandıralım mı?
- Bu tip problemlerin grafiksel gösterimini çizelim mi?
**Soru: Başlangıçta 4000 litre su bulunan bir havuzda her saat 800 litre su buharlaşmaktadır.
a) Havuzda kalan su miktarını t saat sonra litre cinsinden ifade eden cebirsel fonksiyonu bulunuz.
b) Kalan suyun 4000 litreden az olduğu zaman aralığını belirleyiniz.**
- Başlangıç hacmi: 4000 litre
- Buharlaşma hızı: 800 l/saat
- Kalan su miktarı lineer fonksiyon ile modellenir
Havuzda t saat sonra kalan suyun miktarını veren fonksiyon
şeklindedir. Kalan suyun 4000 litreden az olduğu zaman aralığı ise
( fiziksel bağlamda 0≤t≤5 alındığında $$0<t\le5$$ saat ) aralığıdır.
İçindekiler
- Fonksiyonun Cebirsel Temsili
- Su Miktarının 4000 Litreden Az Olduğu Zaman Aralığı
- Özet Tablo
- Sıkça Sorulan Sorular
Fonksiyonun Cebirsel Temsili
Bir havuzda su her saat sabit oranda (800 l) buharlaştığı için kalan miktar “başlangıç eksi hız×zaman” formunda lineer bir fonksiyondur.
Burada
• L(t): t saat sonraki su miktarı (litre)
• t: Geçen süre (saat)
Fiziksel olarak suyun negatif olmaması için tanım aralığı
olarak alınır (5 saat içinde havuz boşalır).
Su Miktarının 4000 Litreden Az Olduğu Zaman Aralığı
Eşitsizliği çözelim:
Her iki yandan 4000 çıkarılır:
Tanım aralığını da göz önüne alırsak kalan suyun 4000 litreden az olduğu süre
aralığıdır.
Özet Tablo
| t (saat) | L(t)=4000-800t (litre) | Durum |
|---|---|---|
| 0 | 4000 | Başlangıç |
| 1 | 3200 | 1 saat sonra |
| 2.5 | 2000 | Yarı dolu |
| 5 | 0 | Tamamen boşalma |
| Genel | 4000-800t | 0\le t\le5 aralığında geçerli |
Sıkça Sorulan Sorular
- Havuzun tamamen boşalması kaç saat sürer?
Cevap: L(t)=0\implies4000-800t=0\implies t=5 saatte. - Su miktarını 2000 litreye indirmek için ne kadar süre gerekir?
Çözüm: 4000-800t=2000\implies t=2.5 saat. - t<0 neden fiziksel anlam taşımaz?
Çünkü ölçülen süre başlangıç anı (t=0) öncesine ait olur; negatif zaman fiziksel değil soyut kavramdır. - Fonksiyon hangi aralıkta tanımlıdır?
0\le t\le5 çünkü 5 saatten sonra su kalmaz.
Bu tür lineer azalma problemlerini pekiştirmek için farklı başlangıç hacmi ve buharlaşma hızına sahip 3 örnek problem çözmemi ister misiniz?
@Fatma75