Deniz Seviyesi Mesafesi ve Zaman Aralığı Problemi
Önemli Noktalar
- Grafik, balığın deniz seviyesine olan mesafesini zamanla gösterir.
- Balık 10 saniye boyunca deniz seviyesinden 5 metre yukarı ve sonra aşağı hareket etmektedir.
- Balığın deniz seviyesine olan mesafesi m fonksiyonu ile verilmiş.
- Soruda, balıkçının balığı alabilmesi için balığın deniz seviyesinden 3 metreden az olduğu zaman aralığı bulunacaktır.
Balığın deniz seviyesinden olan mesafesi y = f(x) grafiğinin 3 metreden az olduğu zaman dilimini bulmak için grafikte y < 3 koşulunu sağlayan zaman aralıklarına bakılmalıdır. Grafikte 0’dan 10 saniyeye kadar y önce 0’dan 5’e çıkmakta, sonra tekrar 0’a dönmektedir. 3 metreden daha az olduğu kısımlar grafikte y ekseninde 3’ün altında kalan kısımdır.
İçindekiler
Grafiğin İncelenmesi
Grafikte balığın deniz seviyesinden olan mesafesi 0’dan 10 saniyeye kadar şu şekilde değişir:
- 0 saniyede mesafe 0 m (deniz seviyesinde)
- 5 saniyede mesafe 5 m (en üstte)
- 10 saniyede mesafe 0 m (deniz seviyesinde)
Grafikte mesafe önce 0’dan 5’e doğru artıyor, sonra tekrar 5’ten 0’a iniyor. Bu, balığın yukarı doğru çıktığı, sonrasında tekrar deniz seviyesine doğru indiği hareketini simgeler.
y = 3 metrelik çizgiyi düşündüğümüzde grafikte bu çizgiden geçen noktaları bulmalıyız. Bu noktalar zaman ekseni üzerinde f(x) = 3 denkleminin çözümleridir.
Grafikte bu noktalar
- 0 ile 5 saniye arasında f(x) 0’dan 5’e doğru artar, bu yüzden y = 3 çizgisini 0-5 arasında bir yerde keser (örneğin t_1 )
- 5 ile 10 saniye arasında 5’ten tekrar 0’a iner, y = 3 çizgisi yine bu aralıkta kesilir (örneğin t_2 )
Zaman Aralığı Hesaplama
Balığın derinliği, zamana göre doğrusal değişim gösterdiği için kısmi denklemler çıkarılabilir.
İlk 0-5 saniye arası:
Başlangıç: (0,0), Son: (5,5)
Doğrusal fonksiyon denklemi:
Eğim:
Başlangıç noktası 0,0 olduğu için b=0 .
O halde:
Bu aralıkta 3 metre mesafeyi veren zamanı bulalım:
Sonraki 5-10 saniye arası:
Başlangıç: (5,5), Son: (10,0)
Eğim:
Doğrusal denklem:
Bu aralıkta y=3 için:
Sonuç
Balığın derinliği 3 metreden az olduğu zaman aralıkları:
- İlk aralık: 0 \leq x < 3 saniye
- İkinci aralık: 7 < x \leq 10 saniye
Toplam sürede balıkçının balığı 3 metreden az seviyedeyken görebileceği zamanlar bu iki aralıktır.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | 0-5 Saniye Arası | 5-10 Saniye Arası |
|---|---|---|
| Mesafe Değişimi | 0’dan 5 metreye artış | 5 metreden 0’a azalış |
| Derinlik 3 metrenin altında olduğu zaman | 0-3 saniye | 7-10 saniye |
| Fonksiyon Denklemi | y = x | y = -x + 10 |
Özet Tablo
| Konu | Detay |
|---|---|
| Görev | Balığın 3 metreden az olduğu zamanları bulmak |
| Çözüm Adımı 1 | Fonksiyonun doğrusal parçaları için eğim ve denklem bulunur |
| Çözüm Adımı 2 | Mesafe 3 metreye eşitken zamanlar hesaplanır |
| Sonuç | Balık 0-3 ve 7-10 saniyeleri arasında 3 metreden az derinlikte |
Sık Sorulan Sorular
1. Mesafe 3 metreden az olduğunda balıkçı balığı nasıl yakalar?
Balıkçının oltası deniz seviyesine yakın ve ulaşılabilir olduğu için balığın 3 metreden az derinlikte olduğu zamanlarda yakalama şansı daha yüksektir.
2. Fonksiyon neden iki parçalı doğrusal olarak modellenmiş?
Balığın önce yukarı, sonra aşağı hareketi gerçekçi biçimde iki doğrusal parça ile modellenmiştir; bu da sorudaki grafikteki V şeklini yansıtır.
3. Zaman aralıkları nasıl bulunuyor?
Fonksiyonun her parçası için denklemler yazılır, y=3 eşitliği çözülerek kesim noktaları bulunur, böylece zaman aralıkları tespit edilir.
Sonraki Adımlar
Bu tür mesafe-zaman grafiklerinde eğim ve fonksiyon oluşturma pratiği yapmaya devam etmek ister misiniz? Ya da bu fonksiyonların türevleri ve hız uygulamalarıyla ilgili daha fazla örnek görmek ister misiniz?
Balıkçının deniz seviyesine olan mesafesinin 3 metreden az olduğu zaman aralığını bulunuz.
Temel Kavramlar
- f fonksiyonu iki parçalıdır: f(x)=x (iniş, 0\le x\le5) ve f(x)=10-x (çıkış, 5\le x\le10).
- f(x)<3 koşulu inişte x<3, çıkışta x>7 olmak üzere sağlanır.
- Sonuç aralığı (0,3)\,\cup\,(7,10) saniye aralığıdır.
İstenen süre aralığı:
Balıkçının deniz seviyesinden uzaklığı 3 m’den az olduğu zamanlar
\,(0,3)\,\cup\,(7,10)\, saniyedir.
İçindekiler
Fonksiyonun İncelenmesi
Grafikten f fonksiyonu şu şekilde modellenmiştir:
- 0–5 saniyede derinliğe iniliyor (iniş hızı sabit, f(x)=x).
- 5–10 saniyede yüzeye çıkılıyor (çıkış hızı sabit, f(x)=10-x).
Çözüm Adımları
- İniş bölgesinde (0\le x\le5):f(x)<3\;\Longrightarrow\;x<3\;\Longrightarrow\;x\in(0,3).
- Çıkış bölgesinde (5\le x\le10):f(x)<3\;\Longrightarrow\;10 - x<3\;\Longrightarrow\;x>7\;\Longrightarrow\;x\in(7,10).
- Birleştirilince aralık:(0,3)\;\cup\;(7,10)\text{ saniye.}
Karşılaştırma Tablosu
| Bölge | Fonksiyon | Geçerli Aralık |
|---|---|---|
| İniş | f(x)=x | 0\le x\le5 |
| Çıkış | f(x)=10 - x | 5\le x\le10 |
Özet Tablosu
| x Aralığı | f(x)<3 mı? |
|---|---|
| 0 < x < 3 | Evet |
| 3 \le x \le 7 | Hayır |
| 7 < x < 10 | Evet |
SSS
S: f fonksiyonu neden iki parçalı yazıldı?
C: Dalış ve çıkış işlemlerinin hızları sabit ama farklı yönlü olduğu için model parçalıdır.
S: Neden uç noktalar eşit değil?
C: Başlangıç ve bitişte deniz yüzeyine çıktığı için f(0)=0 ve $f(10)=0$’dır.
S: f(x)<k aralıkları nasıl bulunur?
C: Her parçalı denkleme f(x)<k uygulayıp geçerli x değerleri çözülür, sonra birleştirilir.
Başka benzer zaman–derinlik ilişkisi problemleri çözmek ister misiniz? @Fatma75