Resimli Soru 25-01-2026 14:48:07
Önemli Noktalar
- Fonksiyonlar:
- f(x) = 3 - 2x
- g(x) = |f(x)| = |3 - 2x|
- g(x) ’in 1’den küçük olması için g(x) < 1 eşitsizliği çözülmeli
- Mutlak değer ifadesi iki durumda incelenir: 3 - 2x \geq 0 ve 3 - 2x < 0
Sorunun Doğrudan Cevabı
Bu mutlak değer eşitsizliği iki şekilde açılır:
- 3 - 2x < 1 ve 3 - 2x \geq 0 durumu
- 3 - 2x > -1 ve 3 - 2x < 0 durumu
Bu iki durumu ayrı ayrı çözerek x aralığı bulunur.
İçindekiler
- Mutlak Değerli Fonksiyonların Temel İlkeleri
- Verilen Fonksiyonların Analizi
- Eşitsizlik Çözümü ve x Aralığının Bulunması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Mutlak Değerli Fonksiyonların Temel İlkeleri
Mutlak değer |A| < B ifadesi,
-B < A < B eşitsizliği ile eşdeğerdir.
Burada B > 0 olmalıdır.
Örneğin,
Pro Tip: Mutlak değer ifade ederken önce içerideki ifadeyi iki tarafa açmak mutlaka gereklidir.
2. Verilen Fonksiyonların Analizi
Verilenler:
Amaç, g(x) < 1 eşitsizliğini sağlayan x değerlerini bulmak.
3. Eşitsizlik Çözümü ve x Aralığının Bulunması
Şimdi eşitsizliği iki parçaya bölelim:
- 3 - 2x < 1 \Rightarrow -2x < -2 \Rightarrow x > 1
- -1 < 3 - 2x \Rightarrow -1 - 3 < -2x \Rightarrow -4 < -2x \Rightarrow 2 < x
Buradan şu ifadeleri elde ederiz:
Bu iki arasından daha kısıtlayıcı olan x>2 seçilir. Ancak mutlak değer eşitliğinin kendisi ve mutlak değer tanımından, 3 - 2x \geq 0 veya 3 - 2x < 0 durumu farklı x aralıkları veriyor.
Durumları ayrı inceleyelim:
- Durum 1: 3 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{3}{2} = 1.5
- Durum 2: 3 - 2x < 0 \Rightarrow x > 1.5
Durum 1 için:
Ayrıca x \leq 1.5 olmalı.
Böylece 1 < x \leq 1.5.
Durum 2 için:
Ayrıca burada x > 1.5.
Böylece 1.5 < x < 2.
Sonuç olarak,
Yani g(x) < 1 için x tam olarak 1 ile 2 arasında olmalıdır.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Mutlak değer tanımı | ( | 3-2x |
| Eşitsizlikler çözüldü | -1 < 3 - 2x < 1 | 1 < x < 2 |
| Mutlak değer durumu ayrıldı | 3 - 2x \geq 0 | x \leq 1.5 için 1 < x \leq 1.5 |
| Mutlak değer durumu ayrıldı | 3 - 2x < 0 | x > 1.5 için 1.5 < x < 2 |
| Sonuç | g(x) < 1 koşulu | 1 < x < 2 |
Sık Sorulan Sorular
1. Mutlak değer eşitsizliği nasıl çözülür?
Mutlak değer içindeki ifade A için |A| < B ise -B < A < B koşulunu sağlar. Burada B>0 olmalıdır. Bu aralık çözüldüğünde, sorudaki mutlak değerli eşitsizlik çözülmüş olur.
2. Bu tür mutlak değer sorularında neden iki durum incelemeliyiz?
Mutlak değer, içindeki ifade pozitif veya negatif olabilir. Bu iki durum, farklı çözümler verir. Mutlak değer tanımından dolayı her durum ayrı ayrı kontrol edilmelidir.
3. g(x) = |f(x)| fonksiyonunda mutlak değerin etkisi nedir?
g(x) fonksiyonu, f(x)'in negatif değerlerini pozitif yapar. Bu nedenle g(x) negatif olamaz ve grafik olarak f(x)'in negatif kısımlar aynen üst tarafa yansır.
Sonraki Adımlar
Benzer mutlak değer ve eşitsizlik soru çözüm tekniklerini öğrenmek ister misiniz? Ya da g(x) = |f(x)| fonksiyonlarının grafiksel analizini örneklerle detaylandıralım mı?
g fonksiyonunun 1’den küçük olması için x’in alabileceği değerleri bulunuz
Önemli Noktalar
- f(x) = 3 − 2x, g(x) = |f(x)|⁴
- g(x)<1\iff|f(x)|⁴<1\iff|f(x)|<1\iff-1<f(x)<1
- Çözüm sonucu x ∈ (1,2)
Doğrudan Cevap
g(x)<1 koşulu
İçindekiler
Çözüm Adımları
- g(x)<1\;\Longrightarrow\;|f(x)|^4<1.
- Üstü 4’ten kurtulmak için |f(x)|<1 şartı aranır.
- f(x)=3-2x olduğu için-1<3-2x<1
- Bu aralığı çözelim:
- İlk uç: 3-2x<1\implies-2x< -2\implies x>1.
- İkinci uç: 3-2x>-1\implies -2x> -4\implies x<2.
- Sonuç:x\in(1,2).
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Ara Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | $g(x)<1\implies | f(x) |
| 2 | $ | f(x) |
| 3 | -1<3-2x<1 | — |
| 4 | Çözüm | 1<x<2 |
SSS
S1: g(x)≤1 durumu için x aralığı nedir?
C1: |3-2x|^4\le1\iff|3-2x|\le1\iff x\in[1,2].
S2: g(x)>1 olduğunda x nerededir?
C2: |3-2x|^4>1\iff|3-2x|>1\iff x<1\text{ veya }x>2.
S3: |f(x)|⁴ yerine |f(x)|² olsaydı çözüm nasıl değişirdi?
C3: Böylece |3-2x|^2<1\iff|3-2x|<1\iff x\in(1,2) değişmezdi; üs değişse de mutlak içi aynı kalır.
Çözümü netleştirmek veya benzer sorular üzerinde çalışmak ister misiniz?
@Fatma75