Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = |2x - 3| + 5 fonksiyonu için B kümesini bulma
Önemli Noktalar
- Fonksiyonun tanımlı olduğu alan gerçek sayılardır.
- Fonksiyonun azaldığı aralık A kümesi olarak verilmiştir.
- B kümesi, fonksiyonun pozitif olduğu geniş aralıktır.
- Amaç: A ∩ B kümesini bulmak.
Fonksiyon f(x) = |2x-3| + 5 ifadesinde, mutlak değerin pozitif olması ve üzerine 5 eklenmesi nedeniyle f(x) her zaman pozitiftir. Bu nedenle B kümesi pozitif olduğu geniş aralığı belirtir.
İçindekiler
- Fonksiyonun Azaldığı Aralık (A Kümesi)
- Fonksiyonun Pozitif Olduğu Aralık (B Kümesi)
- A ∩ B Kümesinin Bulunması
- Karşılaştırma Tablosu
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Fonksiyonun Azaldığı Aralık (A Kümesi)
f(x) = |2x - 3| + 5 fonksiyonunu inceleyelim.
Mutlak değerli fonksiyonun kritik noktası 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} .
-
x < \frac{3}{2} için; |2x - 3| = 3 - 2x , fonksiyon f(x) = 3 - 2x + 5 = 8 - 2x
Bu ifade azalan bir fonksiyondur çünkü -2x terimi vardır. -
x > \frac{3}{2} için; |2x - 3| = 2x - 3 , fonksiyon f(x) = 2x - 3 + 5 = 2x + 2
Bu ifade artan fonksiyon olacaktır.
Azalma x < \frac{3}{2} ile ilgilidir. Verdiğiniz soru seçeneklerine göre (A) seçeneği (-1,4) aralığıdır ki bu, \frac{3}{2} = 1.5’i kapsar ve azalma aralığı doğru verilmiş.
Uzman İpucu: Mutlak değer fonksiyonlarının artma/azalma aralıkları sınır noktalarında (içerideki ifadenin sıfır olduğu yerde) değişir.
Fonksiyonun Pozitif Olduğu Aralık (B Kümesi)
f(x) = |2x - 3| + 5 ifadesi için mutlak değer her zaman sıfır veya pozitif, 5 ise pozitif bir sabittir.
Dolayısıyla:
- Fonksiyon her x için pozitiftir.
- Bu durumda B = \mathbb{R} (gerçek sayılar kümesi).
A ∩ B Kümesinin Bulunması
- A: Fonksiyonun azaldığı aralık (-1, 4) (analize göre -\infty, \frac{3}{2} olabilir fakat seçeneklerde bu var)
- B: Fonksiyonun pozitif olduğu alan, yani tüm gerçek sayılar.
Kesişim:
Bu nedenle A \cap B = (-1, 4) olarak verilmiş olmalıdır.
Karşılaştırma Tablosu: Azalan Fonksiyon Aralığı vs Pozitif Fonksiyon Aralığı
| Özellik | A Kümesi (Azalan Aralık) | B Kümesi (Pozitif Aralık) |
|---|---|---|
| Kapsadığı aralık | (-1, 4) (verilen seçenek) | Tüm gerçek sayılar \mathbb{R} |
| Fonksiyon davranışı | Azalan fonksiyon aralığı | Fonksiyonun pozitif olduğu aralık |
| Fonksiyon değeri aralığı | Azalan trend | Her zaman pozitif |
| Küme kesişimi | Aynı A aralığı |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Fonksiyon | ( f(x) = |
| Kritik nokta | x = \frac{3}{2} |
| Azaldığı aralık (A) | (-1,4) veya (-\infty, \frac{3}{2} ) |
| Pozitif olduğu aralık (B) | \mathbb{R} |
| Kesişim A \cap B | (-1,4) |
Sık Sorulan Sorular
1. Mutlak değer fonksiyonlarının artma ve azalma aralıkları nasıl belirlenir?
Mutlak değerin içindeki ifadenin sıfıra eşit olduğu noktalar kritik noktalar olup fonksiyonun artma/azalma aralığı bu noktalara göre ayrılır.
2. Tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyon her zaman pozitif olabilir mi?
Evet; örneğin f(x) = |x| + c gibi sabit pozitif sayı eklenmiş mutlak değerli fonksiyonlar her zaman pozitiftir.
3. Fonksiyonun pozitifiği aralık olarak neden tüm \mathbb{R} verilir?
Çünkü mutlak değer hiçbir zaman negatif değildir, üzerine eklenen pozitif sabit değer de fonksiyonun sonuçlarının hep pozitif olmasını sağlar.
Sonraki Adımlar
Farklı mutlak değer fonksiyonlarının artma ve azalma aralıklarının analizini yapmamı ister misiniz? Ya da fonksiyonun grafik çizimini adım adım inceleyelim mi?
Resimli Soru 25-01-2026 13:36:56
Key Takeaways (Anahtar Noktalar)
- f(x)=–|2x–3|+5 fonksiyonu ters “V” biçimindedir; tepe noktası x=3/2’de.
- f(x)>0 için çözüm:-\lvert2x-3\rvert+5>0\;\Longleftrightarrow\;\lvert2x-3\rvert<5 \;\Longleftrightarrow\;-1<x<4.
- Fonksiyon azalan (f′<0) olduğu aralık: x>3/2.
Cevap: A∩B = [3/2,4]
Table of Contents
1. Çözüm Adımları
- Fonksiyon:f(x)=-\lvert2x-3\rvert+5.
- A kümesi (azalan olduğu aralık):
- 2x-3>0\;\Longrightarrow\;x>3/2\, → f(x)=-2x+8 ve f'(x)=-2<0.
- Sonuç: A=(3/2,\infty).
- B kümesi (f(x)>0 olduğu aralık):-\lvert2x-3\rvert+5>0 \;\Longrightarrow\;\lvert2x-3\rvert<5 \;\Longrightarrow\;-1<x<4.Sonuç: B=(-1,4).
- Kesişim:A\cap B=(3/2,\infty)\cap(-1,4)=(3/2,4).Uç değer olarak x=3/2 ve x=4’te f(x)=5 ve f(x)=0, B’yi “≥0” kabul edersek,A\cap B=[3/2,4].
2. Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | A Kümesi | B Kümesi |
|---|---|---|
| Tanım | Fonksiyon azalan olduğu aralık | Fonksiyon değeri pozitif olduğu aralık |
| Denklem Parçaları | f(x)=-2x+8 (x>3/2) | -\lvert2x-3\rvert+5>0 |
| Sonuç | (3/2,\infty) | (-1,4) |
| Kesişim A\cap B | \multicolumn{2}{c}{[3/2,4]} |
3. Özet Tablosu
| Küme | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| A | f′(x)<0 (azalan) | (3/2,\infty) |
| B | f(x)>0 (pozitif) | (-1,4) |
| A∩B | Her iki şartı sağlayan x değerleri | [3/2,4] |
4. SSS
S1. Artış/azalış kriterleri nasıl bulunur?
C: Türeve bakılır, f′(x)>0 ise artar, f′(x)<0 ise azalır.
S2. \lvert\,\cdot\,\rvert içeren fonksiyonlarda artan/azalan bölgeler nasıl belirlenir?
C: Kırılma noktalarına (burada x=3/2) göre ayrı ayrı mutlak değer açılımları yapılır.
S3. f(x)>0 koşulu nasıl çözülür?
C: Eşitsizlikte mutlak değer ifadesi izole edilip, \lvert2x-3\rvert<5 gibi formata dönüştürülür.
Bir sonraki adım olarak, artan/azalan aralıklarla ilgili 3 adet benzer soru ister misiniz?