Resimli Soru 25-01-2026 13:26:51

YKS TYT
1

17693368203965531515166752703780
176933682039655315151667527037804160×3120 660 KB

2

Soru: Gerçek Sayılarda Tanımlı f Fonksiyonunun Sıfırlarının Toplamı Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Grafik üzerinde verilen f(x) = |x - 3| - |x - 1| fonksiyonunun sıfır noktaları bulunacak
  • Mutlak değer fonksiyonları, tanım aralıklarına göre parçalı olarak ayrılarak çözülür
  • Sıfır noktalarının toplamı sorulmaktadır

f(x) = |x - 3| - |x - 1| fonksiyonunun sıfır noktalarını bulmak için mutlak değerlerin içinin işaretine göre parçalı tanım yazılmalıdır.

İçindekiler

  1. Fonksiyonun Parçalı Tanımı
  2. Sıfır Noktalarının Bulunması
  3. Sıfırların Toplamının Hesaplanması

Fonksiyonun Parçalı Tanımı

Fonksiyonun mutlak değerli ifadeleri, kritik noktalar x=1 ve x=3 çevresinde farklı şekilde açılır:

  • x < 1:

    |x - 3| = 3 - x, \quad |x - 1| = 1 - x

    Bu durumda:

    f(x) = (3 - x) - (1 - x) = 3 - x - 1 + x = 2

  • 1 \leq x < 3:

    |x - 3| = 3 - x, \quad |x - 1| = x - 1

    Dolayısıyla:

    f(x) = (3 - x) - (x - 1) = 3 - x - x + 1 = 4 - 2x

  • x \geq 3:

    |x - 3| = x - 3, \quad |x - 1| = x - 1

    Bu durumda:

    f(x) = (x - 3) - (x - 1) = x - 3 - x + 1 = -2

Sıfır Noktalarının Bulunması

Fonksiyonun sıfır yaptığı noktalar:

  • x < 1 aralığında f(x) = 2 \neq 0
    Sıfır yok.

  • 1 \leq x < 3 aralığında f(x) = 4 - 2x
    Sıfır noktası için:

    4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2

    2 bu aralıkta geçerli ve sıfırdır.

  • x \geq 3 aralığında f(x) = -2 \neq 0
    Sıfır yok.

Sadece x=2 noktası sıfır yapmaktadır. Ancak, grafik üzerinde sıfır olduğu düşünüldüğünde başka kök varsa gözle görülür.

Sıfırların Toplamının Hesaplanması

Grafikten de anlaşılacağı üzere; fonksiyonun grafiği iki farklı doğrusal parça şeklinde x=1 ve x=3 noktalarında değişime uğruyor.

Hatayı önlemek için sıfır noktası olan denklemi doğru kurmak için grafik detayına bakalım:

Verilen Grafik Fonksiyonu y=f(x)

  • Grafik, mutlak değerlerin toplamı veya farkı olduğu için, sıfır sayısı maksimum 3 olabilir.

Mutlak değer farkının sıfır noktalarını bulmanın diğer yolu:

|x - 3| = |x - 1|

Bu ifadeyi çözelim:

  1. x - 3 = x - 1 → Bu, -3 = -1 yani çelişki, geçersiz.
  2. x - 3 = -(x - 1)
x - 3 = -x + 1 \implies 2x = 4 \implies x=2
  1. -(x - 3) = x - 1
- x + 3 = x - 1 \implies 2x = 4 \implies x=2
  1. -(x - 3) = -(x - 1) → -x + 3 = -x + 1 \to 3=1 çelişki.

Burada sadece x=2 sıfır noktası orijinal mutlak değer eşitliği için geçerli.

Ancak soruda f(x) = |x - 3| - |x-1| verilmiş, ancak fonksiyonun grafikten başka sıfır noktaları olup olmadığı kontrol edilmelidir. Grafik iki doğrusal parça gösterdiği için başka sıfır yoktur.

Alternatif Yöntem: Grafik Analizi

Verilen grafik detaylarına göre f(x) şu parçalara ayrılır:

  • Solda sabit +2 değeri
  • Ortada azalan doğru parçası
  • Sağda sabit -2 değeri

Bu örüntüye göre sıfır değeri sadece ortadaki parçanın sıfıra eşit olduğu noktada var, o da x=2.

Sorunun Doğru Cevabı

Sadece bir sıfırı var: x=2

Ancak seçeneklerde tek bir değer yok, soru sıfırların toplamını soruyor.

Grafik üzerinde f(x) yerine f(x) = |x-3| - |x-1| değil, f(x) = |x-3| + |x-1| gibi ise (soru grafik yorumundan yanlış okunmuş olabilir).

Son Kontrol: Sorudaki Grafik ve Fonksiyon Yazımı

Grafikte

y = f(x)

verilmiş ve

f(x) = |x-3| - |x-1|

sıfırlarını istiyor.

Yukarıda sadece x=2 sıfırdır.

Fakat seçeneklerde negatif ve pozitif toplam değerler var.

Buna göre şunları yapabiliriz:

Fonksiyonun sıfırlarını çözmek için mutlak değerlerin eşitliği şartı yani

|x-3| = |x-1|

eşitliğinin köklerini bulduk: x=2

Ama grafik verilen, f(x)=|x-3| - |x-1| fonksiyonunun sıfır noktalarını denkleştirmek için:

  1. x < 1
|x-3| = 3 - x, \quad |x-1| = 1 - x \implies f(x) = 2 \neq 0
  1. 1 \leq x < 3
f(x) = 4 - 2x = 0 \implies x=2
  1. x \geq 3
f(x) = -2 \neq 0

Buna göre sadece x=2 sıfırdır.

Sonuç: Sıfırların Toplamı = 2

Ama seçeneklerde 2 yok. Muhtemelen soruda verilen grafik, f(x) = |x -3| + |x -1| fonksiyonudur veya başka bir fonksiyon vardır.

Soru Grafik Yorumu ile Çözüm İpucu

Grafikten geçirilen doğru parçalarının denklemini inceleyelim:

  • İlk kırık noktası x= (7/2) = 3.5
  • İkinci kırık noktası x= (3/2) = 1.5

Grafiğin orijinal fonksiyonla karşılaştırılması:

Grafikte, sıfırlar x= \frac{7}{2} = 3.5 ve x = \frac{3}{2} = 1.5 gibi görünüyor.

Soru metni ve seçenekleri göz önünde bulundurulduğunda ve grafik üzerinden sıfırlar yaklaşık bu değerlerde gibi.

Karşılaştırmalı Tahmin: Fonksiyonun Sıfırları Toplamı

Sıfırların yaklaşık olarak x= \frac{7}{2} ve x= \frac{3}{2} olduğu düşünülebilir.

Toplamları:

\frac{7}{2} + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5

Seçeneklerde 5/2 ve 7/2 var, ancak toplam 5 yok.

Yine farklı bir varsayımla:

  • Sıfırlar: -\frac{7}{2} ve \frac{3}{2} ise toplam:
-\frac{7}{2} + \frac{3}{2} = -2

Bu seçenekte yok.

  • Sıfırlar x= -\frac{7}{2} ve x= \frac{7}{2} ise toplam: 0

Doğru ve Net Çözüm İçin Özet Tablo

Bölge f(x) Sıfır Noktası
x<1 f(x) = 2 Yok
1 \leq x <3 f(x) = 4-2x x=2
x \geq 3 f(x) = -2 Yok

Sıfırların toplamı = 2

Cevap: \boxed{2} değil, seçeneklerde yok.

Muhtemelen soruda küçük bir hata var veya grafik yorumu önemli.

Destekleyici Hesaplama:

Alternatifden fonksiyon g(x) = |x-3| + |x -1| olursa:

Sıfır noktası yok (mutlak değer toplamı sıfır olmaz).

Bu durumda belki soru fonksiyonun sıfır değil, köklerin toplamı diye değerlendirilmiştir.

Sonuç ve Öneri

  • Fonksiyonun sıfırları sadece x = 2
  • Sadece tek sıfır var ise toplam 2
  • Seçeneklerde 2 yok, soru tekrar gözden geçirilmeli

Bu soruda daha net yardımcı olabilmem için fonksiyon ifadesini netleştirir misiniz? Grafik ve fonksiyon farklı verilmiş olabilir.

Sık Sorulan Sorular

F1: Mutlak değer içeren fonksiyonların sıfırları nasıl bulunur?
Mutlak değer ifadeleri tanım aralıklarına göre parçalanır. Her parçanın denklemi ayrı çözülür ve bulunan kökler toplamı değerlendirilir.

F2: Mutlak değer farkları ve toplamları arasındaki fark nedir?
Farklar negatif veya pozitif olabilir, sıfır noktaları olur. Toplam ise her zaman pozitif veya sıfırdır, sıfır noktası genelde sadece mutlak değerlerin içinde eşitlik durumunda olur.

F3: Paralel grafiklerden fonksiyon hakkında nasıl çıkarım yapılır?
Grafiği farklı bölgeler için doğrusal parçalar olarak inceleyip kökler ve fonksiyon değerleri kolayca tahmin edilir.

Sonraki Adımlar

Fonksiyonun köklerini mutlak değerlerin parçalı tanımı ile detaylı adım adım inceler misiniz? İsterseniz bunu birlikte yapabiliriz. Ayrıca diğer mutlak değer fonksiyonlarının kök bulma yöntemlerini öğrenmek ister misiniz?

@Fatma75

3

Grafiği Verilen f Fonksiyonuna Göre Soru

Aşağıda gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre gerçek sayılarda

g(x)=f\bigl(2 - x\bigr)\;-\;1

şeklinde tanımlı g fonksiyonunun sıfırlarının toplamı kaçtır?

Önemli Çıkarımlar

  • f fonksiyonu, tepe noktası (1,0) olan parçalı doğrusal bir grafiğe sahiptir.
  • g(x)=f(2-x)-1 işlemi önce f’i dikey eksen etrafında yansıtır (öteleme değil), sonra birim aşağı kaydırır.
  • g(x)=0 denklemi, önce
    f(2 - x) = 1
    şartını, sonra da parçalı tanıma göre iki çözümü verir; bunların toplamı bulunur.

İçindekiler

  1. f Fonksiyonunun İncelenmesi
  2. g Fonksiyonunun Oluşturulması
  3. Sıfırların Bulunması
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. f Fonksiyonunun İncelenmesi

Grafikten okunur ki f, tepe noktası (1,0) olan ve iki ayrı doğrusal parçadan oluşan bir fonksiyondur. Genellikle şu biçimde yazılır:

f(x)= \begin{cases} 1 - x, & x < 1,\\[6pt] 2(x - 1), & x \ge 1. \end{cases}
  • Sol kol: eğimi -1, f(0)=1.
  • Sağ kol: eğimi +2, f(2)=2.

2. g Fonksiyonunun Oluşturulması

Tanımda

g(x)=f(2 - x)-1

yer alır. Adımlar:

  1. x değerini önce 2 - x olarak alıp f’e sokuyoruz.
  2. Ortaya çıkan değerden 1 çıkarıyoruz.

Bu, grafiğin yatayda yansıması (eksenel dönüşüm) ve dikey aşağı kayması demektir.

3. Sıfırların Bulunması

g(x)=0 için:

f(2 - x)\;-\;1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad f(2 - x)=1.

Parçalı tanıma göre iki çözüm var:

  1. 2 - x < 1 bölgesinde
f(t)=1 - t =1 \quad\Longrightarrow\quad 1 - t =1 \quad\Longrightarrow\quad t=0.

Burada t=2 - x, dolayısıyla

2 - x = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = 2.
  1. 2 - x \ge 1 bölgesinde
f(t)=2(t - 1)=1 \quad\Longrightarrow\quad 2(t-1)=1 \quad\Longrightarrow\quad t-1=\tfrac12 \;\Longrightarrow\; t=\tfrac32.

Yine t=2 - x olduğuna göre

2 - x = \tfrac32 \;\Longrightarrow\; x_2 = 2 - \tfrac32 = \tfrac12.

Sıfırlar: x_1=2 ve x_2=\tfrac12.
Toplamları:

x_1 + x_2 = 2 + \tfrac12 = \tfrac{5}{2}.

Doğru seçenek: D) \displaystyle \tfrac{5}{2}

Özet Tablosu

Adım Denklem Çözüm
1. g(x)=0 f(2-x)-1=0 f(2-x)=1
2. Sol parça 1 - t=1 t=0 → x=2
3. Sağ parça 2(t-1)=1 t=\tfrac32 → x=\tfrac12
4. Toplam 2 + \tfrac12 \tfrac{5}{2}

SSS

  1. f fonksiyonunun tepe noktası neden (1,0) olarak alındı?
    Grafikte V şeklinin en düşük noktası x=1 üzerinde ve y=0’da olduğu için.

  2. Parçalı fonksiyonda sınır şartı niçin “<1” ve “\ge1” şeklinde ayrılır?
    Tepe noktasındaki değerin çakışmaması ve fonksiyonun sürekliliği sağlamak için “\ge” bir tarafta seçilir.

  3. g dönüşümünde önce yansıma mı, sonra kaydırma mı yapılır?
    Önce x\mapsto 2-x ile yansıma, sonra çıkan sonuctan 1 çıkarılarak dikey kaydırma.

  4. f(t)=1 denklemi neden iki çözüm veriyor?
    V-şekilli grafik, bir yatay doğruyu y=1’de iki noktada keser.

Bir sonraki adım olarak, benzer dönüşümlü sorulardan birkaç tane çözmek ister misiniz? @Fatma75