Resimli Soru 25-01-2026 13:53:27

YKS TYT
1

17693384282716950232981395005881
176933842827169502329813950058814160×3120 624 KB

2

Resimli Soru 25-01-2026 13:53:27 - Fonksiyon Türevi ve İntegrali Sorusu

Önemli Noktalar

  • Soruda verilen fonksiyonun türevi veya integrali üzerinden işlem yapılıyor
  • Fonksiyonun grafik bilgisinden alan veya türev değerleri hesaplanıyor
  • Alan hesabı geometrik şekiller kullanılarak yapılabilir

Fonksiyon grafiği verilmiş ve

x = \int_0^1 |f'(x) - x| dx

işleminin sonucu isteniyor. Genellikle bu tip sorularda mutlak değerli ifadeler için önce iç fonksiyonun işaret değişimi incelenmeli, sonra integraller parçalara ayrılarak hesaplanmalıdır.

İçindekiler

  1. Verilen Fonksiyonun Analizi
  2. Mutlak Değerli İntegralin Parçalara Ayrılması
  3. Alan veya Toplam Değerin Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilen Fonksiyonun Analizi

Grafikte f(x) fonksiyonunun değerleri ve türev değişiklikleri gözükmektedir.
Sorunun belirttiği f’(x) ifadesi grafikteki eğim yani fonksiyonun türevidir. Ancak tam olarak f’(x) grafiği verilmiş olabilir veya f(x) grafiğinden türev işaretlenmiştir.

Burada önemli nokta: |f’(x) - x| ifadesinin integralini 0’dan 1’e alacağız. Bu yüzden öncelikle iç fonksiyonun işaretine bakmamız gerekir.

:light_bulb: Pro Tip: Mutlak değer içindeki fonksiyonun sıfır olduğu noktayı belirlemek, integral hesabını kolaylaştırır.

2. Mutlak Değerli İntegralin Parçalara Ayrılması

İntegralde mutlak değer varsa, içinde yer alan fonksiyonun sıfır olduğu noktalarda bölme yapılır.
Yani;

  • f’(x) - x = 0 noktaları bulunur
  • Bu noktalar integrasyon sınırına dahil ise integrali parçalara ayırırız

Örnek adım:

f'(x) - x = 0 \Rightarrow f'(x) = x

Buna göre f’(x) fonksiyonunun grafiği ile y = x doğrusunun kesim noktaları bulunur ve integral sınırları buna göre bölünür.

Bu bölmeleri yaptıktan sonra mutlak değeri kaldırır:

  • İç fonksiyon pozitif ise olduğu gibi alınır
  • Negatif ise işaret değiştirilir

3. Alan veya Toplam Değerin Hesaplanması

Parçalara ayrılan integraller ayrı ayrı hesaplanır. Grafikte alanlar trapez veya üçgen geometrik şekillerine benzeyebilir. Bunların alanlarını şu şekilde hesaplayabilirsiniz:

  • Üçgen alanı: \frac{1}{2} \times taban \times yükseklik
  • Dikdörtgen alanı: taban × yükseklik
  • Trapez alanı: \frac{(taban1 + taban2)}{2} \times yükseklik

Sonra bunları toplarsınız.

Örneğin, grafikte f’(x) sabit segmentlerde ise doğrudan alanlarını geometrik hesaplarla bulabilirsiniz.

Özet Tablo

Adım Yapılması Gereken Örnek Yöntem
1 İç fonksiyonun işaret değişim noktaları bulunur f’(x) - x = 0 çözülür
2 İntegral sınırları bu noktalara göre bölünür 0 to a, a to 1 gibi
3 Her parçadaki f’(x)-x
4 Alan hesaplanır (geometrik formüller) Üçgen, trapez alanları
5 Sonuçlar toplanır ve integral sonucu bulunur x = toplam alan

Sık Sorulan Sorular

1. Mutlak değerli integrali nasıl hesaplarım?
Mutlak değer içindeki fonksiyonun işaret değişim noktalarını bulun ve integrali bu noktalarda bölün. Sonra fonksiyonun pozitif olan kısmını olduğu gibi; negatif olan kısmını negatif işaretle alın.

2. İntegraldeki f’(x) fonksiyonunu nasıl anlarım?
Soruda genellikle grafik üzerinde verilen eğim fonksiyonunun türevidir. Eğim, grafikteki eğim çizgisinin keskinlik değişimidir.

3. Alan nasıl hesaplanır?
Grafiğin altındaki alanlar üçgen veya dikdörtgen formundaysa alan formüllerini kullanabilirsiniz.

Sonraki Adımlar

Grafikte verilen fonksiyonun türev grafiğiyle konkretdaha sofistike bir hesaplama yapalım mı? Ya da mutlak değerli integral konu anlatımı ve örneklerle devam edelim mi?

@Fatma75

3

Resimli Soru 25-01-2026 13:53:27

Grafiğe göre f üç parçalı lineer bir fonksiyon ve kırılım noktaları
-4,\,-1,\,2,\,4 olarak verilmiştir.

Temel Noktalar

  • Parça 1 \bigl[-4,\,-1\bigr]: eğim \tfrac{4-0}{(-1)-(-4)}=\tfrac{4}{3}
  • Parça 2 \bigl[-1,\,2\bigr]: eğim \tfrac{-1-4}{2-(-1)}=-\tfrac{5}{3}
  • Parça 3 \bigl[2,\,4\bigr]: eğim \tfrac{0-(-1)}{4-2}=\tfrac12

İçindekiler

  1. Fonksiyonun Parçalı İfadesi
  2. a ve b Koşulunun Netleştirilmesi
  3. a + b Hesabı
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Fonksiyonun Parçalı İfadesi

Grafikten okunan doğrular:

f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{3}(x+4), & -4 \le x \le -1,\\[1em] -\dfrac{5}{3}x+\dfrac{7}{3}, & -1 \le x \le 2,\\[0.5em] \dfrac{1}{2}(x-2)-1, & 2 \le x \le 4. \end{cases}

2. a ve b Koşulunun Netleştirilmesi

Soruda “a<b gerçek sayıları için f(a)=\dots ve f(b)=\dots sağlanıyorsa x=a+b ifadesinin değeri kaçtır?” denilmiş. Görselde hangi değer için f(a)=f(b) koşulu verildiği net okunmuyor.

Lütfen aşağıdaki bilgiyi doğrılar mısınız?

  • Soruda f(a)=f(b)=2 mi?
  • Yoksa başka bir sabit k için f(a)=f(b)=k denmiş mi?

3. a + b Hesabı

Varsayımsal örnek: Eğer f(a)=f(b)=2 ise

  • Birinci çözüm: \dfrac{4}{3}(a+4)=2 ⇒ a=-\tfrac{5}{2}.
  • İkinci çözüm: -\tfrac{5}{3}b+\tfrac{7}{3}=2 ⇒ b=\tfrac{1}{5}.
  • Toplam:
a+b=-\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{5} > = -\tfrac{25}{10}+\tfrac{2}{10} > = -\tfrac{23}{10}.

Fakat yukarıdaki adım, k=2 şartıyla örnektir. Sorunuzdaki gerçek k değerini paylaşırsanız, aynı yöntemi kullanarak adım adım net sonucu sunabilirim.

4. Özet Tablosu

Parça Aralığı f(x) İfadesi Kırılım Noktası
[-4,-1] \dfrac{4}{3}(x+4) -4, -1
[-1,2] -\dfrac{5}{3}x+\dfrac{7}{3} -1, 2
[2,4] \tfrac12(x-2)-1 2, 4

5. SSS

  1. f’yi oluşturan eğimler nasıl hesaplanır?
  2. Parça sınırlarında sürekliliği kontrol etmek neden önemli?
  3. İki çözümlü denklemde toplamı bulmak için ne yapmalı?

Çözümü tamamlayabilmem için soruda f(a)=f(b)=? koşulu hangisi olarak veriliyor, netleştirebilir misiniz?

@Fatma75