Fonksiyon Problemi: f ve g Fonksiyonları ile İlgili Doğruluk Değerlendirmesi
Önemli Noktalar
- Verilen: f(x) = |x+3| ve g(x) = f(x) + k
- k reel sayı
- Fonksiyonların sıfırları, maksimum değerleri ve artan/azalan aralıkları incelenmeli
- Amaç: I, II, III ifadelerinin doğruluğunu belirlemek
g(x) = |x+3| + k fonksiyonu, f(x) fonksiyonunun eğim ve formunu değiştirmeden sadece dikey olarak k kadar kaydırılmış halidir.
Analiz
I. İfade: k > 0 için g(x) fonksiyonunun sıfırı yoktur.
- f(x) = |x+3|'ün minimum değeri 0’dır (x = -3 noktasında)
- g(x) = |x+3| + k
- k > 0 olunca, g(x) \geq k > 0 olur
- Bu durumda, g(x) asla sıfıra eşit olamaz
Sonuç: I. ifade doğrudur.
II. İfade: k = -1 için g(x) fonksiyonunun maksimum değeri -1’dir.
- f(x) = |x+3| fonksiyonu, mod bir fonksiyon olduğu için herhangi bir maksimum değeri yoktur (sonsuz büyüyebilir).
- Dolayısıyla g(x) = |x+3| - 1 fonksiyonunun da maksimum değeri yoktur, sadece minimum değeri -1 olur (x = -3 noktasında).
- İfade maksimum değer olarak -1 diyor, ki bu yanlıştır.
Sonuç: II. ifade yanlıştır.
III. İfade: f ve g fonksiyonlarının artan ya da azalan olduğu en geniş aralıklar birbirine eşittir.
- f(x) = |x+3| fonksiyonunda,
- (-\infty, -3) aralığında azalan
- (-3, \infty) aralığında artan
- g(x) = |x+3| + k formunda, sadece dikey kayma vardır, artan-azalan aralıkları değişmez.
- Dolayısıyla, artan ve azalan aralıklar aynı kalır.
Sonuç: III. ifade doğrudur.
Doğru Cevap
- Doğru ifadeler: I ve III
- Şıklar arasında: E) I ve III
Özet Tablo
| İfade No | İfade Özeti | Doğru mu? |
|---|---|---|
| I | k>0 için g(x) sıfır yoktur | Evet |
| II | k=-1 için maksimum değer -1 | Hayır |
| III | Artan/azalan aralıkları eşittir | Evet |
Sık Sorulan Sorular
1. |x+3| fonksiyonun grafiği nasıldır?
V şekline benzeyen, tepe noktası (-3,0) olan bir mod fonksiyonudur. Sol tarafı azalan, sağ tarafı artandır.
2. g(x) = f(x) + k formundaki fonksiyonun grafiği nasıl değişir?
Dikeyde k birim kayar. Artan-azalan aralıkları değişmez.
3. Mod fonksiyonların maksimum değeri olur mu?
Hayır, genellikle yoktur; minimum değerleri vardır.
Bu konu hakkında grafikleri görmek ister misiniz, yoksa benzer sorular ve çözümler üzerinden devam edelim mi?
@Fatma75
Gerçek sayılarda f(x)=|x+3| ve g(x)=f(x)+k (k∈ℤ) için I., II. ve III. ifadelerinden hangileri doğrudur?
Önemli Noktalar:
- |x+3|\ge0 olduğundan g(x)=|x+3|+k her zaman \ge k değerini alır.
- k>0 ise g(x)\ge k>0 olduğundan sıfır yapacak çözüm yoktur.
- f(x) ve g(x) dikey kaydırma ilişkisi nedeniyle aynı artan/azalan aralıklara sahiptir.
Doğru Yanıt: Seçenek E) I ve III
İçindekiler
- I. İfade: Kök (k>0)
- II. İfade: Maksimum (k=−1)
- III. İfade: Artan/Azalan Aralıklar
- Karşılaştırmalı Tablo
- Özet Tablosu
- Sıkça Sorulan Sorular
I. İfade: k>0 için kök
g(x)=|x+3|+k. Çünkü |x+3|\ge0,
Dolayısıyla g(x)=0 denkleminin hiç kökü yoktur. → Doğru
II. İfade: k=−1 için maksimum
k=-1 için
|x+3| ifadesi \to\infty gittiğinden g(x) de üst sınırı yoktur.
En küçük değeri -1 olur (x=−3’te), maksimum tanımsızdır. → Yanlış
III. İfade: Artan/Azalan Aralıklar
- f(x)=|x+3| fonksiyonu
- Azalan: (-\infty,-3)
- Artan: (-3,\infty)
- g(x)=f(x)+k dikey kaydırma olduğu için aynı aralıklarda azalır/artar. → Doğru
Karşılaştırmalı Tablo
| Fonksiyon | Azalan Olduğu Aralık | Artan Olduğu Aralık |
|---|---|---|
| (f(x)= | x+3 | ) |
| (g(x)= | x+3 | +k) |
Özet Tablosu
| İfade | Değerlendirme |
|---|---|
| I | Doğru (k>0 için kök yok) |
| II | Yanlış (k=−1’de maksimum yok) |
| III | Doğru (aynı artan/azalan aralıkları paylaşırlar) |
Sıkça Sorulan Sorular
-
Fonksiyonun kökü nasıl bulunur?
- Sıfıra eşitleyip denklemi çözüyoruz: |x+3|+k=0.
-
Bir fonksiyonun maksimum veya minimum değeri nasıl belirlenir?
- Tanım kümesindeki uç nokta ve kritik noktalardaki değerleri inceleriz; mutlak değer fonksiyonları için köşe noktaları (burada x=−3) kritik.
-
Dikey kaydırma artan/azalan aralıkları değiştirir mi?
- Hayır, f(x)+k formundaki kaydırmalar yalnızca değerleri yukarı/aşağı taşır, artan/azalan aralıkları etkilemez.
-
k değerine göre minimum değeri nasıl ifade ederiz?
- Genelde \min g(x)=k (k≥0 için 0+k=k; k<0 için -1+k değil, mutlak değerin minimumu 0’dır).
Benzer bir mutlak değer fonksiyonu sorusu çözmek ister misiniz?
@Fatma75