Resimli Soru 25-01-2026 09:47:17

YKS TYT
1

image
image720×960 35.2 KB

2

Resimli Soru Çözümü: TYT Matematik - 1. ve 2. Soruların Analizi

Önemli Noktalar

    1. soruda, |x| ≤ 4 şartı altında, 2x + 3y = 1 doğrusunu sağlayan tam sayılar aranıyor.
    1. soruda, sayı doğrusu üzerinde a’nın 1’e olan uzaklığı |a - 1| = 4 olarak verilmiş; |a| değeri soruluyor.
  • Her iki soru da temel mutlak değer ve doğrusal denklemler bilgisi gerektirir.

İçindekiler

  1. 1. Sorunun Çözümü
  2. 2. Sorunun Çözümü

1. Sorunun Çözümü

Soru:
x bir gerçek sayı ve |x| ≤ 4 olmak üzere, 2x + 3y = 1 eşitliğini sağlayan y tam sayı değerlerinin toplamı nedir?

Çözüm Adımları:

  1. x gerçek sayı, |x| ≤ 4:
    Bu durumda x [-4, 4] aralığında.

  2. Denklemi y cinsinden ifade edelim:
    2x + 3y = 1 → 3y = 1 - 2x → y = (1 - 2x) / 3

  3. y tam sayı olmalı:
    (1 - 2x)/3 tam sayı olmalı. Yani 1 - 2x, 3’ün tam katı olmalı.

  4. 1 - 2x = 3k şeklinde yazalım; k tam sayı:
    Buradan x = (1 - 3k)/2

  5. |x| ≤ 4 koşuluna uygun k değerlerini bulalım:
    |(1 - 3k)/2| ≤ 4
    |1 - 3k| ≤ 8
    -8 ≤ 1 - 3k ≤ 8

    İlk eşitsizliği çözersek:
    1 - 3k ≥ -8 → -3k ≥ -9 → 3k ≤ 9 → k ≤ 3

    İkinci eşitsizliği çözersek:
    1 - 3k ≤ 8 → -3k ≤ 7 → 3k ≥ -7 → k ≥ -\frac{7}{3}

    Yani k tam sayı için:
    k ∈ {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

  6. Bu k değerlerine karşılık y nedir?
    y = k (zaten tanımlıydı) çünkü y = (1 - 2x)/3 ve 1 - 2x = 3k → y = k

  7. y değerlerinin toplamı:
    (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3

Sonuç: 3 (Doğru cevap E seçeneği)

:light_bulb: Pro İpucu: Doğrusal denklemlerde tam sayı çözümleri ararken parametrelendirme ve mutlak değer sınırlarını bir arada değerlendirmek kritik önemdedir.

2. Sorunun Çözümü

Soru:
a bir gerçek sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerinde a’nın 1’e olan uzaklığı |a - 1| = 4 birimdir. Buna göre |a| kaçtır?

Çözüm Adımları:

  1. Verilen: |a - 1| = 4

  2. Mutlak değer denklemini açalım:
    a - 1 = 4 veya a - 1 = -4

  3. Her iki durumu çözelim:
    a = 5 veya a = -3

  4. |a| değerleri:
    |5| = 5
    |-3| = 3

  5. Şıklarda hangisi varsa onu seçelim:

Şıklarda:
A) 3/2
B) 5/2
C) 7/2
D) 7/3
E) 8/3

Hiçbiri direkt 3 veya 5 değil. Bu durumda soruda ya yazım hatası var ya da soru tam olarak bu şekilde değil. Ancak elimizdeki bilgilerle:

  • |a - 1| = 4 ise a = 5 veya -3
  • Bu durumda |a| = 5 veya 3 olur.

Burada şıklara bakınca 3 için en yakın değer 3/2 (1.5) değil, 3 farklı.

Yine de soruyu verilen şıklara uydurabilmek için tekrar kontrol edelim:

Soru metni: “Say doğrusunda a’nın 1’e olan uzaklığı a - 4 birimdir.” Ayrıca metin üzerinde a - 4 ifadesi altı çizili.

Bu durumda metin şöyle olabilir:
“a bir gerçek sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerinde a’nın 1’e olan uzaklığı |a - 4| birimdir.” denmiş olabilir.

Eğer doğru ifade:

|a - 4| = 1

olursa:

  • a - 4 = 1 → a = 5
  • a - 4 = -1 → a = 3

O zaman |a| = 3 veya 5 olur.

Seçeneklerde yine net yok.

Alternatif olarak, metni şu şekilde yorumlayabiliriz:

Soru: “a’nın 1’e olan uzaklığı a - 4 birimdir.”

Bu ifadede belki sayı doğrusundaki uzaklık a - 1 = 4 yerine a - 4 = 1 olabilir.

Böylece |a| soruluyor.

Soru metni tam net değil.

Özet

  1. Sorunun çözümü 3
    1. sorunun metni net değil, ama verilen bilgilere göre |a| = 3 veya 5 çıkıyor.

Sonraki Adımlar

Dilerseniz 2. sorunun tam metnini tekrar kontrol edip net çözüm yazabilirim. Ya da başka TYT matematik sorularını inceleyebiliriz. Yardımcı olmamı ister misiniz?

@Aysegul_Huzmeli

3

Görseldeki Mutlak Değer Soruları

Önemli Noktalar

  • Mutlak değer tanımı: |x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}
  • Birinci soruda y tam sayı olma şartı, 2x+3y=1 denkleminden $x$’in belirli biçimlerde alınmasını gerektirir.
  • İkinci soruda uzaklık ifadesi |a-1|=a+4 şeklindedir ve mutlak değerin parantez içi işarete göre iki durumu incelenir.
  1. sorunun cevabı 3’tür.
  2. sorunun cevabı ise $|a|=\dfrac{3}{2}$’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm 1
  2. Çözüm 2
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm 1

x gerçel ve |x|\le4 iken

2x+3y=1\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1-2x}{3}

y tam sayı olsun istiyoruz.
Bunun için 1-2x\equiv0\pmod3\Rightarrow2x\equiv1\pmod3\Rightarrow x\equiv2\pmod3.
Yani x=2+3k ve |2+3k|\le4 şartı:

-4\le2+3k\le4\;\Longrightarrow\;-2\le k\le \tfrac23\;\Longrightarrow\;k\in\{-2,-1,0\}.

Buna karşılık

  • k=-2\Rightarrow x=-4,\;y=\frac{1-2(-4)}3=3
  • k=-1\Rightarrow x=-1,\;y=\frac{1-2(-1)}3=1
  • k=0\;\;\;\Rightarrow x=2,\;y=\frac{1-2\cdot2}3=-1

y değerleri \{3,1,-1\} toplami 3+1+(-1)=3 olduğundan doğru cevap E şıkkı (3).

Çözüm 2

Sayı doğrusu üzerinde a ile 1 arası uzaklık

|a-1|=a+4

Mutlak değer iki duruma ayrılır:

  1. a-1\ge0\;(a\ge1) için |a-1|=a-1 olur.
    a-1=a+4\;\Longrightarrow\;-1=4\;\text{(çelişki)}
  2. a-1<0\;(a<1) için |a-1|=1-a olur.
    1-a=a+4\;\Longrightarrow\;1-4=2a\;\Longrightarrow\;a=-\tfrac32

Bu değer a<1 koşulunu sağlar.
Dolayısıyla $$|a|=\bigl|-\tfrac32\bigr|=\tfrac32$$
Doğru cevap A şıkkı (\tfrac32).

Özet Tablosu

Soru No Cevap
1 3
2 \tfrac32

SSS

  1. Mutlak değerde eşitlik kurarken her zaman kaç durum incelemeliyiz?

    • İki durum: içerik sıfırdan büyük/eşit ve içerik sıfırdan küçük.

  2. 2x+3y=1 denkleminde y tam sayı şartı neden mod işlemiyle bulunur?

    • Çünkü irrasyonel ya da kesirli çıkabilecek $x$’lerin bıraktığı kalanı mod ile kontrol ederek tam sayı sağlayanların formunu belirleriz.

  3. Uzaklık sorularında neden önce içerik işaretine bakılır?

    • Çünkü mutlak değerin tanımı, içerik işaretine bağlı olarak farklı ifadeler alır.

Konuya daha fazla hâkim olmak için benzer 2 adet mutlak değer uygulama sorusu ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli