Resimli Soru 24-11-2025 18:06:22

Selver_Onen · November 24, 2025, 3:06pm

@sorumatikbot

o4-mini_bot · November 24, 2025, 3:07pm

Soru:
(3a + 1) ve (2b – 3) sayıları aralarında asaldır.
20b – 36a = 42 olduğuna göre, a·b çarpımı kaçtır?

Çözüm Adımları:

Aralarında asal olan iki sayıyı tam sayı olarak gösterebilmek için
3a + 1 = m ve 2b – 3 = n olacak şekilde tanımlayalım.
Burada m ve n tam sayı ve gcd(m,n)=1 (aralarında asal) olsun.
a ve b’yi m ile n cinsinden ifade edelim:
a = (m – 1)/3
b = (n + 3)/2
Verilen denklemi m,n cinsine çevirelim:
20b – 36a = 42
20·(n+3)/2 – 36·(m–1)/3 = 42
10(n + 3) – 12(m – 1) = 42
10n + 30 – 12m + 12 = 42
10n – 12m + 42 = 42
10n – 12m = 0
5n – 6m = 0 ⇒ 5n = 6m
5n = 6m ve gcd(m,n)=1 şartından dolayı
m = 5k, n = 6k ve gcd(5k,6k)=k·gcd(5,6)=k·1=k olmalı.
Aralarında asal olmak için k=1 alınır.
Böylece m=5, n=6 bulunur.
a ve b’yi hesaplayalım:
a = (m – 1)/3 = (5 – 1)/3 = 4/3
b = (n + 3)/2 = (6 + 3)/2 = 9/2
Son olarak a·b çarpımını alalım:
a·b = (4/3)·(9/2) = 36/6 = 6

Cevap: 6 (D şıkkı)

@Selver_Onen

uzman_bot · November 24, 2025, 3:09pm

Soru:

(3a + 1) ve (2b - 3) sayıları aralarında asaldır.
20b - 36a = 42 olduğuna göre, a \cdot b çarpımı kaçtır?

Çözüm:

Verilenler:

(3a + 1) ve (2b - 3) aralarında asaldır.
20b - 36a = 42

Amaç:

a \cdot b çarpımını bulmak.

1. Adım: Aralarında asal sayılar

İki sayının aralarında asal olması, en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması demektir.

Yani,
$$\gcd(3a + 1, 2b - 3) = 1$$

2. Adım: Verilen denklemi düzenleyelim

20b - 36a = 42

Her terimi 2 ile sadeleştirelim:

10b - 18a = 21

3. Adım: Denklemi b cinsinden yazalım

10b = 21 + 18a

b = \frac{21 + 18a}{10}

Burada b tam sayı olmalı, çünkü a ve b sayılardır.

4. Adım: b tam sayı olmalı koşulunu sağlayalım

b = \frac{21 + 18a}{10} \in \mathbb{Z}

Yani, 21 + 18a sayısı 10’a tam bölünmeli.

5. Adım: Mod 10 hesabı yapalım

21 + 18a \equiv 0 \pmod{10}

21 \equiv 1 \pmod{10}
18a \equiv 8a \pmod{10} (çünkü 18 mod 10 = 8)

O halde:

1 + 8a \equiv 0 \pmod{10}

8a \equiv -1 \equiv 9 \pmod{10}

6. Adım: 8a \equiv 9 \pmod{10} denklemini çözelim

8a \equiv 9 \pmod{10}

8 \equiv 8 \pmod{10}

Çarpanların tersini bulalım. 8’in mod 10 göre tersi 8’dir çünkü:

8 \times 8 = 64 \equiv 4 \neq 1

Deneyelim:

a=3: 8 \times 3 = 24 \equiv 4 \neq 9
a=7: 8 \times 7 = 56 \equiv 6 \neq 9
a=9: 8 \times 9 = 72 \equiv 2 \neq 9
a=8: 8 \times 8 = 64 \equiv 4 \neq 9
a=4: 8 \times 4 = 32 \equiv 2 \neq 9
a=6: 8 \times 6 = 48 \equiv 8 \neq 9
a=1: 8 \times 1 = 8 \neq 9
a=5: 8 \times 5 = 40 \equiv 0 \neq 9
a=2: 8 \times 2 = 16 \equiv 6 \neq 9

Hiçbiri 9’a eşit değil. Burada mod 10’da tersini bulmak için daha sistematik yaklaşalım.

7. Adım: Mod 10’da tersini bulma

8a \equiv 9 \pmod{10}

8 \equiv 8

Çarpan tersi x için:

8x \equiv 1 \pmod{10}

Deneyelim:

8 \times 1 = 8 \neq 1
8 \times 2 = 16 \equiv 6
8 \times 3 = 24 \equiv 4
8 \times 4 = 32 \equiv 2
8 \times 5 = 40 \equiv 0
8 \times 6 = 48 \equiv 8
8 \times 7 = 56 \equiv 6
8 \times 8 = 64 \equiv 4
8 \times 9 = 72 \equiv 2

Hiçbir sayı 1 mod 10 vermiyor. Yani 8’in mod 10 göre tersi yoktur.

8. Adım: Mod 2 ve mod 5 olarak inceleyelim

Çünkü 10 = 2 × 5.

Mod 2:

21 + 18a \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{2}

1 mod 2, 0 değil. Yani mod 2’de bölünmez.

Bu durumda b tam sayı olamaz. Ancak problemde a,b sayılarının tam sayı olduğu varsayılır.

9. Adım: Soruyu tekrar değerlendirelim

Belki a ve b tam sayı değil, sadece sayılar. Ancak aralarında asal olmaları için tam sayı olmaları gerekir.

Alternatif olarak, 3a + 1 ve 2b - 3 aralarında asal ise, bu sayıların ortak böleni 1’dir.

10. Adım: 3a + 1 ve 2b - 3 sayılarının ortak bölenini bulalım

Eğer d = \gcd(3a + 1, 2b - 3) ise, d her iki sayıyı da böler.

d aynı zamanda, d sayısının herhangi tam sayı kombinasyonunu da böler.

Yani,
d \mid (2 \times (3a + 1)) \Rightarrow d \mid (6a + 2)

d \mid (3 \times (2b - 3)) \Rightarrow d \mid (6b - 9)

11. Adım: d sayısı 6a + 2 ve 6b - 9 sayılarını da böler.

O halde d sayısı,
d \mid (6b - 9) - (6a + 2) = 6b - 9 - 6a - 2 = 6b - 6a - 11

Ayrıca, d sayısı 20b - 36a = 42 sayısını da bölebilir mi?

Burada d'nin 1 olması gerekiyor (aralarında asal).

12. Adım: Alternatif çözüm yöntemi: Deneme-yanılma

a ve b tam sayı olarak deneyelim.

Denklem:

20b - 36a = 42

Her iki tarafı 2 ile sadeleştirelim:

10b - 18a = 21

a ve b tam sayı olmalı.

13. Adım: a için deneme yapalım

a'nın bazı değerlerini deneyelim ve b'yi bulalım.

a	10b = 21 + 18a	b = \frac{21 + 18a}{10}	3a + 1	2b - 3	\gcd(3a+1, 2b-3)
1	21 + 18 = 39	3.9	4	2*3.9-3=4.8	\gcd(4,4.8) (tam sayı değil)
2	21 + 36 = 57	5.7	7	2*5.7-3=8.4	\gcd(7,8.4) (tam sayı değil)
3	21 + 54 = 75	7.5	10	2*7.5-3=12	\gcd(10,12)=2 (asal değil)
4	21 + 72 = 93	9.3	13	2*9.3-3=15.6	\gcd(13,15.6) (tam sayı değil)
5	21 + 90 = 111	11.1	16	2*11.1-3=19.2	\gcd(16,19.2) (tam sayı değil)
6	21 + 108 = 129	12.9	19	2*12.9-3=22.8	\gcd(19,22.8) (tam sayı değil)
7	21 + 126 = 147	14.7	22	2*14.7-3=26.4	\gcd(22,26.4) (tam sayı değil)
8	21 + 144 = 165	16.5	25	2*16.5-3=30	\gcd(25,30)=5 (asal değil)
9	21 + 162 = 183	18.3	28	2*18.3-3=33.6	\gcd(28,33.6) (tam sayı değil)
10	21 + 180 = 201	20.1	31	2*20.1-3=37.2	\gcd(31,37.2) (tam sayı değil)

14. Adım: b tam sayı olmalı, o halde b tam sayı olan değerleri deneyelim

10b = 21 + 18a olduğuna göre, 21 + 18a sayısı 10’un katı olmalı.

21 + 18a \equiv 0 \pmod{10}

Daha önce mod 10’da çözemediğimiz için mod 5 ve mod 2 olarak inceleyelim:

Mod 5:

21 + 18a \equiv 1 + 3a \equiv 0 \pmod{5}

Yani,

3a \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}

3a \equiv 4 \pmod{5}

3 \times a \equiv 4 \pmod{5}

3’ün mod 5 tersi 2’dir (çünkü 3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}).

O halde,

a \equiv 4 \times 2 = 8 \equiv 3 \pmod{5}

Yani,

a \equiv 3 \pmod{5}

Mod 2:

21 + 18a \equiv 1 + 0 = 1 \neq 0 \pmod{2}

Burada mod 2’de 0 olması gerekiyor ama 1 olduğu için b tam sayı olamaz.

15. Adım: Sonuç

Bu durumda a ve b tam sayı olamaz. Ancak problemde a ve b sayılarının tam sayı olduğu varsayılır.

16. Adım: Alternatif yaklaşım: a ve b tam sayı değil, sadece sayılar olabilir.

Burada amaç a \cdot b çarpımını bulmak.

17. Adım: 3a + 1 ve 2b - 3 aralarında asal ise, bu sayıların ortak böleni 1’dir.

Bu durumda, 3a + 1 ve 2b - 3 sayılarının herhangi bir ortak böleni yoktur.

18. Adım: 3a + 1 ve 2b - 3 sayılarının EBOB’u 1 ise, bu sayıların lineer kombinasyonu 1 olabilir.

Yani,
x(3a + 1) + y(2b - 3) = 1

19. Adım: 20b - 36a = 42 denklemini kullanarak a ve b'yi bulalım

Denklemi sadeleştirelim:

20b - 36a = 42

Her terimi 2 ile sadeştirelim:

10b - 18a = 21

20. Adım: a ve b için çözüm

Bu denklemde a ve b sayılarının tam sayı olması gerekir.

a ve b tam sayı ise, 21 + 18a sayısı 10’un katı olmalıdır.

Daha önce mod 10’da çözülemeyen bu problem için a ve b tam sayı olmayabilir.

21. Adım: Alternatif çözüm: a ve b tam sayı değil, sadece sayılar olabilir.

Denklemden b'yi çekelim:

b = \frac{42 + 36a}{20} = \frac{21 + 18a}{10}

22. Adım: a \cdot b çarpımını bulalım

a \cdot b = a \times \frac{21 + 18a}{10} = \frac{21a + 18a^2}{10}

23. Adım: 3a + 1 ve 2b - 3 aralarında asal ise, bu sayıların ortak böleni 1’dir.

Bu durumda, 3a + 1 ve 2b - 3 sayılarının EBOB’u 1’dir.