!20251124_014235|610x500 [Link Silindi]
Yukarıda verilenlere göre, \cos \theta ifadesinin değeri kaçtır?
Verilenler:
- ABCD bir kare.
- \angle ACE = \theta ve \theta = 0^\circ (yani noktalar A, C, E doğrusal).
- |EA| : |EB| = \frac{1}{3}.
Çözüm Adımları
1. Karenin koordinatlarını belirleyelim
Kolaylık olması için karenin bir kenar uzunluğunu 1 birim alalım.
- A = (0,0)
- B = (1,0)
- C = (1,1)
- D = (0,1)
2. Noktaların koordinatlarını bulalım
-
E noktası A ve B doğrusu üzerinde değil, A'nın solunda veya altında olabilir. Ancak E noktası A ve B dışında bir yerde.
-
|EA| : |EB| = \frac{1}{3} ifadesi, E noktasının A ve B noktaları arasındaki doğru üzerinde olduğunu gösterir.
-
E noktası AB doğrusu üzerinde ve A ile B arasında değil, A'nın solunda veya sağında olabilir.
-
A = (0,0), B = (1,0) olduğundan, E noktası x ekseni üzerinde bir noktadır.
-
|EA| = |x_E - 0| = |x_E|
-
|EB| = |x_E - 1|
-
Verilen oran:
\frac{|EA|}{|EB|} = \frac{1}{3}
Yani:
\frac{|x_E|}{|x_E - 1|} = \frac{1}{3}
3. E noktasının x koordinatını bulalım
İki durum olabilir:
-
E noktası A ile B arasında: 0 < x_E < 1
-
E noktası A'nın solunda: x_E < 0
İlk olarak x_E < 0 durumunu inceleyelim.
-
|x_E| = -x_E (çünkü x_E < 0)
-
|x_E - 1| = |x_E - 1| = 1 - x_E (çünkü x_E < 0 ve x_E - 1 < 0)
Oran:
\frac{-x_E}{1 - x_E} = \frac{1}{3}
Çarpalım:
3(-x_E) = 1 - x_E
-3x_E = 1 - x_E
-3x_E + x_E = 1
-2x_E = 1
x_E = -\frac{1}{2}
Bu değer x_E < 0 koşulunu sağlıyor, dolayısıyla E = \left(-\frac{1}{2}, 0\right).
4. \theta = \angle ACE = 0^\circ koşulunu kullanalım
-
\theta = 0^\circ demek, A, C, E noktalarının doğrusal olması demektir.
-
A = (0,0), C = (1,1), E = \left(-\frac{1}{2}, 0\right) noktalarının doğrusal olması mümkün değil çünkü E noktası x ekseni üzerinde ve C noktası (1,1).
Burada bir hata olabilir. Soruda \angle ACE = \theta ve \theta açısı verilmiş, ancak \theta açısının ölçüsü 0^\circ olarak verilmiş. Bu, A, C, E noktalarının doğrusal olduğu anlamına gelir.
Ancak E noktası x ekseni üzerinde ve C noktası (1,1) olduğuna göre, A, C, E doğrusal olamaz.
Bu nedenle, soruda \theta açısının ölçüsü 0^\circ değil, \theta açısı olarak verilmiş ve m(\widehat{ACE}) = \theta ifadesi var.
Yani \theta açısı bilinmeyen bir açıdır.
5. F noktası ve \cos \theta ifadesi
-
F noktası DC doğrusu üzerinde ve E, F, C noktaları bir üçgen oluşturuyor.
-
\theta = \angle ACE açısının kosinüsünü bulmamız isteniyor.
6. E ve B noktalarının koordinatlarını belirleyelim
-
B = (1,0)
-
E = (x_E, y_E) bilinmiyor.
Ancak E noktası AB doğrusu üzerinde olduğundan y_E = 0.
-
|EA| : |EB| = \frac{1}{3}
-
A = (0,0), B = (1,0)
-
|EA| = |x_E - 0| = |x_E|
-
|EB| = |x_E - 1|
Oran:
\frac{|x_E|}{|x_E - 1|} = \frac{1}{3}
Daha önce bulduğumuz gibi x_E = -\frac{1}{2}.
7. F noktası DC doğrusu üzerinde
-
D = (0,1), C = (1,1)
-
F noktası DC doğrusu üzerinde olduğundan y_F = 1.
-
F = (x_F, 1)
8. E, F, C noktalarının doğrusal olması
-
E = \left(-\frac{1}{2}, 0\right)
-
F = (x_F, 1)
-
C = (1,1)
Bu üç nokta doğrusal olduğuna göre, eğimleri eşit olmalıdır.
- E ile F arasındaki eğim:
m_{EF} = \frac{1 - 0}{x_F - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{x_F + \frac{1}{2}}
- F ile C arasındaki eğim:
m_{FC} = \frac{1 - 1}{1 - x_F} = 0
Eğimin eşit olması için:
m_{EF} = m_{FC} \Rightarrow \frac{1}{x_F + \frac{1}{2}} = 0
Bu mümkün değil.
Dolayısıyla E, F, C noktaları doğrusal değil.
9. \theta = \angle ACE açısını bulalım
-
A = (0,0)
-
C = (1,1)
-
E = \left(-\frac{1}{2}, 0\right)
\theta = \angle ACE açısı, C noktasında A ve E noktaları arasındaki açıdır.
10. Vektörleri tanımlayalım
-
\vec{CA} = A - C = (0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1)
-
\vec{CE} = E - C = \left(-\frac{1}{2} - 1, 0 - 1\right) = \left(-\frac{3}{2}, -1\right)
11. \cos \theta formülü
\cos \theta = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CE}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CE}|}
12. İç çarpımı hesaplayalım
\vec{CA} \cdot \vec{CE} = (-1) \times \left(-\frac{3}{2}\right) + (-1) \times (-1) = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}
13. Vektörlerin büyüklükleri
|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
|\vec{CE}| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}
14. \cos \theta değerini hesaplayalım
\cos \theta = \frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{13}}{2}} = \frac{5/2}{\frac{\sqrt{26}}{2}} = \frac{5}{2} \times \frac{2}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5 \sqrt{26}}{26}
Sonuç:
\boxed{\cos \theta = \frac{5 \sqrt{26}}{26}}
Seçeneklerle karşılaştırma:
- D şıkkı: \frac{5 \sqrt{26}}{26}
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Karenin koordinatları | A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) |
| 2 | E noktası x ekseni üzerinde | E = \left(-\frac{1}{2}, 0\right) |
| 3 | Vektörler | \vec{CA} = (-1,-1), \vec{CE} = \left(-\frac{3}{2}, -1\right) |
| 4 | İç çarpım | \frac{5}{2} |
| 5 | Vektör büyüklükleri | $ |
| 6 | \cos \theta | \frac{5 \sqrt{26}}{26} |
Cevap: D şıkkı
Table of Contents
- Problem Overview
- Geometric Configuration and Coordinate Setup
- Finding the Point E
- Vector Method for Computing cos θ
- Step-by-Step Calculation
- Summary Table
- Final Answer
1. Problem Overview
We are given a square (ABCD) of side length (1). Point (E) lies on the extension of side (AB) beyond (A), such that
[
\frac{EA}{EB} = \frac{1}{3}.
]
Lines (CE) and (CA) form angle (\theta) at point (C). The task is to determine the value of (\cos\theta).
2. Geometric Configuration and Coordinate Setup
To make the trigonometric computation straightforward, we place the square in the Cartesian plane:
- Let (A=(0,0)).
- Since (ABCD) is a unit square of side length (1):
- (B=(1,0))
- (C=(1,1))
- (D=(0,1))
Point (E) lies on the line through (A) and (B) but to the left of (A), so we parametrize (E) as
[
E = (-x,,0),
]
where (x>0).
3. Finding the Point E
We know:
[
EA = x,\quad EB = x + AB = x + 1,
]
and the condition
[
\frac{EA}{EB} ;=;\frac{x}{x+1};=;\frac{1}{3}.
]
Solving for (x):
[
3x = x + 1
\quad\Longrightarrow\quad
2x = 1
\quad\Longrightarrow\quad
x = \tfrac12.
]
Thus
[
E = \bigl(-\tfrac12,,0\bigr).
]
4. Vector Method for Computing cos θ
To find (\cos\theta) for (\theta = \angle ACE), consider the two vectors emanating from (C):
- (\overrightarrow{CA} = A - C = (0-1,;0-1) = (-1,-1)).
- (\overrightarrow{CE} = E - C = \bigl(-\tfrac12-1,;0-1\bigr) = \bigl(-\tfrac32,,-1\bigr)).
Using the dot‐product formula:
[
\cos\theta
= \frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CE}}
{|\overrightarrow{CA}|;|\overrightarrow{CE}|}.
]
We compute each piece separately.
5. Step-by-Step Calculation
-
Dot product
[
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CE}
= (-1)\cdot\bigl(-\tfrac32\bigr) + (-1)\cdot(-1)
= \tfrac32 + 1
= \tfrac52.
] -
Magnitudes
- (|\overrightarrow{CA}|;=;\sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt2.)
- (|\overrightarrow{CE}|;=;\sqrt{\bigl(-\tfrac32\bigr)^2 + (-1)^2}
= \sqrt{\tfrac94 + 1}
= \sqrt{\tfrac{13}{4}}
= \frac{\sqrt{13}}{2}.)
-
Combine into cos θ
[
\cos\theta
= \frac{\frac{5}{2}}{\sqrt2;\times;\frac{\sqrt{13}}{2}}
= \frac{\tfrac{5}{2}}{\tfrac{\sqrt{26}}{2}}
= \frac{5}{\sqrt{26}}
= \frac{5\sqrt{26}}{26}.
]
6. Summary Table
| Quantity | Expression | Value |
|---|---|---|
| Dot product (\overrightarrow{CA}!\cdot!\overrightarrow{CE}) | (-1)\cdot(-\tfrac32)+(-1)\cdot(-1)) | (\tfrac52) |
| (|\overrightarrow{CA}|) | (\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}) | (\sqrt2) |
| (|\overrightarrow{CE}|) | (\sqrt{\tfrac94+1}) | (\tfrac{\sqrt{13}}{2}) |
| (\cos\theta) | (\dfrac{\tfrac52}{\sqrt2;,\tfrac{\sqrt{13}}{2}}) | (\dfrac{5\sqrt{26}}{26}) |
7. Final Answer
By the vector dot‐product method, we obtain:
[
\boxed{\cos\theta = \frac{5\sqrt{26}}{26}}.
]
This matches choice D) (5\sqrt{26}/26).