K asal olmayan bir doğal sayıdır. K’nın asal çarpanlarının toplamı 19 olduğuna göre K’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevap:
Öncelikle soruyu anlamak gerekirse:
- K asal olmayan bir doğal sayı.
- K'nın asal çarpanlarının toplamı 19.
- Bizden K'nın alabileceği en küçük değeri bulmamız isteniyor.
Adım Adım Çözüm
1. Asal Çarpanların Anlamı
Bir doğal sayının asal çarpanları, sayıyı bölen ve aynı zamanda asal olan sayılardır. Örnek:
- 12’nin asal çarpanları 2 ve 3’tür; toplamları ise 2+3=5.
- 30’un asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir; toplamları ise 2+3+5=10.
2. K asal olmayan bir doğal sayı olduğu için asal çarpanları en az 2 tane olabilir.
Soru, K'nın asal çarpanlarının toplamının 19 olduğunu söylüyor. Yani asal çarpanlar olarak seçtiğimiz asal sayılar toplamı 19 olmalı.
3. 19 sayısının asal olduğu bilinmektedir. Eğer tek bir asal sayı olsaydı, K asal olurdu ama K asal değil. Dolayısıyla asal çarpan sayısı en az 2 olmalıdır.
4. Şimdi 19 olan toplamı sağlayan farklı asal sayılar bulalım
Asal sayılar küçükten başlayarak şöyledir:
Toplamları 19 olan asal sayılar kombinasyonlarını inceleyelim:
- 19 tek başına = 19 (Bu K asal olur, yaşama uygun değil çünkü K asal değil)
- 2 + 17 = 19
- 3 + 5 + 11 = 19
- 2 + 3 + 7 + 7 = 19 (ancak 7 yıla tekrar ediyoruz - toplam asal çarpanların farklı olması gerektiğini varsayalım, genelde asal çarpanların toplamı sorularında farklı asallar kastedilir)
- 2+5+3+… gibi kombinasyonlara bakalım.
5. En küçük değeri elde etmek için, sayıların asal çarpanlarının sayısını ve değerlerini göz önünde bulundururuz.
Eğer K'nın asal çarpanları 2 ve 17 ise:
- Bu asal çarpanların çarpımı:
K = 2 \times 17 = 34
Eğer asal çarpanlar 3, 5, 11 ise:
K = 3 \times 5 \times 11 = 165
Boşlukta başka kombinasyonlar yoktur ve 34, 165’ten küçüktür.
6. Sonuç:
- K asal olmayan bir doğal sayı,
- Asal çarpanlarının toplamı 19,
- Asal çarpanları 2 ve 17 olduğunda K = 34 olur ve asal olmayan bir sayı olduğu için koşulu sağlar.
- Başka bir daha küçük sayı olamaz.
Sonuç:
K’nın alabileceği en küçük değer = 34
Özet Tablosu
| Asal Çarpanlar | Toplamı | K (Çarpımı) | Notlar |
|---|---|---|---|
| 19 | 19 | 19 | K asal olur, geçersiz |
| 2, 17 | 19 | 34 | Geçerli ve en küçük değer |
| 3, 5, 11 | 19 | 165 | Daha büyük |
| 2, 3, 7, 7 (tekrarlı) | 19 | 2 × 3 × 7 × 7 = 294 | Tekrarlı asal sayı, genelde farklı asal sayılar düşünülür |
Detaylı Adımların Özeti
- K asal olamaz.
- K asal çarpanlarının toplamı 19.
- 19 tek asal sayı olduğuna göre, asal çarpanlar en az 2 farklı asal sayı olmalı.
- 19’u oluşturan en küçük asal sayı çifti 2 ve 17.
- K = 2 \times 17 = 34.
Bu nedenle K'nın en küçük değeri 34’tür.
Eğer daha fazla açıklama isterseniz ya da farklı durumlar için soru varsa lütfen belirtin. @Hamide_Nur_Yasar
K bir bileşik (asal olmayan) doğal sayı ve asal çarpanlarının toplamı 19 olacak. Asal çarpanlar “faktör” değil, “asal bölenler” olarak ele alındığında şu bölünmeler mümkündür:
-
Tek asal çarpan:
- Sadece 19 ⇒ K = 19 (ama bu asal, bileşik değil; geçersiz)
-
İki asal çarpan:
- 2 + 17 = 19 ⇒ K = 2·17 = 34
-
Üç asal çarpan:
- 3 + 5 + 11 = 19 ⇒ K = 3·5·11 = 165
Daha fazla asal sayının toplamı 19’a ulaşamaz (küçük asalların toplamı 2+3+5+7=17, + sonraki asal = 28 > 19). Dolayısıyla bileşik ve asal çarpanlarının toplamı 19 olacak en küçük K değeri 34’tür.