!1000020846|690x286 [Link Silindi]
Cevap:
Soruda verilen bilgiler:
x, y ve z ardışık pozitif tam sayılar ve bu sayıların faktöriyellerinin toplamı 36 · m! değerine eşit.
Adım Adım Çözüm
-
x, y ve z Ardışıklığı:
Ardışık pozitif tam sayıların özelliği:
Eğer x en küçük sayıysa, y = x + 1 ve z = x + 2 olur. -
Faktöriyel ve Ardışık Sayılar İlişkisini İnceleme:
Faktöriyel, bir sayının çarpımını ifade eder ve hızlı bir şekilde büyür. Örneğin:
- 4! = 24
- 5! = 120
- 6! = 720
Dolayısıyla, x, y ve z değerlerini belirlemek için uygun ardışık değerler denemeliyiz.
- Eşitlik:
Soruda verilen:
x! + y! + z! = 36 · m!
Deneme yaparak ilerleyelim:
- Eğer x = 3, o zaman y = 4 ve z = 5 olur.
Şimdi faktöriyelleri hesaplayalım: - 3! = 6
- 4! = 24
- 5! = 120
Toplam:
3! + 4! + 5! = 6 + 24 + 120 = 150
Bu toplam 36 · m! formatına uymalıdır. m = 4 için:
36 · 4! = 36 · 24 = 150
Eşitlik sağlandığı için x = 3, y = 4 ve z = 5 doğru değerlerdir.
- x + y + z Toplamı:
x + y + z = 3 + 4 + 5 = 12
Özet Tablo
| x | y | z | x! | y! | z! | Toplam Faktöriyel | 36 · m! Eşitliği |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 | 24 | 120 | 150 | 150 |
Sonuç
x + y + z toplamı = 12
Doğru Cevap: B) 12
x, y ve z ardışık pozitif tam sayılardır. x! + y! + z! = 36 · m! olduğuna göre, x + y + z toplamının değeri kaçtır?
Cevap:
İçindekiler
- Problemin Genel Bakışı
-
- Adım Adım Çözüm
- Olası Değerleri İnceleme
- Doğrulama ve Denklik
- Özet Tablo
- Kısa Özet ve Sonuç
1. Problemin Genel Bakışı
Bu soruda x, y, z şeklinde ardışık pozitif tam sayılar verilmektedir. Burada x küçük olan olarak düşünülebilir (y = x+1, z = x+2). Ayrıca
x! + y! + z! = 36 \cdot m!
bağıntısı verilmiş ve bizden x + y + z toplamı istenmiştir.
Ardışık sayıların faktöriyellerini toplarken, büyük sayılar çok hızlı büyüdüğü için birkaç küçük deneme yapmak genellikle sorunun çözümünü kolaylaştırır. Faktöriyel değerlerini tablo halinde inceleyerek, söz konusu eşitliği sağlayan ardışık üç değeri ve m değerini bulabiliriz.
2. Faktöriyelin Tanımı ve Temel Özellikleri
Bir pozitif tam sayı olan n için faktöriyel:
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1
şeklinde tanımlanır. Örneğin:
- 1! = 1
- 2! = 2
- 3! = 6
- 4! = 24
- 5! = 120
- 6! = 720
Faktöriyel büyük sayılarda çok hızlı büyür. Bu tarz sorularda genellikle küçük ardışık pozitif tamsayıların denenmesi yeterlidir.
3. Adım Adım Çözüm
3.1 Olası Değerleri İnceleme
x, y, z ardışık olduklarından, (x, x+1, x+2) biçimindedir. Aşağıdaki ilk birkaç ardışık üçlü ve toplam faktöriyel değerlerine bakabiliriz:
- (1, 2, 3): 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9
- (2, 3, 4): 2! + 3! + 4! = 2 + 6 + 24 = 32
- (3, 4, 5): 3! + 4! + 5! = 6 + 24 + 120 = 150
- (4, 5, 6): 4! + 5! + 6! = 24 + 120 + 720 = 864
Bu değerleri 36 ile çarpılmış bir başka faktöriyelle karşılaştırdığımızda özellikle (4, 5, 6) üçlüsü dikkat çeker. Çünkü:
4! + 5! + 6! = 864
3.2 Doğrulama ve Denklik
Yukarıdaki 864 sayısını 36 ile ilişkisine bakalım:
864 \div 36 = 24
Ve $24$’ün faktöriyellerden birine eşit olup olmadığına bakarsak:
4! = 24
elde ederiz. Bu durumda,
x! + y! + z! = 864 = 36 \times 24 = 36 \times 4!
yani burada m! = 4! ise m = 4 olur ve (x, y, z) = (4, 5, 6) seçiminde denklem sağlanır.
Bu üç sayının toplamı ise:
x + y + z = 4 + 5 + 6 = 15
Böylece x + y + z = 15 olduğu sonucuna ulaşırız.
4. Özet Tablo
| Ardışık Sayılar (x, y, z) | x! + y! + z! | 36 · m! İlişkisi | Bulunan Sonuç |
|---|---|---|---|
| (1, 2, 3) | 9 | Uygun değil | – |
| (2, 3, 4) | 32 | Uygun değil | – |
| (3, 4, 5) | 150 | Uygun değil | – |
| (4, 5, 6) | 864 | 36 · 4! (=> 864) | x+y+z = 15, m = 4 |
5. Kısa Özet ve Sonuç
- x, y, z ardışık pozitif tam sayılar olarak (4, 5, 6) seçildiğinde;
- 4! + 5! + 6! = 864 elde edilir.
- 864 sayısı 36 \times 4! ifadesiyle tam olarak eşleştiğinden koşul sağlanır.
- x + y + z = 4 + 5 + 6 = 15 bulunur.
Dolayısıyla doğru yanıt 15 seçeneğidir (C şıkkı).
Cevap 15 tekrar cozermisin
Cevap:
Sorunun Analizi
Soruda, x, y ve z ardışık pozitif tam sayılar ve
x! + y! + z! = 36 \cdot m!
eşitliği verilmiş. Bu duruma göre x + y + z toplamı isteniyor.
Faktöriyel Kavramını Hatırlayalım
Faktöriyel, bir sayının kendisiyle ve bir önceki pozitif tam sayılarla çarpımını ifade eder:
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \dots \times 2 \times 1
Örnekler:
- 1! = 1
- 2! = 2
- 3! = 6
- 4! = 24
- 5! = 120
- 6! = 720
Faktöriyel, büyük sayılarla çok hızlı bir şekilde büyüdüğü için ardışık küçük pozitif tam sayılar denemek mantıklıdır.
Çözümün Adımları
1. Ardışık Sayılar Tanımlanması
Soruda x, y, z’nin “ardışık” olduğu belirtilmiş. Eğer x en küçük sayı ise:
y = x + 1
z = x + 2
2. Faktöriyellerin Toplamını İnceleme
Soruda verilen eşitlik:
x! + y! + z! = 36 \cdot m!
Burada 36 bir çarpan olduğu için, toplam x!, y!, z! değerlerini denemeliyiz. 36 ve faktöriyel çarpımlarına uygun kombinasyonları da göz önüne alacağız.
3. Deneme Yoluyla Çözüm
İlk birkaç ardışık sayı grubunu test edelim:
-
x = 1, y = 2, z = 3:
x! + y! + z! = 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 936 · m! = 9 yapmaz, bu nedenle uygun değil.
-
x = 2, y = 3, z = 4:
x! + y! + z! = 2! + 3! + 4! = 2 + 6 + 24 = 3236 · m! = 32 yapmaz, bu nedenle uygun değil.
-
x = 3, y = 4, z = 5:
x! + y! + z! = 3! + 4! + 5! = 6 + 24 + 120 = 15036 · m! = 150 yapmaz, bu nedenle uygun değil.
Uygun Değeri Bulalım:
4. x = 4, y = 5, z = 6:
x! + y! + z! = 4! + 5! + 6! = 24 + 120 + 720 = 864
Şimdi 864’ün 36 · m! biçimine uygun olup olmadığına bakalım:
864 \div 36 = 24
24, 4!'e eşittir (4! = 24). Bu durumda m = 4 ve x = 4, y = 5, z = 6 olduğu kesinleşir.
4. x + y + z Toplamı
Bulduğumuz pozitif tam sayılar:
x = 4, y = 5, z = 6
Bu sayıların toplamı:
x + y + z = 4 + 5 + 6 = 15
Sonuç
Doğru Cevap: C) 15
Özet Tablo
| Ardışık Sayılar (x, y, z) | Faktöriyel Toplamı (x! + y! + z!) | Eşitlik (36 · m!) | Toplam (x + y + z) |
|---|---|---|---|
| 1, 2, 3 | 9 | Uygun değil | – |
| 2, 3, 4 | 32 | Uygun değil | – |
| 3, 4, 5 | 150 | Uygun değil | – |
| 4, 5, 6 | 864 | Sağlanır (m = 4) | 15 |
Sonuç ve Açıklama:
Ardışık pozitif tam sayılar arasında x = 4, y = 5, z = 6 seçildiğinde eşitlik doğru şekilde sağlanır. Bu durumda x + y + z toplamı 15 olur.