!1000020848|675x500 [Link Silindi]
Yapılan çözümü açıklar misin
Cevap:
Bu soru, ardışık tam sayıların faktöriyellerini ve ardından toplamlarını içeriyor. Çözüme detaylı ve adım adım bir şekilde bakalım:
Sorunun Verileri ve Anlamı
-
x, y, ve z ardışık pozitif tam sayıları temsil ediyor.
Ardışık olduğu için:- x, x + 1 ve x + 2 şeklinde tanımlayabiliriz.
-
Verilen denklem:
$
x! + (x+1)! + (x+2)! = 36 \cdot m
$
Burada m bir çarpan olduğu ve kat olduğu ifade ediliyor (tam sayılar). -
Amaç:
$
x + y + z
$ toplamını bulmak.
Çözümü Adım Adım İnceleyelim
Adım 1 – Faktöriyellerin Analizi
Faktöriyel tanımı:
$
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot … \cdot 1
$
Buradan, x!, (x+1)!, ve (x+2)! şöyle yazılabilir:
- x!: x faktöriyeli zaten veriliyor.
- (x+1)!: Bu ifade şöyle açılır:
$
(x+1)! = (x+1) \cdot x!
$ - (x+2)!: Bu ifade şöyle açılır:
$
(x+2)! = (x+2) \cdot (x+1) \cdot x!
$
Bu ifadeleri denklemde yerine koyduğumuzda:
$
x! + (x+1)! + (x+2)! = x! + (x+1) \cdot x! + (x+2) \cdot (x+1) \cdot x!
$
Adım 2 – Ortak Çarpanları Belirleme
Tüm faktöriyeller x!'e göre ortak çarpan içeriyor. Paranteze alırsak:
$
x! \cdot [1 + (x+1) + (x+2) \cdot (x+1)] = 36 \cdot m
$
Parantezin içini düzenleyelim:
$
1 + (x + 1) + (x + 2) \cdot (x + 1) = 1 + x + 1 + (x^2 + 3x + 2)
$
Şimdi parantezin içini birleştirelim:
$
1 + x + 1 + x^2 + 3x + 2 = x^2 + 4x + 4
$
Adım 3 – Faktörü Denklemde Yerine Koyma
Denklemi şimdi şöyle yazabiliriz:
$
x! \cdot (x^2 + 4x + 4) = 36 \cdot m
$
Çözümün İleri Aşaması
Adım 4 – x^2 + 4x + 4 İfadesini Çarpanlarına Ayırma
$
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
$
Böylece denklem şu hale gelir:
$
x! \cdot (x+2)^2 = 36 \cdot m
$
Adım 5 – Olabilecek x Değerlerini Deneme
x bir pozitif tam sayı olmak zorunda. Bu yüzden faktöriyel ve çarpımın 36’ya bölünebildiği durumları düşünmeliyiz.
x = 4 için:
- x! = 4! = 24
- (x+2)^2 = 6^2 = 36
Denklem:
$
24 \cdot 36 = 36 \cdot 24
$
Bu sağlanıyor.
Sonuçta x, y, z değerleri
- x = 4
- y = x + 1 = 5
- z = x + 2 = 6
Toplam:
$
x + y + z = 4 + 5 + 6 = 15
$
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Faktöriyelleri yazma | x! + (x+1)! + (x+2)! | x! \cdot (x^2 + 4x + 4) |
| İfadenin düzenlenmesi | (x^2 + 4x + 4) çarpanlarına ayırma | (x+2)^2 |
| Tam sayı denemesi | x = 4 | Sağlandı |
| Ardışık toplam hesaplama | x + y + z | 15 |
Sonuç
Sorunun çözümü için verilen ardışık tam sayıların toplamı 15’tir. Doğru cevap C şıkkı (15).
Yapılan çözümü açıklar mısınız?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarda, soruda verilen “x, y, z ardışık pozitif tam sayılar” ön kabulüyle birlikte öğrencinin notlarında görülen çözüm mantığını ayrıntılı biçimde inceleyip açıklayacağız. Notlardaki kritik adım, bir yerden sonra denklemde (x+2)² = 36 formuna ulaşmaktır. Bu da bize x+2 = 6 sonucunu verip, dolayısıyla x = 4 değerine götürür. Ardından y = x+1 = 5 ve z = x+2 = 6 olarak bulunduktan sonra, istenen x + y + z toplamı 4 + 5 + 6 = 15 çıkmaktadır.
Table of Contents
- Sorunun Genel Yapısı
- Adım Adım Çözüm İncelemesi
- Sık Yapılan Hata ve Düzeltmeler
- Örnek Değerler ve Kontroller
- Özet Tablo
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Sorunun Genel Yapısı
- Soru, x, y, z ardışık pozitif tam sayılardır ifadesiyle başlamaktadır. Genellikle böyle sorularda y = x+1, z = x+2 şeklinde tanımlanır.
- Soruda factorial (faktöriyel) terimleri görünmesine rağmen, fotoğrafta yer alan çözüm aşamalarının sonunda (x+2)² = 36 türünde bir denklem oluştuğu görülüyor. Bu, çözümün bir noktasında faktöriyel ifadelerin ortak çarpanla sadeleştirilmesi veya işlem çıkartılmasıyla polinom biçime dönüştürülmüş olduğunu düşündürür.
- Neticede (x+2)² = 36 adımına ulaşmak, x+2 = 6 sonucunu verir (pozitif tam sayı olduğu için eksi kök göz ardı edilir).
2. Adım Adım Çözüm İncelemesi
-
Ardışık Tanım
y = x + 1 ve z = x + 2 olarak kabul edilir. -
Algebraik Dönüşümler
• Soruda görünen faktöriyel terimler (örneğin x! , (x+1)!, (x+2)!) bazen ortak çarpan olan x! ile sadeleştirilir.
• Bu sadeleştirme sonrasında polinom biçiminde (x+2)² veya benzeri bir ifadenin 36’ya eşit olduğu bulunur. -
Denklemin Çözümü
• Elde edilen son denklem:(x+2)^2 = 36• Buradan:
x+2 = 6 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. -
Diğer Değerleri Bulma
• y = (x+1) = 4 + 1 = 5
• z = (x+2) = 4 + 2 = 6 -
İstenen Toplam
• Soru, çoğu zaman “x + y + z kaçtır?” diye biter. Bulduğumuz sayılar (4, 5, 6) toplandığında:x + y + z = 4 + 5 + 6 = 15.• Yani yapılan çözümde en kritik nokta, (x+2)² = 36 adımına ulaşıp x=4 sonucunu elde etmektir.
3. Sık Yapılan Hata ve Düzeltmeler
- Faktöriyeli Unutma: (x+1)! = (x+1)·x! olduğu sıklıkla gözden kaçırılır. Oysa bu çarpanlar doğru ayıklandığında sadeleşme daha net yapılabilir.
- İşaret Hataları: x! - (x+1)! gibi ifadelerde eksi işaretini unutmak veya paranteze doğru almamak sonucun farklı çıkmasına neden olur.
- Yanlış Kareköke Gitme: (x+2)^2 = 36 adımında x+2 = -6 da formül gereği bir çözümdür; ancak x pozitif tam sayı istendiği için negatif çözüm elenir.
4. Örnek Değerler ve Kontroller
Aşağıdaki tabloda, x için olası küçük pozitif değerler deneyerek (x+2)² = 36 gibi bir eşitliğe yaklaşıp yaklaşmadığımızı görebiliriz.
| x | x+1 | x+2 | (x+2)² | 36 ile Karşılaştırma |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 9 | 9 ≠ 36 |
| 2 | 3 | 4 | 16 | 16 ≠ 36 |
| 3 | 4 | 5 | 25 | 25 ≠ 36 |
| 4 | 5 | 6 | 36 | 36 = 36 (uyumlu) |
Görüldüğü gibi, tablo da x=4 için (x+2)^2 = 36 eşitliği sağlanmış olur.
5. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, fotoğraftaki notlarda geçen temel aşamaları derli toplu gösterir:
| Aşama | Yapılan İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Ardışık tanım | y = x+1, z = x+2 | Değişken ilişkileri kuruluyor |
| Faktöriyel sadeleştirme | x!, (x+1)!, (x+2)! ifadeleri ortak çarpan (örneğin x!) veya polinomla basitleştirilir | Denklem (x+2)² = 36 formatına gelir |
| Denklem çözümü | (x+2)² = 36 → x+2 = 6 | x = 4 |
| Değerleri tespit | y = 5, z = 6 | 4, 5, 6 |
| Toplam hesabı | x + y + z = 4 + 5 + 6 | 15 |
6. Sonuç ve Kısa Özet
Fotoğraftaki çözümde, faktöriyel terimleri belirli bir noktada (x+2)² = 36 eşitliğine dönüştürülür. Sonrasında x+2 = 6 alınıp x=4 bulunur. Ardışık tanımdan dolayı y=5, z=6 olup, istenen x + y + z = 15 olarak elde edilir.
Kısaca özetlemek gerekirse:
- Ardışık sayı ilişkisini kurduk (x, x+1, x+2).
- Sorudaki faktöriyel veya çarpanları sadeleştiren adımlar, (x+2)² = 36 türü basit bir ikinci derece denkleme dönüştü.
- Pozitif tam sayı koşulu nedeniyle x+2 için pozitif kök seçildi.
- Son olarak x + y + z toplamı 15’e ulaştı.
Bu şekilde, dizinli biçimde çözülen soru, fotoğraftaki notlarda görülen karalamaların asıl mantığını yansıtır: temel faktöriyel sadeleştirme yapılarak (x+2)² = 36 denklemine ve oradan x=4 → 15 sonucuna gitmek.