SORU:
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler sistemini sağlayan (x, y) noktalarının koordinatları çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Verilen iki denklemi kullanarak x ve y hakkında ilişkiler kurar, çarpımları x \cdot y olan değerler arasından olabilecekleri ve olamayacakları belirlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemleri yaz ve düzenle:
Denklemler:
Adım 2 — Denklem farkını al:
(1) - (2) diyelim:
Buradan;
Adım 3 — (2) denklemi düzenle:
Adım 4 — (3) ve (4) eşitliğinden ilişki kur:
Adım 5 — x için kökleri bul:
Adım 6 — y değerlerini bul:
x = 1 için:
Koordinat çarpımı:
x = 2 için:
Koordinat çarpımı:
Adım 7 — Koordinat çarpımı olabilen değerler:
Olası x \cdot y değerleri:
Değerlendirme:
Seçeneklerde verilen değerler:
- A) -2 \sqrt{5} (çarpımda yok)
- B) -2 \sqrt{3} (var)
- C) - \sqrt{5} (var)
- D) \sqrt{5} (var)
- E) 2 \sqrt{3} (var)
CEVAP:
A) -2 \sqrt{5} olamaz çünkü denklem sisteminden elde edilen x \cdot y çarpımları arasında yoktur.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
SORU: İki denklem
-x^{2}-2y^{2}-x+12=0 ve -x^{2}-y^{2}+x+5=0 sistemini sağlayan (x,y) noktalarının koordinatları çarpımı hangi seçenek olamaz? (A) -2\sqrt{5} (B) -2\sqrt{3} (C) -\sqrt{5} (D) \sqrt{5} (E) 2\sqrt{3}
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Denklemleri sadeleştirip çıkartma ve çıkan ifadeyi yerine koyma ile ikinci dereceden denklemi çözme; kareköklü ifadalar için y = ±\sqrt{\cdot} kuralı.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemleri düzenle ve çıkar
-x^{2}-2y^{2}-x+12=0 \;\Rightarrow\; x^{2}+2y^{2}+x-12=0.
-x^{2}-y^{2}+x+5=0 \;\Rightarrow\; x^{2}+y^{2}-x-5=0.
İlkinden ikincisini çıkar: (x^{2}+2y^{2}+x-12)-(x^{2}+y^{2}-x-5)=0.
Bu işlemden: y^{2}+2x-7=0 \;\Rightarrow\; y^{2}=7-2x.
Adım 2 — x’i bul
y^{2}=7-2x ifadesini ikinci düzenlenmiş denklemde kullan:
x^{2}+y^{2}-x-5=0 \;\Rightarrow\; x^{2}+(7-2x)-x-5=0.
Bu sadeleşir: x^{2}-3x+2=0.
x^{2}-3x+2=0 \;\Rightarrow\; (x-1)(x-2)=0 \;\Rightarrow\; x=1 \ \text{veya}\ x=2.
Adım 3 — y’leri ve xy değerlerini bul
x=1 için y^{2}=7-2\cdot1=5 \;\Rightarrow\; y=\pm\sqrt{5}.
Böylece xy=1\cdot(\pm\sqrt{5})=\pm\sqrt{5}.
x=2 için y^{2}=7-2\cdot2=3 \;\Rightarrow\; y=\pm\sqrt{3}.
Böylece xy=2\cdot(\pm\sqrt{3})=\pm 2\sqrt{3}.
Elde edilen tüm mümkün xy değerleri: \{\,\sqrt{5},\; -\sqrt{5},\; 2\sqrt{3},\; -2\sqrt{3}\,\}.
Adım 4 — A Seçeneğini İncele
A) -2\sqrt{5}: Elde edilen kümede -2\sqrt{5} yoktur; çünkü xy değerleri \pm\sqrt{5} ve \pm 2\sqrt{3} şeklindedir.
Adım 5 — B Seçeneğini İncele
B) -2\sqrt{3}: Elde edilen kümede var (x=2,\; y=-\sqrt{3} durumunda).
Adım 6 — C Seçeneğini İncele
C) -\sqrt{5}: Elde edilen kümede var (x=1,\; y=-\sqrt{5} durumunda).
Adım 7 — D Seçeneğini İncele
D) \sqrt{5}: Elde edilen kümede var (x=1,\; y=\sqrt{5} durumunda).
Adım 8 — E Seçeneğini İncele
E) 2\sqrt{3}: Elde edilen kümede var (x=2,\; y=\sqrt{3} durumunda).
Adım 9 — Seçenek Karşılaştırması
A. -2\sqrt{5} — DOĞRU seçenektir (olamaz): elde edilen xy değerleri arasında yoktur.
B. -2\sqrt{3} — YANLIŞ (olabilir).
C. -\sqrt{5} — YANLIŞ (olabilir).
D. \sqrt{5} — YANLIŞ (olabilir).
E. 2\sqrt{3} — YANLIŞ (olabilir).
Adım 10 — Son Doğrulama
Denklem sistemi çözülerek x=1 için xy=\pm\sqrt{5}, x=2 için xy=\pm 2\sqrt{3} bulundu; bu nedenle -2\sqrt{5} elde edilemez.
CEVAP: A) -2√5
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kare alma ve kök:
- Tanım: y^{2}=a ise y=\pm\sqrt{a}.
- Bu problemde: y^{2}=5 ve y^{2}=3 durumlarında y=\pm\sqrt{5} ve y=\pm\sqrt{3} kullanıldı.
- Denklem çıkarma:
- Tanım: İki denklem çıkarılarak bir değişkenin ifadesi bulunur.
- Bu problemde: Denklemler çıkarılarak y^{2}=7-2x elde edildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaretleri karıştırmak
- Yanlış: Denklemleri -1 ile çarparken işaretleri yanlış almak.
- Doğru: Her terimin işaretini doğru şekilde tersine çevir.
- Neden yanlış: İşaret hatası yanlış y^2 ifadesine yol açar.
- Düzeltme: Her adımı açık yaz ve tekrar kontrol et.
Karekökte ± unutmak
- Yanlış: y=\sqrt{5} diyip y=-\sqrt{5} olasılığını göz ardı etmek.
- Doğru: y=\pm\sqrt{5} şeklinde almak.
- Neden yanlış: Bazı xy değerleri kaçırılır.
- Düzeltme: Her karekök için ± işaretini yaz.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?