Soru:
Şekil I’deki düzenekte küre içinde 1’den x’e kadar numaralandırılmış toplardan birer tane bulunmaktadır. Düzenek çalıştırıldığında Şekil II’deki gibi sırasıyla önce üzerinde asal sayı yazanlar A kutusuna, sonra çift sayı yazanlar B kutusuna, geri kalan toplar ise C kutusuna düşmüştür.
A kutusundaki en büyük numaralı topun 73 olduğu ve x numaralı topun da C kutusunda olduğu biliniyor. Buna göre x en çok kaçtır?
Çözüm:
1. Problemin Anlaşılması
- 1’den x’e kadar toplar var.
- Toplar üç kutuya ayrılıyor:
- A kutusu: Asal sayılar
- B kutusu: Çift sayılar
- C kutusu: Geri kalanlar (asal olmayan tek sayılar ve 1)
- A kutusundaki en büyük topun numarası 73.
- x numaralı top C kutusunda.
- x en çok kaç olabilir?
2. Verilenler ve Bilgiler
| Kutu | İçindekiler | Özellikler |
|---|---|---|
| A | Asal sayılar | En büyük asal sayı 73 |
| B | Çift sayılar | 2,4,6,… |
| C | Geri kalanlar | Asal olmayan tek sayılar + 1 |
3. Adım Adım Çözüm
a) A kutusundaki en büyük asal sayı 73 ise:
- 73 kutuda var.
- 73’ten sonraki asal sayılar 79, 83, 89, 97, … şeklindedir.
- 73’ten büyük asal sayılar A kutusunda olamaz (çünkü en büyük 73).
b) x numaralı top C kutusunda:
- x sayısı asal değil ve tek sayı olmalı (çünkü çift sayılar B kutusunda).
- Ayrıca 1 de C kutusunda.
c) x sayısı en çok kaç olabilir?
- x sayısı 73’ten büyük olabilir.
- 73’ten sonraki asal sayılar A kutusunda olamayacağına göre, 73’ten sonraki asal sayılar A kutusunda değil.
- Eğer x sayısı 73’ten büyük ve asal değilse, C kutusunda olabilir.
- Ancak x sayısı çift olamaz (çünkü çift sayılar B kutusunda).
4. 73’ten Sonraki Sayıları İnceleyelim
- 74 (çift) → B kutusunda
- 75 (tek, asal değil) → C kutusunda olabilir
- 76 (çift) → B kutusunda
- 77 (tek, asal değil) → C kutusunda olabilir
- 78 (çift) → B kutusunda
- 79 (asal) → A kutusunda olmalı ama A kutusundaki en büyük 73, bu yüzden 79 yok
- 80 (çift) → B kutusunda
- 81 (tek, asal değil) → C kutusunda olabilir
- 82 (çift) → B kutusunda
- 83 (asal) → A kutusunda olmalı ama en büyük 73, yok
5. Sonuç
- x sayısı asal olmayan tek sayı olmalı ve 73’ten büyük olmalı.
- 75, 77, 79 (asal), 81, 83 (asal) seçenekleri var.
- 79 ve 83 asal olduğu için A kutusunda olmalı, ama en büyük 73 olduğundan olamaz.
- Bu yüzden x en çok 81 olabilir.
6. Cevap
D şıkkı: 81
Özet Tablosu
| Sayı | Asal mı? | Çift mi? | Kutusu | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| 73 | Evet | Tek | A | En büyük asal sayı A kutusunda |
| 75 | Hayır | Tek | C | Asal değil, tek, C kutusunda |
| 77 | Hayır | Tek | C | Asal değil, tek, C kutusunda |
| 79 | Evet | Tek | A (olmalı) | Ama en büyük 73, olamaz |
| 81 | Hayır | Tek | C | Asal değil, tek, C kutusunda |
| 83 | Evet | Tek | A (olmalı) | Ama en büyük 73, olamaz |
Sonuç:
x en çok 81 olabilir.
Merhaba @Selver_Onen,
Aşağıda adım adım çözümü bulabilirsin:
-
Düzenekte
- A kutusuna “asal sayılar”,
- B kutusuna “çift sayılar”,
- C kutusuna ise “kalan (ne asal ne de çift) sayılar” düşüyor.
-
Verilenler
- A kutusundaki en büyük asal sayı 73. Bu demek oluyor ki 1’den x’e kadar olan sayılar arasında 73’ten büyük başka asal sayı yok.
- x numaralı top C kutusunda, yani x ne asal ne de çift (tek bileşik sayı).
-
73’ten sonraki asal sayılar: 79, 83, 89, …
– Eğer x ≥ 79 olsaydı, 79 bir asal sayı olarak A kutusuna düşer ve A kutusundaki en büyük asal 73 olmazdı.
– Dolayısıyla x < 79 olmalı. -
x’in “ne asal ne de çift” olması için x’in tek bileşik sayı olması gerekir. 74–78 aralığındaki tek sayılar: 75 ve 77.
– 75: bileşik, C kutusuna düşer. A kutusundaki en büyük asal hâlâ 73 olur.
– 77: bileşik, C kutusuna düşer. A kutusundaki en büyük asal hâlâ 73 olur.Bu iki durumda da şartlar sağlanıyor, ama “x en çok kaçtır?” diye sorulduğuna göre büyük olanını seçiyoruz.
Cevap: 77