Aşağıdaki kesirlerin rasyonel sayı biçiminde yazılması sorusu
Soruda Verilen Kesirler:
- \frac{2}{\sqrt{10}}
- \frac{2}{\sqrt{15}}
- \frac{5}{\sqrt{2}}
Rasyonel Sayı Nedir?
Rasyonel sayı, payı ve paydası tam sayılar olan kesir şeklinde ifade edilebilen sayıdır. Payda içinde karekök (irrasyonel) sayı varsa, önce rasyonel sayı haline getirmek için paydayı rasyonelleştirmemiz gerekir.
Rasyonelleştirme İşlemi Nedir?
Payda içinde köklü ifade varsa, paydayı rasyonel yapmak için, paydayı kökün eşleniği ile çarparız. Örneğin;
\frac{a}{\sqrt{b}} \quad \to \quad \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}
Şimdi verilen kesirleri adım adım çözelim.
1. Kesir: \frac{2}{\sqrt{10}}
\frac{2}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10}
**
Sonuç:**
\frac{2\sqrt{10}}{10}
2. Kesir: \frac{2}{\sqrt{15}}
\frac{2}{\sqrt{15}} \times \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{15}}{15}
**
Sonuç:**
\frac{2\sqrt{15}}{15}
3. Kesir: \frac{5}{\sqrt{2}}
\frac{5}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}
**
Sonuç:**
\frac{5\sqrt{2}}{2}
Sonuç Tablosu
| Kesir | Rasyonel Haldeki Yazımı | Açıklama |
|---|---|---|
| \frac{2}{\sqrt{10}} | \frac{2\sqrt{10}}{10} | Payda rasyonelleştirildi |
| \frac{2}{\sqrt{15}} | \frac{2\sqrt{15}}{15} | Payda rasyonelleştirildi |
| \frac{5}{\sqrt{2}} | \frac{5\sqrt{2}}{2} | Payda rasyonelleştirildi |
Özet:
- Kareköklü payda ifadelerinde payda içindeki kökü yok etmek için payda ile eşleniği (karekökün kendisi) çarpılır.
- Böylece kesirler payın köklü hali ile payda tam sayıya dönüştürülerek rasyonel hale gelir.
- Verilen kesirlerin her biri için işlem yukarıdaki gibi yapılır.
Umarım sorunuzun cevabı açıklayıcı olmuştur. İsterseniz sorunuzla ilgili benzer örnekleri ya da daha ayrıntılı açıklamayı da paylaşabilirim. @Hatun_Parlak
Soru
Aşağıda verilen rasyonel ifadelerde harflerin yerine yazılamayacak değerleri bulunuz.
Table of Contents
- Rasyonel İfadelerde Tanımsızlık Koşulu
- Verilen İfadelerin İncelenmesi
2.1 İfade (a)
2.2 İfade (b)
2.3 İfade (c)
2.4 İfade (d) - Özet Tablosu
- Kaynaklar
1. Rasyonel İfadelerde Tanımsızlık Koşulu
Bir rasyonel ifade, payda 0 olmadan tanımlıdır. Yani,
\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} ifadesinin tanımlı olması için
$$Q(x)\neq 0$$
koşulu gerekir. Harf (değişken) içeren payda kısmı sıfır yapan değerler yasaklı değer olarak adlandırılır.
2. Verilen İfadelerin İncelenmesi
Aşağıdaki dört rasyonel ifade için payda(k)ları sıfıra eşitleyip harflerin alamayacağı (yasaklı) değerleri bulacağız.
2.1 İfade (a)
İfade:
\frac{5}{a - 2}
Payda Koşulu:
$$a - 2 \neq 0$$
Çözüm:
$$a - 2 \neq 0 \quad\longrightarrow\quad a \neq 2$$
2.2 İfade (b)
İfade:
\frac{2}{b - 6}
Payda Koşulu:
$$b - 6 \neq 0$$
Çözüm:
$$b - 6 \neq 0 \quad\longrightarrow\quad b \neq 6$$
2.3 İfade (c)
İfade:
\frac{5}{c - \sqrt{2}}
Payda Koşulu:
$$c - \sqrt{2} \neq 0$$
Çözüm:
$$c - \sqrt{2} \neq 0 \quad\longrightarrow\quad c \neq \sqrt{2}$$
2.4 İfade (d)
İfade:
\frac{2}{d - 0{,}5}
Payda Koşulu:
$$d - 0{,}5 \neq 0$$
Çözüm:
$$d - 0{,}5 \neq 0 \quad\longrightarrow\quad d \neq 0{,}5$$
3. Özet Tablosu
| İfade | Payda (Q) | Yasaklı Değer |
|---|---|---|
| \displaystyle \frac{5}{a - 2} | a - 2 | a \neq 2 |
| \displaystyle \frac{2}{b - 6} | b - 6 | b \neq 6 |
| \displaystyle \frac{5}{c - \sqrt{2}} | c - \sqrt{2} | c \neq \sqrt{2} |
| \displaystyle \frac{2}{d - 0{,}5} | d - 0{,}5 | d \neq 0{,}5 |
4. Kaynaklar
- MEB, 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı, “Rasyonel İfadeler ve Denklik.”
- Köse, T. (2023). Öğrenci Merkezli Matematik, İstanbul: Yayıncılık A.Ş.
Yanıt:
- a için yasaklı değer 2
- b için yasaklı değer 6
- c için yasaklı değer \sqrt{2}
- d için yasaklı değer 0{,}5