Sorunun Çözümü:
Düğüm Gerilimleri Yöntemi ile Çözüm
Bu devrede düğüm gerilimleri yöntemi uygulanarak v_a ve v_b düğüm gerilimleri bulunacaktır.
Veriler:
- I_1 = 5\ \text{A}
- I_2 = 4\ \text{A}
- G_1 = 1\ \text{S}
- G_2 = 0.5\ \text{S}
- G_3 = 0.25\ \text{S}
Devre Düğüm Denklemleri Yazımı
Bir düğümdeki toplam akım sıfır olmak zorundadır (Kirchhoff’un Akım Kanunu).
1. v_a Düğüm Denklemi
- Akımlar:
- I_1 = 5\ \text{A} kaynak akımı düğüme giriyor.
- G_1(v_a) = v_a \cdot G_1 akımı tükeniyor.
- G_2(v_a - v_b) = (v_a - v_b) \cdot G_2 akımı tükeniyor.
Toplam akım sıfır:
Bu ifadeyi düzenlersek:
Değerleri yerine yazalım (G_1 = 1, G_2 = 0.5):
2. v_b Düğüm Denklemi
- Akımlar:
- I_2 = 4\ \text{A} kaynak akımı düğüme giriyor.
- G_2(v_b - v_a) = (v_b - v_a) \cdot G_2 akımı tükeniyor.
- G_3(v_b) = v_b \cdot G_3 akımı tükeniyor.
Toplam akım sıfır:
Bu ifadeyi düzenlersek:
Değerleri yerine yazalım (G_2 = 0.5, G_3 = 0.25):
Denklemlerin Çözümü (Eşzamanlı Çözüm)
İki denklemimiz var:
- 5 - 1.5v_a + 0.5v_b = 0
- 4 - 0.75v_b + 0.5v_a = 0
Bu denklemleri çözmek için adım adım ilerleyelim:
Adım 1: İlk denklemi düzenleme
İlk denklemi v_b açısından düzenleyelim:
Adım 2: İkinci denklemi düzenleme
İkinci denklemde v_b yerine (3) denkleminden bulduğumuz ifadeyi yazalım:
Adım 3: v_b değerini bulma
Bulduğumuz v_a değerini (3) denkleminde yerine yazalım:
Sonuç
Düğüm gerilimleri yöntemiyle v_a ve v_b değerleri:
- v_a = 6.57\ \text{V}
- v_b = 9.71\ \text{V}
Özet Tablo
| Değişken | Akım ve İletkenlikler (S) | Denklem Çözümü | Sonuç |
|---|---|---|---|
| I_1 | 5 A | İlk düğüm denklemi | v_a = 6.57\ \text{V} |
| I_2 | 4 A | İkinci düğüm denklemi | v_b = 9.71\ \text{V} |
| G_1 | 1 S | — | — |
| G_2 | 0.5 S | — | — |
| G_3 | 0.25 S | — | — |
1) Aşağıda verilen devre için düğüm gerilimleri yöntemini kullanarak Va ve Vb değerlerini hesaplayınız. G1=1 S, G2=0.5 S, G3=0.25 S
Cevap:
Table of Contents
- Düğümlerin Tanımlanması
- Düğüm Gerilimleri Yöntemi ve Temel Formüller
- Adım Adım Çözüm
- Sonuçların Tablo Halinde Sunumu
- Kısa Özet
1. Düğümlerin Tanımlanması
Devrede iki düğüm (node) bulunmaktadır:
- Düğüm Va: 5 A’lik akım kaynağının üst ucu. Bu düğüme G1 ve G2 bağlıdır.
- Düğüm Vb: 4 A’lik akım kaynağının üst ucu. Bu düğüme G2 ve G3 bağlıdır.
Tüm noktaların alt referans hattı (gövde veya “şase”) ortak referans (0 V) olarak kabul edilmiştir.
2. Düğüm Gerilimleri Yöntemi ve Temel Formüller
-
Düğüm gerilimleri yöntemi (Nodal Analysis), elektrik devrelerinde bilinmeyen düğüm gerilimlerini bulmak için kullanılır.
-
Her bir düğümde, Kirchhoff’un Akım Kanunu (KAK) uygulanır:
$
\sum I_{çıkış} = \sum I_{giriş}
$ -
Iletkenlik (G) = 1/R bağıntısı kullanıldığında, iki nokta arasındaki akım,
$
I = G \cdot (V_{yüksek} - V_{düşük})
$
şeklinde ifade edilir.
3. Adım Adım Çözüm
3.1 Düğümlere Ait Denklem Kurma
Devrede:
- G1 = 1 S,
- G2 = 0.5 S,
- G3 = 0.25 S
ile akım kaynakları sırasıyla 5 A (sol) ve 4 A (sağ) düğümlerine akım sağlar.
Düğüm Va için KAK
Düğüm Va’ya 5 A’lik kaynak giriyor. G1 ile toprağa ve G2 üzerinden de Vb’ye akım çıkar. KAK yazılırsa:
$
5 \text{ (giren akım)}
= G1 \cdot Va + G2 \cdot (Va - Vb)
$
Bu denklem,
$
5 = G1 , Va + G2 , Va - G2 , Vb
$
şeklinde sadeleştirilir.
Düğüm Vb için KAK
Düğüm Vb’ye 4 A’lik kaynak giriyor. G3 ile toprağa ve G2 üzerinden de Va’ya akım çıkar. KAK yazılırsa:
$
4 \text{ (giren akım)}
= G3 \cdot Vb + G2 \cdot (Vb - Va)
$
Bu denklem,
$
4 = G3 , Vb + G2 , Vb - G2 , Va
$
haline gelir.
3.2 Sayısal Denklem Sistemi
Yukarıdaki denklemlerde verilen sayısal iletkenlik değerlerini yerleştirerek:
- Düğüm Va:
$
5
= (1) \cdot Va + (0.5) \cdot Va - (0.5) \cdot Vb
$
$
5
= 1.5 , Va - 0.5 , Vb
$
- Düğüm Vb:
$
4
= (0.25) \cdot Vb + (0.5) \cdot Vb - (0.5) \cdot Va
$
$
4
= 0.75 , Vb - 0.5 , Va
$
Bu iki lineer denklem, Va ve Vb’yi bulmamızı sağlar.
3.3 Denklemlerin Çözülmesi
İlk denklem (Va, Vb cinsinden):
$
1.5,Va - 0.5,Vb = 5
$
(1)
İkinci denklem:
$
-0.5,Va + 0.75,Vb = 4
$
(2)
Aşağıdaki gibi adım adım çözebiliriz:
• Denklem (1)’i 2 ile çarparak:
$
3,Va - Vb = 10
$
(1’)
• Denklem (2)’yi 4 ile çarparak:
$
-2,Va + 3,Vb = 16
$
(2’)
• (1’)’den Vb’yi çekelim:
$
3,Va - Vb = 10
\implies Vb = 3,Va - 10
$
• Bunu (2’)’ye yerleştirelim:
$
-2,Va + 3,(3,Va - 10) = 16
$
$
-2,Va + 9,Va - 30 = 16
$
$
7,Va - 30 = 16
\implies 7,Va = 46
\implies Va = \frac{46}{7} \approx 6.57 \text{ V}
$
• Bulduğumuz Va değerini kullanarak Vb’yi hesaplayalım:
$
Vb = 3 \cdot \frac{46}{7} - 10
= \frac{138}{7} - \frac{70}{7}
= \frac{68}{7} \approx 9.71 \text{ V}
$
Böylece düğüm gerilimleri:
- Va ≈ 6.57 V
- Vb ≈ 9.71 V
4. Sonuçların Tablo Halinde Sunumu
| Düğüm Gerilimi | Analitik İfade | Yaklaşık Değer (V) |
|---|---|---|
| Va | 46/7 | 6.57 |
| Vb | 68/7 | 9.71 |
Bu tabloda her iki düğümün hem kesirli biçimde hem de ondalık olarak yaklaşık değerleri verilmiştir.
5. Kısa Özet
Düğüm gerilimleri yönteminde, her bir düğüm için KAK yazar ve bilinmeyen voltajları lineer denklem takımlarıyla çözeriz. Bu devrede:
• Va ve Vb adlı iki düğümümüz bulunmaktadır.
• İletkenlikler (G1=1 S, G2=0.5 S, G3=0.25 S) ve akım kaynakları (5 A ve 4 A) kullanılarak nodal denklem kurulmuştur.
• Matematiksel çözüm sonucunda Va = 6.57 V, Vb = 9.71 V (yaklaşık) elde edilmiştir.
Bu sonuçlar, devredeki akım girişleri ve iletkenlik değerleri göz önüne alındığında, söz konusu iki düğümün gerilim seviyelerinin doğru şekilde hesaplandığını gösterir.