Resimdeki soruların hepsi tek tek, 10. sınıf yeni müfredata uygun olarak detaylı açıklamalı çözüm
İçindekiler
1. Soru:
Çözüm:
İlk olarak \sin 2x ifadesini açalım:
Payda ise 1 - \cos x var.
Şimdi ifadeyi yazalım:
Burada paydaki ve paydayı sadeleştirmek için ifadeyi farklı yazabiliriz.
Hatırlayalım ki:
Ve ayrıca
Ama daha basit yaklaşım için ifadeyi şöyle yazalım:
Burada 1 - \cos x'i payda olarak tutup, payı \sin x \cos x olarak bırakalım.
Alternatif olarak pay ve paydayı şöyle ele alabiliriz:
Burada paydadaki 1 - \cos^2 x = \sin^2 x olarak sadeleşti.
Şimdi \sin^2 x'i paydada tutarak ifadeyi sadeleştirelim:
Sonuç:
Alternatif olarak bu haliyle bırakılabilir veya başka biçimde sadeleştirilir.
2. Soru:
Çözüm:
Hatırlayalım ki,
Temel trigonometrik özdeşlik:
Her açı için geçerlidir.
Dolayısıyla,
3. Soru:
ve
Çözüm:
Öncelikle ilk ifade verilmiş, fakat yanlış bir ifade, çünkü temel trigonometrik özdeşlik gereği:
Yani \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1 olmalıdır, 2 değil.
Dolayısıyla muhtemelen soru yanlış yazılmış.
İkinci ifadeye bakalım:
4. Soru:
ve
Çözüm:
Öncelikle, \cos 20^\circ = a verilmiş.
Bilinen trigonometrik özdeşlik:
Burada:
İkinci ifade:
Bu ifadeyi paydaya benzer şekilde bölerek sadeleştirelim:
Yani
5. Soru:
Çözüm:
Bu tür ifadelerde, güçleri azaltmak ve ifadeyi sadeleştirmek için bazı trigonometrik özdeşlikler kullanılır.
İlk olarak şu özdeşlikleri yazalım:
Ama bizden istenen \cos^4 x + \sin^4 x.
İfade şu şekilde düzenlenebilir:
[
\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2
]
Bu ifadeyi toplam ve farkın karesi yöntemine benzetebiliriz:
[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
]
Yani,
[
\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2 \cos^2 x \sin^2 x = 1^2 - 2 \cos^2 x \sin^2 x = 1 - 2 \cos^2 x \sin^2 x
]
Şimdi, \cos^2 x \sin^2 x terimini bulmamız lazım. Bunu, \sin 2x ile ilişkilendirebiliriz.
Hatırlayalım:
Dolayısıyla,
O halde,
Şimdi, \sin^2 2x'i \cos 2x cinsinden ifade edelim.
Biliyoruz ki:
Ancak bu doğrudan çalışmaz. Daha iyi olan trigonometrik yarı açı kimliği:
Burada, \sin^2 2x için,
Ancak soruda \cos 2x = a diye verilmiş.
Bundan sonra onu kullanmak için ifadeyi değiştirebiliriz.
Alternatif olarak, farklı bir formül kullanabiliriz.
Başka bir yaklaşım:
Ve bilindiği üzere,
Ayrıca,
Ama \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x değil, ama
Burada,
Şimdi yerine koyarsak:
Sonuç:
6. Soru:
Çözüm:
Buradaki x hem açı hem de pay ve paydada sayı var gibi görünüyor. Ancak,
Öyle anlaşılıyor ki x orada sayı değil, ifade olarak \theta gibi açı.
Ancak verilen ifade okunurken:
Burada sağdaki \frac{x}{3} belirsiz.
Belki soru hatalı yazılmış.
Ama muhtemelen şu şekilde olması gerek:
ve x ifadesi yok.
Otur veya \tan x bulunuyor.
Ah anlayışa göre tekrar aktaralım:
Soru:
Bu haliyle çözüm yapalım.
İşlem:
Çarpalım karşılıklı:
Buradan \sin x terimleri birbirini götürür:
Kalan:
Eğer \cos x = 0 ise \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımsızdır.
Bu çelişki oluşturur.
Demek ki tahminimiz doğru çıkmadı.
Alternatif olarak, verilen soru şu olabilir:
“Soru” yazımından:
Burada anlamı: x bilinmeyen değil, ifadeyi yazmak için konulmuş.
Belki sorunun tamamı şudur:
\displaystyle \frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{1}{3} ise, \tan x = ?
Böyle alacağız.
Yeni çözüm:
Çarpalım:
Burada 3 \sin x karşılıklı götürürüz.
Kalan:
Yine aynı.
Bu durumda \tan x tanımsız.
Başka yorum denemeliyiz.
Varsayım olarak sağdaki değer x/3 değil, bilinmeyen k olsun.
Amacımız \tan x'i k cinsinden bulmak.
Yani,
Her iki tarafı \cos x'e bölelim (cos x ≠ 0):
Eğer k = \frac{x}{3} deniyorsa, daha fazla bilgi gerekebilir.
Sonuç:
Soru belirsiz ve muhtemelen verilen ifadede hata var. Daha net bir ifade olursa tekrar çözebilirim.
7. Soru:
Çözüm:
İlk olarak ifadeyi açalım:
Şimdi, \cot x = \frac{1}{\tan x} olduğuna göre,
Her iki tarafı \tan x ile çarpalım (tan x ≠ 0):
Bunu bir denkleme çevirelim:
Bu ikinci derece denklemin diskriminantını hesaplayalım:
Negatif diskriminant olduğu için gerçek kök yok, yani \tan x gerçek sayılar içinde böyle değer alamaz.
Bu durumda çözümsüzdür (gerçek sayılar için).
8. Soru:
Çözüm:
Verilen ifade:
Amacımız \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}'i bulmak.
İlk olarak pay ve paydayı \cos x cinsinden yazalım:
Yerine koyarsak:
\cos x \neq 0 varsayımıyla sadeleştirelim:
Çarpalım:
Denklemi sadeleştirelim:
Yani,
9. Soru:
Çözüm:
İfadeyi yazalım:
Ancak sadeleştirmek için paydaları ortak yapalım:
Paydaları ortak yaparsak:
Bu yüzden,
Sonuç:
10. Soru:
Çözüm:
Önce parantezi açalım:
Toplam ifade:
Burada ifadenin tamamı başka şekillerde sadeleştirilmez, ancak trigonometrik fonksiyonları tekrar \sin ve \cos cinsinden bir arada tutmak iyi olur.
Alternatif olarak paydaları ortak yapabiliriz ancak bu işlem karmaşık olur.
Bu haliyle bırakabiliriz.
Özet Tablosu:
| Soru No | Soru Özeti | Cevap |
|---|---|---|
| 1 | \frac{\sin 2x}{1 - \cos x} | 2 \cos x \frac{1 + \cos x}{\sin x} |
| 2 | \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ | 1 |
| 3 | 4 \sin^2 50^\circ + 4 \cos^2 50^\circ | 4 |
| 4 | \cos 20^\circ = a ise \sin^2 20^\circ ve oranı | \sin^2 20^\circ = 1 - a^2 ve \frac{\sin^2 20^\circ}{1 - \cos 20^\circ} = 1 + a |
| 5 | \cos 2x = a ise \cos^4 x + \sin^4 x | \frac{1 + a^2}{2} |
| 6 | Belirsiz / Hatalı yazım | Çözüm yapılamadı |
| 7 | \tan x + \cot x = 1 ise \tan^2 x | Gerçek çözüm yok (diskriminant < 0) |
| 8 | \frac{3 \sin x - 2 \cos x}{2 \cos x + 4 \sin x} = \frac{2}{9} | \tan x = \frac{22}{19} |
| 9 | \frac{-1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} | -\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} |
| 10 | \sin x + \frac{2}{\cos x} \left( \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} \right) | \sin x + \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{2}{\sin x \cos x} |
Genel Özet
- Temel trigonometrik özdeşlikler soruların çoğunda kullanıldı: \sin^2 x + \cos^2 x = 1.
- Açı ölçüleri ve güç azaltma formülleri ile ifadeler sadeleştirildi.
- Bazı soruların yazımında muhtemel hata veya belirsizlik var (6. ve 7. soru).
- Önemli bir yöntem: ifadeleri \sin ve \cos cinsinden yeniden yazıp sadeleştirmek.
- \tan x ile ilgili denklemlerde köklerin gerçek olup olmadığına dikkat etmek gerekir.
- Karmaşık ifadelerde payda eşitleme veya yayma-azaltma yöntemleriyle sadeleştirme yapıldı.
Eğer daha fazla soru varsa ya da açık olmayan yer olursa, detaylı açıklama ile yardımcı olmaya devam ederim.