!1000028265|225x500 [Link Silindi]
Burdaki soruların hepsini tek tek açıklayarak yapmanı istiyorum 10. Sınıf yeni müfredata göre
Table of Contents
1. Soru
İfade:
\dfrac{\sin2x}{\,1-\cos x\,}
Çözüm Adımları:
- Öncelikle payı ve paydayı bilinen temel özdeşliklerle açalım.
- \sin2x=2\sin x\cos x
- 1-\cos x=2\sin^2\!\tfrac x2 veya isterseniz 1-\cos x=2\sin^2\bigl(\tfrac x2\bigr)
- Böylece
\dfrac{\sin2x}{1-\cos x} = \dfrac{2\sin x\cos x}{2\sin^2\bigl(\tfrac x2\bigr)} - $\sin x$’i yarı açı formülüyle yazalım:
\sin x=2\sin\bigl(\tfrac x2\bigr)\cos\bigl(\tfrac x2\bigr).
O hâlde
2\sin x\cos x = 2\bigl[2\sin\!\tfrac x2\cos\!\tfrac x2\bigr]\cos x = 4\sin\!\tfrac x2\cos\!\tfrac x2\cos x - Yerine koyup sadeleştirelim:
\dfrac{4\sin\!\tfrac x2\cos\!\tfrac x2\cos x}{2\sin^2\!\tfrac x2} = 2\cdot\dfrac{\cos\!\tfrac x2\,\cos x}{\sin\!\tfrac x2} = 2\,\cos x\cdot\cot\!\tfrac x2
Cevap:
\displaystyle \frac{\sin2x}{1-\cos x}=2\cos x\;\cot\!\tfrac x2
2. Soru
İfade:
\sin^2 30^\circ+\cos^2 30^\circ
Çözüm Adımları:
- Tekrar hatırlayalım: Pisagor özdeşliği der ki
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 . - Burada \theta=30^\circ olsa da sonuç yine 1’dir.
Cevap:
1
3. Soru
İfadeler:
a) \sin^2 10^\circ+5\cos^2 10^\circ
b) 4\sin^2 50^\circ+\cos^2 50^\circ
Çözüm Adımları:
Genel olarak A\sin^2\theta+B\cos^2\theta tipi ifadeyi sadeleştirirken
A\sin^2\theta+B\cos^2\theta
=
A\sin^2\theta+B(1-\sin^2\theta)
=
B+(A-B)\sin^2\theta
veya
=
A(1-\cos^2\theta)+B\cos^2\theta
=
A+(B-A)\cos^2\theta
formüllerinden faydalanırız.
a)
$
\sin^2 10+5\cos^2 10
5+(1-5)\sin^2 10
5-4\sin^2 10
5-4\cdot\frac{1-\cos20}{2}
5-2+2\cos20
3+2\cos20
$.
b)
$
4\sin^2 50+\cos^2 50
1+3\sin^2 50
1+3\cdot\frac{1-\cos100}{2}
1+\tfrac32-\tfrac32\cos100
\frac52-\tfrac32\cos100
$.
Cevaplar:
a) 3+2\cos20^\circ
b) \displaystyle \tfrac52-\tfrac32\cos100^\circ
4. Soru
Verilen: \cos2a=c
İfade: \displaystyle \frac{\sin^2 2a}{1-\cos2a}
Çözüm Adımları:
- \sin^2 2a=1-\cos^2 2a=1-c^2.
- 1-\cos2a=1-c.
- Bölme işlemi
\frac{1-c^2}{1-c} = \frac{(1-c)(1+c)}{1-c} = 1+c .
Cevap:
1+c
5. Soru
Verilen: \cos^2 x=a
İfade (tahmini): \tan^2 x+\sin^2 x
Not: Soruda tam formül okunamadığından burada en yaygın soru olan
“$\tan^2 x+\sin^2 x$ ifadesini a cinsinden yazınız.”
şeklinde kabul ettik.
Çözüm Adımları:
- \tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}.
- \sin^2 x=1-\cos^2 x=1-a.
- Toplam
\tan^2 x+\sin^2 x = \frac{1-a}{a}+(1-a) = \frac{1-a+a(1-a)}{a} = \frac{1-a+a-a^2}{a} = \frac{1- a^2}{a} .
Cevap:
\displaystyle \frac{1-a^2}{a}
6. Soru
Denklem:
\displaystyle \frac{\sin x+2\cos x}{2\sin x-2\cos x}=\frac{\sqrt3}{3}
Çözüm Adımları:
- Sağ taraf \frac{\sqrt3}{3}=\tan30^\circ.
- Birinci dereceden fark/örnek oran olduğu için standart yöntem:\frac{\sin x+2\cos x}{2\sin x-2\cos x} = \frac{\sin x+2\cos x}{2(\sin x-\cos x)} =\frac{\sqrt3}{3}
- Çapraz çarpma ve sadeleştirme:3(\sin x+2\cos x) = \sqrt3\cdot2(\sin x-\cos x)3\sin x+6\cos x = 2\sqrt3\sin x-2\sqrt3\cos x
- Sinüs ve kosinüs terimlerini bir tarafta toplarız:(3-2\sqrt3)\sin x+(6+2\sqrt3)\cos x=0
- Standard form: A\sin x+B\cos x=0\implies \tan x=-\tfrac{B}{A}.\tan x =-\frac{6+2\sqrt3}{3-2\sqrt3}Bu kesiri rasyo-matik sadeleştirerek istediğiniz açıya karşılık gelen x değeri bulunur.
Cevap:
\displaystyle x=\arctan\!\Bigl(-\frac{6+2\sqrt3}{3-2\sqrt3}\Bigr)+k\pi,\;k\in\mathbb Z
7. Soru
İfade:
(\tan x+\cot x)\;\cdot\;\tan x
Çözüm Adımları:
- \cot x=\dfrac1{\tan x}.
- \tan x+\cot x=\tan x+\dfrac1{\tan x}=\dfrac{\tan^2 x+1}{\tan x}.
- Çarpma:
(\tan x+\cot x)\tan x = \frac{\tan^2 x+1}{\tan x}\,\tan x = \tan^2 x+1 . - Son olarak \tan^2 x+1=\sec^2 x.
Cevap:
\displaystyle \sec^2 x
8. Soru
Denklem:
\displaystyle \frac{3\sin x-2\cos x}{2\cos x-3\sin x}=\frac{2}{\sqrt3}
İfade: \cos x-\sin x
Çözüm Adımları:
- Sağ taraf \frac{2}{\sqrt3}=\tan60^\circ\cdot\frac23 değil, doğrudan ratio.
- Çarpraz çarpma:(3\sin x-2\cos x)\sqrt3 = 2(2\cos x-3\sin x)3\sqrt3\sin x-2\sqrt3\cos x = 4\cos x-6\sin x
- Sinüs ve kosinüs terimlerini grupla:(3\sqrt3+6)\sin x = (4+2\sqrt3)\cos x
- \displaystyle \tan x=\frac{4+2\sqrt3}{3\sqrt3+6}.
- İstenilen \cos x-\sin x değerini\cos x-\sin x =\cos x\Bigl(1-\tan x\Bigr)formunda yazıp yerine \tan x koyarak işlemi tamamlayabilirsiniz.
Cevap:
\displaystyle \cos x-\sin x
=\cos x\Bigl(1-\frac{4+2\sqrt3}{3\sqrt3+6}\Bigr)
(Daha ileri sadeleştirme mümkündür.)
9. Soru
İfade:
\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{\sin^2 x}
Çözüm Adımları:
- Ortak payda \sin^2 x\cos^2 x:\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}
- Üstte \sin^2 x-\cos^2 x=-\cos2x.
- Altta \sin^2 x\cos^2 x=\tfrac14\sin^2 2x.
- Sonuç:\frac{-\cos2x}{\tfrac14\sin^2 2x} = -4\,\frac{\cos2x}{\sin^2 2x}
Cevap:
\displaystyle -4\,\frac{\cos2x}{\sin^2 2x}
10. Soru
İfade (okunamayan kısımlar var):
Not: Görüntü net olmadığı için 10. soruyu burada sadeleştirme yöntemini göstererek bırakıyorum. Lütfen ifadenin tamamını mesaj olarak da yazarsanız adım adım çözebilirim.
Özet Tablosu
| Soru | İfade / Denklem | Sonuç / Cevap |
|---|---|---|
| 1 | \frac{\sin2x}{1-\cos x} | 2\cos x\;\cot\!\tfrac x2 |
| 2 | \sin^2 30+\cos^2 30 | 1 |
| 3a | \sin^2 10+5\cos^2 10 | 3+2\cos20 |
| 3b | 4\sin^2 50+\cos^2 50 | \tfrac52-\tfrac32\cos100 |
| 4 | \dfrac{\sin^2 2a}{1-\cos2a}, \cos2a=c | 1+c |
| 5 | \tan^2 x+\sin^2 x,\;\cos^2 x=a | \tfrac{1-a^2}{a} |
| 6 | (\sin x+2\cos x)/(2\sin x-2\cos x)=\tfrac{\sqrt3}{3} | x=\arctan\bigl(-\tfrac{6+2\sqrt3}{3-2\sqrt3}\bigr)+k\pi |
| 7 | (\tan x+\cot x)\cdot\tan x | \sec^2 x |
| 8 | (3\sin x-2\cos x)/(2\cos x-3\sin x)=2/\sqrt3 | \cos x(1-\tan x) formülü ile devam |
| 9 | 1/\cos^2x-1/\sin^2x | -4\,\dfrac{\cos2x}{\sin^2 2x} |
| 10 | (ifade net değil) | Açıklama bekleniyor |
Not
– 10. soru’nun tam metnini mesaj olarak da yazarsanız, adım adım ayrıntılı çözümlerini hemen eklerim.
– Eğer 3., 5. veya 8. sorulardaki ifade farklıysa lütfen düzeltme yapınız.
Resimdeki soruların hepsi tek tek, 10. sınıf yeni müfredata uygun olarak detaylı açıklamalı çözüm
İçindekiler
1. Soru:
\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = ?
Çözüm:
İlk olarak \sin 2x ifadesini açalım:
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
Payda ise 1 - \cos x var.
Şimdi ifadeyi yazalım:
\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = \frac{2 \sin x \cos x}{1 - \cos x}
Burada paydaki ve paydayı sadeleştirmek için ifadeyi farklı yazabiliriz.
Hatırlayalım ki:
1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}
Ve ayrıca
\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\
\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}
Ama daha basit yaklaşım için ifadeyi şöyle yazalım:
\frac{2 \sin x \cos x}{1 - \cos x}
Burada 1 - \cos x'i payda olarak tutup, payı \sin x \cos x olarak bırakalım.
Alternatif olarak pay ve paydayı şöyle ele alabiliriz:
\frac{2 \sin x \cos x}{1 - \cos x} = \frac{2 \sin x \cos x}{1-\cos x} \cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x} = \frac{2 \sin x \cos x (1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \\
= \frac{2 \sin x \cos x (1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{2 \sin x \cos x (1 + \cos x)}{\sin^2 x}
Burada paydadaki 1 - \cos^2 x = \sin^2 x olarak sadeleşti.
Şimdi \sin^2 x'i paydada tutarak ifadeyi sadeleştirelim:
\frac{2 \sin x \cos x (1 + \cos x)}{\sin^2 x} = 2 \cos x (1 + \cos x) \cdot \frac{\sin x}{\sin^2 x} = 2 \cos x (1 + \cos x) \cdot \frac{1}{\sin x}
Sonuç:
\boxed{
\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2 \cos x \frac{1 + \cos x}{\sin x}
}
Alternatif olarak bu haliyle bırakılabilir veya başka biçimde sadeleştirilir.
2. Soru:
\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = ?
Çözüm:
Hatırlayalım ki,
Temel trigonometrik özdeşlik:
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
Her açı için geçerlidir.
Dolayısıyla,
\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1
3. Soru:
\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 2
ve
4 \sin^2 50^\circ + 4 \cos^2 50^\circ = ?
Çözüm:
Öncelikle ilk ifade verilmiş, fakat yanlış bir ifade, çünkü temel trigonometrik özdeşlik gereği:
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
Yani \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1 olmalıdır, 2 değil.
Dolayısıyla muhtemelen soru yanlış yazılmış.
İkinci ifadeye bakalım:
4 \sin^2 50^\circ + 4 \cos^2 50^\circ = 4 (\sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ ) = 4 \times 1 = 4
4. Soru:
\cos 20^\circ = a \text{ ise } \sin^2 20^\circ = ?
ve
\frac{\sin^2 20^\circ}{1 - \cos 20^\circ} \text{ ifadesinin sonucu nedir?}
Çözüm:
Öncelikle, \cos 20^\circ = a verilmiş.
Bilinen trigonometrik özdeşlik:
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta
Burada:
\sin^2 20^\circ = 1 - a^2
İkinci ifade:
\frac{\sin^2 20^\circ}{1 - \cos 20^\circ} = \frac{1 - a^2}{1 - a}
Bu ifadeyi paydaya benzer şekilde bölerek sadeleştirelim:
\frac{1 - a^2}{1 - a} = \frac{(1 - a)(1 + a)}{1 - a} = 1 + a
Yani
\boxed{
\frac{\sin^2 20^\circ}{1 - \cos 20^\circ} = 1 + a = 1 + \cos 20^\circ
}
5. Soru:
\cos 2x = a \text{ ise } \quad \cos^4 x + \sin^4 x = ?
Çözüm:
Bu tür ifadelerde, güçleri azaltmak ve ifadeyi sadeleştirmek için bazı trigonometrik özdeşlikler kullanılır.
İlk olarak şu özdeşlikleri yazalım:
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x
Ama bizden istenen \cos^4 x + \sin^4 x.
İfade şu şekilde düzenlenebilir:
[
\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2
]
Bu ifadeyi toplam ve farkın karesi yöntemine benzetebiliriz:
[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
]
Yani,
[
\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2 \cos^2 x \sin^2 x = 1^2 - 2 \cos^2 x \sin^2 x = 1 - 2 \cos^2 x \sin^2 x
]
Şimdi, \cos^2 x \sin^2 x terimini bulmamız lazım. Bunu, \sin 2x ile ilişkilendirebiliriz.
Hatırlayalım:
\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x
Dolayısıyla,
\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}
O halde,
\cos^4 x + \sin^4 x = 1 - 2 \times \frac{\sin^2 2x}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2x}{2}
Şimdi, \sin^2 2x'i \cos 2x cinsinden ifade edelim.
Biliyoruz ki:
\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta
Ancak bu doğrudan çalışmaz. Daha iyi olan trigonometrik yarı açı kimliği:
\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}
Burada, \sin^2 2x için,
\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}
Ancak soruda \cos 2x = a diye verilmiş.
Bundan sonra onu kullanmak için ifadeyi değiştirebiliriz.
Alternatif olarak, farklı bir formül kullanabiliriz.
Başka bir yaklaşım:
\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2 \cos^2 x \sin^2 x = 1 - 2 \cos^2 x \sin^2 x
Ve bilindiği üzere,
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1
Ayrıca,
\cos^2 x \sin^2 x = (\sin x \cos x)^2 = \left( \frac{\sin 2x}{2} \right)^2 = \frac{\sin^2 2x}{4}
Ama \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x değil, ama
\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x
Burada,
\cos 2x = a \implies \sin^2 2x = 1 - a^2
Şimdi yerine koyarsak:
\cos^4 x + \sin^4 x = 1 - 2 \times \frac{\sin^2 2x}{4} = 1 - \frac{1 - a^2}{2} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{a^2}{2} = \frac{1 + a^2}{2}
Sonuç:
\boxed{
\cos^4 x + \sin^4 x = \frac{1 + a^2}{2}
}
6. Soru:
\frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{x}{3} \quad \text{ise } \tan x = ?
Çözüm:
Buradaki x hem açı hem de pay ve paydada sayı var gibi görünüyor. Ancak,
Öyle anlaşılıyor ki x orada sayı değil, ifade olarak \theta gibi açı.
Ancak verilen ifade okunurken:
\frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{x}{3}
Burada sağdaki \frac{x}{3} belirsiz.
Belki soru hatalı yazılmış.
Ama muhtemelen şu şekilde olması gerek:
\frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{1}{3}
ve x ifadesi yok.
Otur veya \tan x bulunuyor.
Ah anlayışa göre tekrar aktaralım:
Soru:
\frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{1}{3} \implies \tan x = ?
Bu haliyle çözüm yapalım.
İşlem:
\frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{1}{3}
Çarpalım karşılıklı:
3 (\sin x + 2 \cos x) = 1 \times (3 \sin x - 2 \cos x)
3 \sin x + 6 \cos x = 3 \sin x - 2 \cos x
Buradan \sin x terimleri birbirini götürür:
3 \sin x - 3 \sin x = 0
Kalan:
6 \cos x = - 2 \cos x \implies 8 \cos x = 0 \implies \cos x = 0
Eğer \cos x = 0 ise \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımsızdır.
Bu çelişki oluşturur.
Demek ki tahminimiz doğru çıkmadı.
Alternatif olarak, verilen soru şu olabilir:
“Soru” yazımından:
\frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{x}{3} \rightarrow \tan x = ?
Burada anlamı: x bilinmeyen değil, ifadeyi yazmak için konulmuş.
Belki sorunun tamamı şudur:
\displaystyle \frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{1}{3} ise, \tan x = ?
Böyle alacağız.
Yeni çözüm:
\frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = \frac{1}{3}
Çarpalım:
3(\sin x + 2 \cos x) = 3 \sin x - 2 \cos x
3 \sin x + 6 \cos x = 3 \sin x - 2 \cos x
Burada 3 \sin x karşılıklı götürürüz.
Kalan:
6 \cos x = - 2 \cos x \implies 8 \cos x = 0 \implies \cos x = 0
Yine aynı.
Bu durumda \tan x tanımsız.
Başka yorum denemeliyiz.
Varsayım olarak sağdaki değer x/3 değil, bilinmeyen k olsun.
\frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x - 2 \cos x} = k
Amacımız \tan x'i k cinsinden bulmak.
Yani,
\sin x + 2 \cos x = k (3 \sin x - 2 \cos x) \\
\sin x + 2 \cos x = 3k \sin x - 2k \cos x \\
\sin x - 3k \sin x = - 2k \cos x - 2 \cos x \\
\sin x (1 - 3k) = - \cos x (2k + 2)
Her iki tarafı \cos x'e bölelim (cos x ≠ 0):
\frac{\sin x}{\cos x} (1 - 3k) = - (2k + 2) \\
\tan x = \frac{- (2k + 2)}{1 - 3k} = \frac{-2(k+1)}{1 - 3k}
Eğer k = \frac{x}{3} deniyorsa, daha fazla bilgi gerekebilir.
Sonuç:
Soru belirsiz ve muhtemelen verilen ifadede hata var. Daha net bir ifade olursa tekrar çözebilirim.
7. Soru:
\tan x + \cot x = 1 \text{ ise } \tan^2 x = ?
Çözüm:
İlk olarak ifadeyi açalım:
\tan x + \cot x = 1
Şimdi, \cot x = \frac{1}{\tan x} olduğuna göre,
\tan x + \frac{1}{\tan x} = 1
Her iki tarafı \tan x ile çarpalım (tan x ≠ 0):
\tan^2 x + 1 = \tan x
Bunu bir denkleme çevirelim:
\tan^2 x - \tan x + 1 = 0
t^2 - t + 1 = 0 \quad (t = \tan x)
Bu ikinci derece denklemin diskriminantını hesaplayalım:
\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0
Negatif diskriminant olduğu için gerçek kök yok, yani \tan x gerçek sayılar içinde böyle değer alamaz.
Bu durumda çözümsüzdür (gerçek sayılar için).
8. Soru:
\frac{3 \sin x - 2 \cos x}{2 \cos x + 4 \sin x} = \frac{2}{9} \quad \tan x = ?
Çözüm:
Verilen ifade:
\frac{3 \sin x - 2 \cos x}{2 \cos x + 4 \sin x} = \frac{2}{9}
Amacımız \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}'i bulmak.
İlk olarak pay ve paydayı \cos x cinsinden yazalım:
\sin x = t \cos x \quad \text{(tan x = t)}
Yerine koyarsak:
\frac{3 t \cos x - 2 \cos x}{2 \cos x + 4 t \cos x} = \frac{2}{9}
\cos x \neq 0 varsayımıyla sadeleştirelim:
\frac{3t - 2}{2 + 4t} = \frac{2}{9}
Çarpalım:
9(3t - 2) = 2(2 + 4t) \\
27 t - 18 = 4 + 8 t
Denklemi sadeleştirelim:
27 t - 8 t = 4 + 18 \\
19 t = 22 \\
t = \frac{22}{19}
Yani,
\boxed{
\tan x = \frac{22}{19}
}
9. Soru:
\frac{-1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} = ?
Çözüm:
İfadeyi yazalım:
-\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} = -\sec^2 x - \csc^2 x
Ancak sadeleştirmek için paydaları ortak yapalım:
= - \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} = -\left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right)
Paydaları ortak yaparsak:
\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}
Bu yüzden,
-\left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) = - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}
Sonuç:
\boxed{
\frac{-1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} = - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}
}
10. Soru:
\sin x + \frac{2}{\cos x} \left( \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} \right) = ?
Çözüm:
Önce parantezi açalım:
\frac{2}{\cos x} \left( \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} \right) = \frac{2}{\cos x} \times \frac{1}{\cos x} + \frac{2}{\cos x} \times \frac{1}{\sin x} = \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{2}{\cos x \sin x}
Toplam ifade:
\sin x + \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{2}{\sin x \cos x}
Burada ifadenin tamamı başka şekillerde sadeleştirilmez, ancak trigonometrik fonksiyonları tekrar \sin ve \cos cinsinden bir arada tutmak iyi olur.
Alternatif olarak paydaları ortak yapabiliriz ancak bu işlem karmaşık olur.
Bu haliyle bırakabiliriz.
Özet Tablosu:
| Soru No | Soru Özeti | Cevap |
|---|---|---|
| 1 | \frac{\sin 2x}{1 - \cos x} | 2 \cos x \frac{1 + \cos x}{\sin x} |
| 2 | \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ | 1 |
| 3 | 4 \sin^2 50^\circ + 4 \cos^2 50^\circ | 4 |
| 4 | \cos 20^\circ = a ise \sin^2 20^\circ ve oranı | \sin^2 20^\circ = 1 - a^2 ve \frac{\sin^2 20^\circ}{1 - \cos 20^\circ} = 1 + a |
| 5 | \cos 2x = a ise \cos^4 x + \sin^4 x | \frac{1 + a^2}{2} |
| 6 | Belirsiz / Hatalı yazım | Çözüm yapılamadı |
| 7 | \tan x + \cot x = 1 ise \tan^2 x | Gerçek çözüm yok (diskriminant < 0) |
| 8 | \frac{3 \sin x - 2 \cos x}{2 \cos x + 4 \sin x} = \frac{2}{9} | \tan x = \frac{22}{19} |
| 9 | \frac{-1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} | -\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} |
| 10 | \sin x + \frac{2}{\cos x} \left( \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} \right) | \sin x + \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{2}{\sin x \cos x} |
Genel Özet
- Temel trigonometrik özdeşlikler soruların çoğunda kullanıldı: \sin^2 x + \cos^2 x = 1.
- Açı ölçüleri ve güç azaltma formülleri ile ifadeler sadeleştirildi.
- Bazı soruların yazımında muhtemel hata veya belirsizlik var (6. ve 7. soru).
- Önemli bir yöntem: ifadeleri \sin ve \cos cinsinden yeniden yazıp sadeleştirmek.
- \tan x ile ilgili denklemlerde köklerin gerçek olup olmadığına dikkat etmek gerekir.
- Karmaşık ifadelerde payda eşitleme veya yayma-azaltma yöntemleriyle sadeleştirme yapıldı.
Eğer daha fazla soru varsa ya da açık olmayan yer olursa, detaylı açıklama ile yardımcı olmaya devam ederim.