SORU: x değerini bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dik üçgenlerde Pisagor Teoremi ve benzerlik
- Dik noktalardan yükseklik ve dikmelerle ilgili oranlar
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen bilgileri yazalım
- |BC| = 4|BD|
- |BE| = 6
- |AB| = x (bulunacak)
- Dik açılar: |BA| \perp |AC|, |BE| \perp |ED|, |AH| \perp |BC|
- Noktalar B, H, D, C ile A, E, H doğrusal
Adım 2 — Noktaların konumlarını ve uzunluklarını yorumlayalım
- BC = 4 \times BD \implies BD = \frac{BC}{4}
- BE = 6 biliniyor
- AB = x
- BE \perp ED, AH \perp BC, dikmelerle ilişkili noktalar
Adım 3 — Dik açılar ve verilen oranlarla ilişkili ortak diklik durumunu inceleyelim
- |BA| ⊥ |AC|,
- Dolayısıyla üçgen ABC dik açılı
- BE ve ED birbirine dik, BE uzunluğu verildi, ED bu uzunlukla ilişkilendirilebilir.
- AH dik ve |AH| ⊥ |BC|
- B, H, D, C doğrusal ve A, E, H doğrusal, bu noktalar arasındaki ilişkiler oran kurmaya yarar.
Adım 4 — Benzer üçgenleri bulalım
- BE ve ED dik, B, H, D, C doğrusal olduğu için üçgen BHD dik üçgendir.
- BE uzunluğu 6, BC = 4BD olduğu için BD küçük parça, BC büyük parça.
Adım 5 — AB = x = \sqrt{k} \cdot |BE| ifadesini kullan
- |BC| = k \cdot |BD|
- |AB| = \sqrt{k} \cdot |BE| ilişkisinden k ve x bulunacak.
- k = 4 verilmiştir (çünkü BC = 4BD)
- Dolayısıyla AB = \sqrt{4} \times BE = 2 \times 6 = 12
Adım 6 — Sonuç
- x = |AB| = 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: x = 12
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
SORU: Verilen şekilde BA ⟂ AC, BE ⟂ ED, AH ⟂ BC, B, H, D, C ile A, E, H doğrusal; |BC| = 4|BD|, |BE| = 6 ve |AB| = x. Buna göre x kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik ilişkisi: |AB|^2 = |BH|\cdot|BC| .
- Dik üçgende Pisagor: Eğer ∠E = 90° ise |BD|^2 = |BE|^2 + |ED|^2 .
- Koordinat/dot çarpımı ile diklikten gelen ilişki: iki vektörün skaler çarpımı 0’dır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişken tanımı
- |BC| = b,\; |BH| = b-h,\; |BD| = b-d.
Adım 2 — BC = 4·BD ilişkisinden BD’yi yaz
- b = 4(b-d)
- Buradan b-d = \dfrac{b}{4}.
Adım 3 — Koordinat seçimi ve diklikten elde edilen ilişki
- Koordinat alırsak: B(0,b),\; H(0,h),\; D(0,d),\; E(x_e,h) (çünkü A,E,H yatay doğruda).
- Vektörler: \overrightarrow{BE}=(x_e,\;h-b),\; \overrightarrow{ED}=(-x_e,\;d-h).
- \overrightarrow{BE}\perp\overrightarrow{ED}\Rightarrow \overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{ED}=0
- Yani -x_e^2+(d-h)(h-b)=0 olupx_e^2=(h-d)(b-h).
Adım 4 — ED^2 ifadesini elde et
- |ED|^2 = x_e^2+(h-d)^2 = (h-d)(b-h)+(h-d)^2 = (h-d)(b-d).
Adım 5 — Dik üçgen BDE için Pisagor uygula
- |BD|^2 = |BE|^2 + |ED|^2
- Yerine koy: (b-d)^2 = 6^2 + (h-d)(b-d)
- (b-d)^2 - (h-d)(b-d)=36
- (b-d)\big((b-d)-(h-d)\big)=36 ⇒ (b-d)(b-h)=36
Adım 6 — BD = b/4 kullanılarak sadeleştir
- b-d=\dfrac{b}{4} olduğuna göre \dfrac{b}{4}(b-h)=36
- Böylece b(b-h)=144.
Adım 7 — Hipotenüs ilişkisi ile AB^2’yi yaz
- Dik üçgende |AB|^2 = |BH|\cdot|BC| = (b-h)\cdot b.
- Yukarıdan b(b-h)=144 olduğuna göre |AB|^2 =144.
CEVAP: x=|AB|=\sqrt{144}=12 birim
TEMEL KAVRAMLAR:
- Hipotenüse indirilen yükseklik ilişkisi
- Tanım: Dik üçgende bir dik kenardan hipotenüse düşen dikmenin oluşturduğu parçalarla kenarlar arasında çarpım ilişkileri vardır.
- Bu problemde: |AB|^2 = |BH|\cdot|BC| kullanıldı.
- Diklik ve Pisagor
- Tanım: İki vektörün skaler çarpımı sıfırsa dik; dik üçgende hipotenüsün karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir.
- Bu problemde: BE ⟂ ED ve BDE üçgeninde Pisagor kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Diklikten doğrudan ED^2 alınmaması
- Yanlış: ED^2’yi doğrudan (h-d)^2 almak.
- Doğru: ED^2 = x_e^2+(h-d)^2 ve x_e^2 diklikten elde edilir.
- Neden yanlış: E yatayda A ile aynı hizada olduğundan x farkı ihmal edilmemeli.
- Düzeltme: Diklikten x_e^2=(h-d)(b-h) elde edilip ED^2 hesaplanmalı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?