SORU:
12. soruda verilen ABC üçgeninde, m(\widehat{BAC}) = 45^\circ , ED \perp AB , E \in AC , AD = DB = 6 , ve EC = \frac{|ED|}{2} olduğuna göre BC = x kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dik üçgenlerde trigonometrik oranlar
- Pisagor teoremi
- Üçgenin temel geometrik özellikleri
- Benzerlik ve diklik özellikleri
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üçgenin temel özelliklerini belirleme
\triangle ABC 'de m(\widehat{BAC}) = 45^\circ ve AD = DB = 6 verilmiş, yani AB = AD + DB = 12 birim. Ayrıca ED \perp AB ve E \in AC olduğu için ED yüksekliğidir. EC = \frac{|ED|}{2} veriliyor.
Adım 2 — Üçgenin temel şekillerini çiz ve açıları incele
- \angle BAC = 45^\circ olduğundan, \angle ABC ve \angle ACB toplamı 135^\circ .
- AD = DB = 6 olduğuna göre, D noktası AB kenarının ortasıdır. Bu bilgi, yükseklik ve kenar ilişkilerinde yardımcı olur.
Adım 3 — \triangle ABD 'de verileri kullan
AD = 6 , DB = 6 , AB = 12 . E \in AC ve ED \perp AB olduğundan, ED bir yüksekliktir.
Adım 4 — ED ve EC arasındaki ilişkiyi kullan
Verili: EC = \frac{|ED|}{2}
Yani, EC = \frac{ED}{2}
Adım 5 — \triangle AED ve \triangle CED arasında ilişki kur
Ama daha önce doğru yerden başlayalım:
- E noktası AC üzerindedir.
- ED \perp AB olduğuna göre, ED kenar AB 'ye diktir.
- AD = 6 ve DB = 6 , toplam AB = 12 .
D aynı zamanda AB kenarının orta noktasıdır.
Adım 6 — \triangle ABD eşkenar/ikizkenar mı?
Henüz bu kesin değil, ama AD = DB olduğuna göre ABD ikizkenar üçgen ama açı bilgisi gerekli.
Adım 7 — \triangle ABD ve açıları
\angle BAD = 45^\circ (çünkü \angle BAC = 45^\circ ),
D orta nokta olduğunda AB = 12 .
Adım 8 — Yüksekliği kullan ve x bulun
Bu adımdan itibaren ayırıcı özellikleri kullanmak şart.
Bu sorunun ayrıntılı çözümü için:
- AB = 12
- \angle BAC = 45^\circ
- ED \perp AB , E \in AC
- EC = \frac{ED}{2}
Adımlar biraz karıştı, hemen netleştirelim:
Adım 1 — Verileri yazalım:
- AD = DB = 6 \Rightarrow AB=12
- \angle BAC = 45^\circ
- ED \perp AB , E \in AC
- EC = \frac{ED}{2}
Adım 2 — Koordinat sistemi veya üçgen özellikleriyle çözüm
Dik üçgenin A köşesinde 45° açı var, AB=12 , D AB kenarının ortası, yani D ve E 'nin koordinatlarını belirleyelim:
Öneri:
- A = (0,0)
- B = (12,0) (çünkü AB=12 altta yatay)
- C noktası yüksekte olacak (çünkü \angle BAC = 45^\circ )
Adım 3 — C noktasının koordinatları
\angle BAC = 45^\circ olduğuna göre; AC çizgisi A köşesinden 45° açı yapar.
Yani, AC doğrusu y = x doğrusudur (çünkü 45° eğimi = 1).
Adım 4 — D noktasının koordinatları
AB doğrusu x -ekseninde, A=(0,0) , B=(12,0) , D orta nokta (6,0)
Adım 5 — E \in AC yani E=(t,t) (çünkü y=x )
Adım 6 — ED \perp AB ve AB yatay olduğundan:
ED dikey olmalı, yani E ve D arasındaki doğru dikey.
D=(6,0) , E=(t,t) .
Dikey doğru için x 'ler aynı olmalı: t=6 , dolayısıyla E=(6,6) .
Adım 7 — ED uzunluğu
ED = |y_E - y_D| = |6 - 0| = 6
Adım 8 — EC = \frac{ED}{2} = \frac{6}{2} = 3
Ama E ve C AC doğrusu üzerinde.
E=(6,6) , C = (c_x, c_x) (çünkü y=x )
Adım 9 — EC = 3 farklı olarak hesaplayalım
EC = \sqrt{(c_x - 6)^2 + (c_x - 6)^2} = \sqrt{2(c_x - 6)^2} = \sqrt{2}|c_x - 6|
Bu EC = 3 ise:
Yani:
C noktası A köşesinden daha uzak olmalı, yani büyük olanı al:
Adım 10 — BC uzunluğu
- B = (12,0)
- C = \left(6 + \frac{3\sqrt{2}}{2},\ 6 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)
BC = \sqrt{(c_x - 12)^2 + (c_x - 0)^2}
Yerine koyalım:
Hadi hesaplayalım.
Adım 11 — Terimleri açalım
Adım 12 — Toplam
Adım 13 — Sonuç
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: BC = 9 birim
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: 10 numaralı şık: Yandaki CAB dik üçgeninde D ∈ [AC], |AD| = |DC| ve [DH] ⟂ [BC] dir. |AB| = 2\sqrt{10} birim ve |CH| = 3 birim olduğuna göre |DH| = x kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Pisagor Teoremi: BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}
- Vektör/projeksiyon formülü (CH için): CH=\dfrac{(D-C)\cdot(B-C)}{|B-C|}
- Noktanın doğruya uzaklığı: DH=\dfrac{|(B-C)\times(D-C)|}{|B-C|}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinatlandırma ve değişken tanımı
A noktasını (0,0), AB ekseni boyunca B’yi (2\sqrt{10},0) ve C’yi (0,c) alalım. Böylece AC=c ve D noktası AC nin orta noktasıdır, D=(0,\tfrac{c}{2}).
Adım 2 — Hipotenüs uzunluğu tanımı
BC=\sqrt{(2\sqrt{10})^{2}+c^{2}}=\sqrt{40+c^{2}}.
Adım 3 — CH uzunluğunu projeksiyon ile ifade etme
D-C=(0,-\tfrac{c}{2}) ve B-C=(2\sqrt{10},-c) olduğundan
CH=\dfrac{(D-C)\cdot(B-C)}{|B-C|}=\dfrac{\tfrac{c^{2}}{2}}{\sqrt{40+c^{2}}}.
Adım 4 — Veriyi kullanma ve denklem kurma
Verilen CH=3 olduğuna göre
\dfrac{c^{2}}{2\sqrt{40+c^{2}}}=3
\Rightarrow c^{2}=6\sqrt{40+c^{2}}.
Adım 5 — Denklemi kareleyip çözüme ulaşma
c^{4}=36(40+c^{2})
c^{4}-36c^{2}-1440=0 için y=c^{2} alırsak y^{2}-36y-1440=0 olur.
Diskriminant \Delta=36^{2}+4\cdot1440=7056, \sqrt{\Delta}=84 ise
y=\dfrac{36+84}{2}=60 (negatif kök geçersiz), dolayısıyla c^{2}=60 ve c=\sqrt{60}.
Adım 6 — DH uzaklığını hesaplama
Noktanın doğruya uzaklığı formülünden
DH=\dfrac{c\sqrt{10}}{\sqrt{40+c^{2}}}=\dfrac{\sqrt{60}\sqrt{10}}{\sqrt{100}}=\dfrac{10\sqrt{6}}{10}=\sqrt{6}.
TEMEL KAVRAMLAR:
- Projeksiyon
- Tanım: Bir vektörün başka bir vektör doğrultusundaki izdüşümü.
- Bu problemde: CH’yi D-C vektörünün B-C doğrultusuna projeksiyonu olarak kullandık.
- Nokta-doğru uzaklığı
- Tanım: İki boyutta çapraz çarpım büyüklüğünün doğru uzunluğuna bölümü.
- Bu problemde: DH’yi hesaplamak için kullandık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Projeksiyon karışması
- Yanlış: CH’yi doğrudan yatay veya düşey farkla almak.
- Doğru: Projeksiyon formülünü kullanmak gerekir çünkü BC eğik.
- Düzeltme: Dot product ile projeksiyon uzunluğunu bulun.
SORU: 11 numaralı şık: Yandaki ACB dik üçgeninde m(\angle ACB)=90^\circ; H,T\in[AB], |AT|=|TB| ve [CH]\perp[AB] dir. |CH|=24 cm ve |CT|=25 cm olduğuna göre |AC|=x kaç cm olduğunu bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Özellik: Dik üçgende medyanın hipotenüse olan uzunluğu hipotenüsün yarısıdır: CT=\dfrac{AB}{2}
- Yükseklik-kenar ilişkisi (hipotenüse indirilen yükseklik): CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}
- Pisagor Teoremi: AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Hipotenüsü bulma
CT=25 olduğundan AB=2\cdot CT=2\cdot25=50.
Adım 2 — Yükseklik ilişkisini kullanma
CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB} olduğundan 24=\dfrac{AC\cdot BC}{50} ⇒ AC\cdot BC=1200.
Adım 3 — Pisagor ile denklem kurma
AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}=50^{2}=2500.
Adım 4 — Toplam ve çarpım ile çözüm
(AC+BC)^{2}=AC^{2}+BC^{2}+2AC\cdot BC=2500+2400=4900 ⇒ AC+BC=70.
AC ve BC için t^{2}-70t+1200=0 denklemini elde ederiz; diskriminant 100 ⇒ kökler t=\dfrac{70\pm10}{2}=40 veya 30.
Adım 5 — Sonuç yorumu
AC, BC ikilisinden biri 30 cm, diğeri 40 cm olur. Hangisinin AC olduğu şekle bağlıdır; her iki değer de matematiksel olarak mümkündür.
TEMEL KAVRAMLAR:
- Medyanın hipotenüse eşitliği
- Tanım: Dik üçgende hipotenüsün orta noktasına çizilen doğru, hipotenüsün yarısı uzunluğundadır.
- Bu problemde: CT=\dfrac{AB}{2} doğrudan AB’yi verdi.
- Hipotenüse indirilen yükseklik formülü
- Tanım: h=\dfrac{ab}{c} formülü.
- Bu problemde: CH ile AC·BC ilişkisini kurduk.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hipotenüsü yanlış hesaplama
- Yanlış: CT’yi medyan yerine başka bir uzunluk zannetmek.
- Doğru: Dik üçgende medyan hipotenüsün yarısıdır.
SORU: 12 numaralı şık: Yandaki ABC üçgeninde m(\angle BAC)=45^\circ, [ED]\perp[AB], E\in[AC] ve |AD|=|DB|=6 birimdir. |EC|=\dfrac{|ED|}{2} olduğuna göre |BC|=x kaç birim olduğunu bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Koordinat yöntemi: A’yı orijine alıp AB eksenine göre konumlandırma
- Dik ve 45° açı özellikleri: AC doğrultu birimi (\cos45^\circ,\sin45^\circ)=(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2})
- Uzaklık formülü
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinatlandırma
A’yı (0,0), AB doğrultusunu x-ekseni, AB uzunluğunu AD+DB=6+6=12 olduğundan B=(12,0). AC doğrultusu açı 45^\circ olduğundan C noktası C=(t\frac{\sqrt{2}}{2},t\frac{\sqrt{2}}{2}) (burada t=|AC|).
Adım 2 — E ve D noktalarının koordinatları
D orta nokta olduğundan D=(6,0). ED ⟂ AB olduğundan ED dikey ve E ile D aynı x-koordinatına sahiptir: E=(6,y). Çünkü E\in AC, AC üzerindeki nokta parametreli olarak (s\frac{\sqrt{2}}{2},s\frac{\sqrt{2}}{2}) olacağından s\frac{\sqrt{2}}{2}=6 ⇒ s=6\sqrt{2} ve böylece E=(6,6).
Adım 3 — ED ve EC uzunlukları
ED=6 (yükseklik). Verilen EC=\dfrac{ED}{2}=\dfrac{6}{2}=3.
Adım 4 — C koordinatını EC uzaklığı ile belirleme
C=(t\frac{\sqrt{2}}{2},t\frac{\sqrt{2}}{2}) ve E=(6,6) olduğundan
EC^{2}=2\left(t\frac{\sqrt{2}}{2}-6\right)^{2}=3^{2}=9 ⇒ \left(t\frac{\sqrt{2}}{2}-6\right)^{2}=\dfrac{9}{2}
\Rightarrow t\frac{\sqrt{2}}{2}=6\pm\dfrac{3}{\sqrt{2}} ⇒ t=6\sqrt{2}\pm3.
Adım 5 — Doğru kök seçimi
E AC üzerinde ve s=6\sqrt{2} ile E, A’dan sonra geldiğinden C, E’nin ötesinde olmalıdır; bu yüzden t=6\sqrt{2}+3 alınır.
Adım 6 — BC uzunluğunu hesaplama
C koordinatı bu t için C=(6+ \tfrac{3\sqrt{2}}{2},\,6+ \tfrac{3\sqrt{2}}{2}) şeklinde yazılabilir. B=(12,0) olduğundan
BC^{2}=(-6+\tfrac{3\sqrt{2}}{2})^{2}+(6+\tfrac{3\sqrt{2}}{2})^{2}=72+2\left(\tfrac{9}{2}\right)=81
Dolayısıyla BC=9 birim.
TEMEL KAVRAMLAR:
- Koordinat yöntemi ile geometri
- Tanım: Noktaları koordinatlara yerleştirip cebirsel çözüm yapmak.
- Bu problemde: A’yı orijine koyup dik ve 45° bilgilerini kullandık.
- Dik senkronizasyon (ED ⟂ AB)
- Tanım: ED dik olduğundan x-koordinatları eşitlenir.
- Bu problemde: E noktasının x=6 olduğunu sağladı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış kök seçimi
- Yanlış: t=6\sqrt{2}-3 alınması (E ile C sıralaması bozulur).
- Doğru: C, E’nin ötesinde olduğundan t=6\sqrt{2}+3 alınmalıdır.
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
CEVAP:
-
- sorunun sonucu: x=\sqrt{6} birim.
-
- sorunun sonucu: |AC|=30\ \text{cm} veya 40\ \text{cm} (şekle göre AC kısa veya uzun kenar olabilir).
-
- sorunun sonucu: x=|BC|=9 birim.