SORU: 13. |AD| uzunluğunu bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- \triangle ABC bir eşkenar üçgendir, her kenar eşit uzunluktadır.
- Verilen: |CE| = |EB| = |ED| , CE \perp AC , EF \perp AB , |EF| = \frac{6}{3} = 2 birim.
- Dik üçgenlerde dik kenar ve hipotenüs ilişkileri
- Pisagor Teoremi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üçgen hakkında bilgiler ve kenar uzunlukları
- \triangle ABC eşkenar üçgen olduğuna göre, |AB| = |BC| = |CA| .
- CE = EB = ED verilmiş; bu, bir eşitlik bölgesi sağlar.
- EF \perp AB ve CE \perp AC , E noktasında bazı diklikler var.
Adım 2 — Verilen bilgileri kullanarak uzunlukları belirleyelim
- |EF| = 2 birim verilmiş.
- E noktası ile ilgili dikliklerden dik üçgenler oluşturulur.
- CE = EB = ED olduğuna göre, E noktası BC kenarını ortadan ikiye böler ve üç eşit parçaya bölünür. Çünkü CE = EB .
Adım 3 — Uzunluk ilişkilerini çözelim
-
EF yüksekliği AB kenarına indirilen dikliktir.
-
F noktası üzerine indirilen diklik AB kenarını böler.
-
|EF| = 2 ve üç eşit parçaya bölünmüş BC uzunluğunu biliyorsak, |AB| kenar uzunluğunu bulabiliriz.
-
Eşkenar üçgenin yüksekliği h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a , burada a = |AB| .
-
E noktası BC kenarını üç eşit parçaya bölüyor, yani BE = EC = \frac{a}{3} .
-
CE \perp AC ve EF \perp AB .
Adım 4 — Yüksekliği ve AD uzunluğunu hesaplayalım
-
D noktası AC kenarındaki diklik noktasına karşılık geliyor.
-
AD uzunluğu, eşkenar üçgenin yüksekliği ile ilişkili.
-
AD , eşkenar üçgende A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik olduğundan,
- a uzunluğunu bulmak için EF = 2 birimi ve diğer verileri kullanabiliriz.
Adım 5 — EF uzunluğu ve a ilişkisi
-
EF yüksekliklerden biri olduğundan ve EF = 2 , EF uzunluğunu, a cinsinden ifade ederiz.
-
EF kenara dik, kenarın \frac{1}{3} noktasıdır, kullanılarak uzunluklar hesaplanabilir.
-
Detaylı hesaplama için alan veya benzerlik kullanılabilir.
Bu tür probleme özel tüm uzunlukları hesaplamak için genellikle üçgenin kenar uzunluğunu bilmek gerekir. Görselde mevcut birkaç diklik ve eşitlik mevcut.
Eğer |EF| = 2 ise ve EF \perp AB , E noktasından F noktasına diklik indirildiğine göre kenar AB uzunluğu 4 olabilir (çünkü diklik kenarın ortasında olabilir).
Bu durumda:
CEVAP: |AD| = 2\sqrt{3} birim (yaklaşık 3.464 birim)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Yandaki ABC eşkenar üçgeninde |CE| = |EB|, |ED| ⟂ |AC|, |EF| ⟂ |AB| ve |EF| = 6\sqrt{3} birimdir. 13) |AD| kaç birimdir? 14) Eşkenar üçgenin yüksekliği kaç birimdir? 15) ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir? 16) ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Eşkenar üçgen yüksekliği: h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} (burada a kenar uzunluğu)
- Noktanın doğruya uzaklığı (uzunluk formülü): mesafe =\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
- Çevre: P=3a
- Alan: A=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a\cdot h}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — E’nin konumu ve EF ile yüksekliğin ilişkisi
E noktasının BC üzerinde ve CE = EB olduğundan E, BC kenarının orta noktasıdır. E orta nokta olduğundan koordinat sisteminde kolaylıkla E’yi taban üzerinde (0,0) kabul edersek, A noktası (0,h) olur. AB doğrusu denklemi üzerinden E ile AB arasındaki dik uzaklık (yani EF) hesaplanır:
AB için y=\sqrt{3}x+h ⇒ doğrunun genel formu \sqrt{3}x-y+h=0.
EF uzaklığı: \displaystyle EF=\frac{| \sqrt{3}\cdot 0 - 0 + h|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}}=\frac{h}{2}.
Adım 2 — Yüksekliğin bulunması
\displaystyle EF=\frac{h}{2} olduğuna göre \displaystyle h=2\cdot EF.
Verilen EF=6\sqrt{3} olduğundan \displaystyle h=2\cdot 6\sqrt{3}=12\sqrt{3} birim.
Adım 3 — Kenar uzunluğunun bulunması
Eşkenar üçgen yüksekliği formülünden \displaystyle h=\frac{a\sqrt{3}}{2} ⇒ \displaystyle a=\frac{2h}{\sqrt{3}}.
\displaystyle a=\frac{2\cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=24 birim.
Adım 4 — |AD| uzunluğunun hesaplanması
D noktası, E’den AC’ye çekilen dikmenin ayağıdır. Önceden cebirsel hesaplarla veya koordinat yöntemiyle bulunur ki
\displaystyle AD=\frac{3a}{4}. (Ayrıntı: koordinatlarla D noktası \left(\frac{h\sqrt{3}}{4},\frac{h}{4}\right) bulunur ve AD=\sqrt{\left(\frac{h\sqrt{3}}{4}\right)^2+\left(\frac{h}{4}-h\right)^2}= \frac{h\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}.)
\displaystyle a=24 olduğuna göre \displaystyle AD=\frac{3\cdot 24}{4}=18 birim.
Adım 5 — Çevre hesaplaması
\displaystyle P=3a=3\cdot 24=72 birim.
Adım 6 — Alan hesaplaması
\displaystyle A=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{24^2\sqrt{3}}{4}=\frac{576\sqrt{3}}{4}=144\sqrt{3} birim^2. (Alternatif: A=\dfrac{a\cdot h}{2}=\dfrac{24\cdot 12\sqrt{3}}{2}=144\sqrt{3}.)
TEMEL KAVRAMLAR:
- Eşkenar üçgen yüksekliği
- Tanım: Kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgende yükseklik h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.
- Bu problemde: EF, yüksekliğin yarısı olduğundan h=2\cdot EF.
- Alan formülü
- Tanım: Eşkenar üçgen alanı A=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.
- Bu problemde: Kenar a bulunduktan sonra doğrudan uygulandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
EF’i kenar uzunluğu zannetme
- Yanlış: EF = a veya EF = h olarak almak.
- Doğru: EF, E noktasının AB doğrusu üzerindeki dik uzaklığıdır; orta noktadan dolayı EF=\dfrac{h}{2}.
- Neden yanlış: E, BC orta noktasıdır; AB’ye uzaklığı yükseklikle aynı değil yarısıdır.
- Düzeltme: Önce h ile ilişki kurulmalı: h=2\cdot EF.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
13) |AD| = 18 birim.
14) Eşkenar üçgenin yüksekliği h = 12\sqrt{3} birim.
15) ABC üçgeninin çevresi P = 72 birim.
16) ABC üçgeninin alanı A = 144\sqrt{3} birim^2.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!