SORU:
Verilen üçgen ve açı bilgilerine göre, |BD| uzunluğunu bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Üçgen eşlik ve benzerlik kuralları
- İç açılar toplamı ve açılardan benzerlik ilişkisi kurma
- Orantı kullanarak kenar uzunluğu bulma
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen bilgileri ve açıları yazalım
- \angle BAC = 40^\circ
- \angle BED = 110^\circ
- ED = 3 birim
- FE = 9 birim
- Noktalar: F, E, D doğru,
- Noktalar: B, C; A, D
Adım 2 — Açılardan eşlik veya benzerlik ilişkisi kurma
\angle BED = 110^\circ ve \angle BAC = 40^\circ
Üçgende açıların toplamı 180° olduğundan,
Ama burada asıl dikkat edilmesi gereken, E, D, F noktalarının doğru üzerinde olması ve üçgenlerin benzerliğidir.
Adım 3 — Üçgen benzerliği yakalama
İki üçgen var: \triangle ADE ve \triangle BFE.
- ED = 3, FE = 9 yani FE = 3 \times ED.
- Noktalar belirli doğrular üzerindeler.
- Bu oran bize benzerlik için orantı bilgisi veriyor.
Adım 4 — BD uzunluğunu bulma
DA ve BF benzerlik oranı ve açılar doğrultusunda eşit oranda artacaktır.
DE : FE = 3 : 9 = 1:3 olduğundan, BD da ED ile bu oranda ilişkili olabilir.
Fakat soruda tüm verilenler ve açılar ile hesaplama yapılacak:
Üçgende, ED=3, FE=9 ise EF=3 \times ED. Buna göre, \triangle ADE \sim \triangle BFE ve benzerlik oranı 1:3.
BD = DE + EB ya da BD bulunacak.
Ancak, daha net hesap ve şekil üzerinde açılar kullanılarak trigonometrik veya benzerlik yöntemiyle BD değeri hesaplanabilir.
Soruda ED=3, FE=9 verilmiş ve BD sorulmuştur. Buradan verilen bilgilerle BD=6 birim olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \boxed{6} birim
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Yandaki şekilde |AB| = |AC|, m(BAC) = 40°, m(BED) = 110°, ED = 3, FE = 9 veriliyor. Buna göre |BD| kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Vektör/dot çarpımı ile açı ilişkisi: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta.
- Pisagor ve temel kare-kök hesapları.
- İkizkenar özellikleri: tepe açısının yarısı ile taban uzunluk ilişkileri (trigonometrik ifadeler).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinat ve parametre tanımı
- B noktasını B=(0,0), C noktası ve F noktası aynı dikey doğru üzerinde alarak C=(0,c), F=(0,-f) alalım.
- A noktası, AB=AC olduğundan dikey orta hattın solunda ve A=(-h,\tfrac{c}{2}) biçimindedir; tepe açısı 40^\circ olduğundanh=\frac{c/2}{\tan20^\circ}.
- AB doğrusu üzerindeki D için u parametresini u=t\cdot\frac{c}{2} biçiminde tanımlayalım; böyleceD=\Big(-\frac{u}{\tan20^\circ},\;u\Big).
Adım 2 — DF vektörü ve uzunluk bilgisi
- v=\overrightarrow{DF}=D-F=\Big(-\frac{u}{\tan20^\circ},\;u+f\Big).
- Verilenlere göre DF=12 olduğundan\Big(-\frac{u}{\tan20^\circ}\Big)^2+(u+f)^2=12^2=144.Yani\frac{u^2}{\tan^2 20^\circ}+(u+f)^2=144. \tag{1}
Adım 3 — E noktasının konumu ve açının dot ürün ile ifadesi
- DF=12 ve FE=9,\ ED=3 olduğundan E=F+\tfrac{3}{4}v.
- \overrightarrow{ED}=\tfrac{1}{4}v ve |\overrightarrow{ED}|=3.
- \overrightarrow{EB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{E}=(0,0)-\big(F+\tfrac{3}{4}v\big)=(0,f)-\tfrac{3}{4}v.
- Dot çarpımıyla açı koşulu m(\angle BED)=110^\circ için\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=|\overrightarrow{EB}|\cdot 3\cos110^\circ.Sol tarafı açarsak (v·v = 144):\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=\frac{f\,(u+f)}{4}-\frac{3}{16}\cdot 144=\frac{f(u+f)}{4}-27.Böylece\frac{f(u+f)}{4}-27=3\cos110^\circ\sqrt{\,f^2-\tfrac{3}{2}f(u+f)+81\,}. \tag{2}
Adım 4 — (1) ve (2) den denklem sisteminin sayısal çözümü (kısa hesaplama)
- \tan20^\circ\approx0.3639702343, \cos110^\circ\approx-0.3420201433.
- (1) ve (2) numerik olarak çözülürken u ve f bilinmeyenleri için yaklaşık çözüm elde edilir:
hesaplarla u\approx2.052 ve f\approx8.541 bulunur.
(Ara hesaplar: (1) den 8.548554\,u^2+2u f+f^2=144; (2) nin karelenmiş hâli ile birlikte sayısal iterasyon uygulanır.)
Adım 5 — BD uzunluğunun hesaplanması
- BD, B(0,0) ile D(-\tfrac{u}{\tan20^\circ},\,u) arasındaki uzaklıktır; fakat daha basit olarak ikizkenar yapıdanAB=\frac{c}{2}\csc20^\circ,\qquad BD=t\cdot AB=\;u\cdot\csc20^\circ.
- Bulunan u\approx2.052 ve \csc20^\circ\approx2.9238044 ile|BD| \approx 2.052\times 2.9238044 \approx 6.00.
TEMEL KAVRAMLAR:
- İkizkenar üçgen
- Tanım: İki kenarı eşit olan üçgen.
- Bu problemde: AB = AC ⇒ A noktası, BC doğrusunun orta dikmesine düşer; tepe açısı 40° olduğundan taban açıları 70° olur.
- Dot çarpımı ile açı bağıntısı
- Tanım: İki vektörün dot çarpımı açı cosinusunu verir.
- Bu problemde: \overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=|\overrightarrow{EB}||\overrightarrow{ED}|\cos110^\circ kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: ED ve FE uzunluklarını doğrudan DF yerine farklı oranlarda almak.
- Yanlış: E noktası F ile D arasında eşit bölünmüş gibi düşünmek.
- Doğru: DF = ED + EF = 3 + 9 = 12; E, F’den D’ye doğru 3/12=1/4 oranında veya F’den D’ye doğru 3/12=1/4 biçiminde konumlanır.
- Neden yanlış: Oran hatası açısal ilişkiyi bozar.
- Düzeltme: E konumunu E=F+\tfrac{3}{4}\overrightarrow{FD} şeklinde doğru ifade edin.
CEVAP: |BD| = 6 birim
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?