SORU: [Verilen dik üçgende bazı eşitliklerin doğruluğunu kontrol ediniz]
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
-
Dik üçgen ve yükseklikler ilgili temel benzerlik ve Pisagor teoremi.
-
Üçgenlerde yükseklik ile ilgili şu bağıntılar:
h^2 = p \cdot k -
Dik üçgen kenar uzunlukları için Pisagor teoremi:
a^2 = b^2 + c^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üçgen ve yükseklik ilişkileri
-
Üçgende AH yüksekliği ve parçalar BH = p , HC = k .
-
Dik üçgende, yükseklik karesi karenin alan formülleriyle ilişkilidir:
h^2 = p \times k
Adım 2 — Pisagor teoremi
-
ABC dik üçgeninde:
a^2 = b^2 + c^2
Adım 3 — Diğer eşitliklere bakalım
- c^2 = p \times k ifadesi h^2 = p \times k ile karışmış olabilir.
- h^2 = p^2 + k^2 ifadesi yanlıştır çünkü h yüksekliğidir, hipotenüs değil.
Adım 4 — Seçenekleri değerlendirelim
a) a^2 = b^2 + c^2 → DOĞRU (Pisagor teoremi)
b) h^2 = p \cdot k → DOĞRU (Yükseklik formülü)
c) c^2 = p \cdot k → YANLIŞ (Yükseklik h ile ilgilidir)
d) \frac{k^2}{p} = b → YANLIŞ (Böyle bir bağıntı yok)
e) a \cdot h = p \cdot k → YANLIŞ (Üçgen alanlarından veya benzerliklerden böyle bir doğrudan eşitlik yok)
f) h^2 = p^2 + k^2 → YANLIŞ (Pisagor teoreminde bu ifade doğru değil)
g) c^2 = h^2 + p^2 → YANLIŞ (Genelde hipotenüs a , yükseklik h değil)
h) b^2 = k \cdot a → DOĞRU olabilir (benzerlik nedeniyle b^2 = a \cdot k ifadesi doğrudur)
Adım 5 — Doğru seçenekler: a, b, h
Adım 6 — Yanlış seçenekler: c, d, e, f, g
CEVAP: a, b, h doğru; c, d, e, f, g yanlış.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Sağ kenarı BC = a, AB = c, AC = b olan dik ABC üçgeninde AH yüksekliği, BH = p, HC = k, AH = h veriliyor. Aşağıdaki eşitliklerin doğru (D) veya yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Pisagor: a^{2}=b^{2}+c^{2}
- Yükseklik ve projeksiyon ilişkileri: c^{2}=a\cdot p,\quad b^{2}=a\cdot k,\quad h^{2}=p\cdot k
- Toplam projeksiyon: p+k=a
- Yükseklik uzunluğu: h=\dfrac{b\cdot c}{a}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a)
- Uygula Pisagor: dik açıda hipotenüsün karesi karşıt kenarların kareleri toplamına eşittir.
- a^{2}=b^{2}+c^{2} doğrudur.
Adım 2 — b)
- Yükseklik-alt parça ilişkisi bilinir: h^{2}=p\cdot k.
- h^{2}=p\cdot k doğrudur.
Adım 3 — c)
- Kullan: p=\dfrac{c^{2}}{a},\; k=\dfrac{b^{2}}{a}.
- Sol taraf: c\cdot p = c\cdot \dfrac{c^{2}}{a}=\dfrac{c^{3}}{a}.
- Sağ taraf: b\cdot k = b\cdot \dfrac{b^{2}}{a}=\dfrac{b^{3}}{a}.
- \dfrac{c^{3}}{a}=\dfrac{b^{3}}{a} ancak genel durumda b\neq c olduğundan eşitlik sağlanmaz; yanlış.
Adım 4 — d)
- k^{2} ile b^{2}-p^{2} karşılaştır: k=\dfrac{b^{2}}{a} olduğundan k^{2}=\dfrac{b^{4}}{a^{2}}.
- b^{2}-p^{2}=b^{2}-\left(\dfrac{c^{2}}{a}\right)^{2} ve bu genel olarak \dfrac{b^{4}}{a^{2}} ile aynı değildir; yanlış.
Adım 5 — e)
- a\cdot h = a\cdot \dfrac{b\cdot c}{a}=b\cdot c.
- p\cdot k=\dfrac{c^{2}}{a}\cdot \dfrac{b^{2}}{a}=\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}.
- b\cdot c\neq \dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{2}} genel durumda; yanlış.
Adım 6 — f)
- Bilinen: h^{2}=p\cdot k.
- p^{2}+k^{2} ile karşılaştırıldığında genellikle p^{2}+k^{2}\neq p\cdot k; yanlış.
Adım 7 — g)
- Hesap: h^{2}+p^{2}=p\cdot k + p^{2}=p(k+p)=p\cdot a.
- Ama p\cdot a=c^{2} olduğundan h^{2}+p^{2}=c^{2}.
- Dolayısıyla c^{2}=h^{2}+p^{2} doğrudur.
Adım 8 — h)
- Yukarıdaki ilişki: b^{2}=a\cdot k.
- Dolayısıyla b^{2}=k\cdot a doğrudur.
TEMEL KAVRAMLAR:
- Pisagor Teoremi
- Tanım: Dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir.
- Bu problemde: a^{2}=b^{2}+c^{2}.
- Yükseklik-Projeksiyon İlişkileri
- Tanım: Dik üçgende sağlanan yükseklik ile hipotenüsün bölümleri arasında özel çarpım ilişkileri vardır.
- Bu problemde: c^{2}=a\cdot p,\; b^{2}=a\cdot k,\; h^{2}=p\cdot k.
SIK YAPILAN HATALAR:
Projeksiyonlarla doğrudan çarpma karışımı
- Yanlış: a\cdot h = p\cdot k varsaymak.
- Doğru: a\cdot h = b\cdot c.
- Neden yanlış: p\cdot k oturmuş bir kare değil, h^{2} ile ilgilidir; birimlerin ve oranların karıştırılması hataya yol açar.
- Düzeltme: İlgili formülleri (h=\dfrac{bc}{a},\; h^{2}=pk) kullanın.
CEVAP:
a) D
b) D
c) Y
d) Y
e) Y
f) Y
g) D
h) D
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?