Resimli Soru 22-03-2026 21:49:17

YKS TYT
1

17742053716844356777269323587570
17742053716844356777269323587570720×960 41.1 KB

2

:pushpin: SORU:
Verilen dik üçgen şeklide, kenar uzunlukları 15 birim ve 20 birim olan |LN| doğrusu, şekil 1’de dik kenarları keserek şekil 2’de KLM ve KLN üçgenlerine ayırıyor.

  • Oluşan üçgenlerin çevre uzunlukları farkı kaç birimdir?
  • |LN| uzunluğu kaç birimdir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Dik üçgende Pisagor bağıntısı: \text{Hipotenüs}^2 = \text{Dik kenar}^2 + \text{Dik kenar}^2
  • Benzer üçgenlerde kenar oranları eşittir.
  • Üçgen çevresi: Kenarların toplamıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Hipotenüsü bul
Verilen dik üçgende dik kenarlar 15 ve 20 birimdir. Hipotenüs KM uzunluğunu bulalım:

KM = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25

Adım 2 — Benzer üçgenlerin oranını kur
LN doğru parçası KM doğrusu üzerinde ve üçgeni iki benzer üçgene ayırıyor:
Buna göre, benzerlik oranı:

\frac{LN}{KM} = \frac{LN}{25} = k

Adım 3 — Benzer üçgen kenar uzunluklarını ifade et
İki benzer üçgen KLM ve KLN arasındaki oran:

  • KLM’nin çevresi: 15 + 20 + 25 = 60 birim
  • KLN’nin kenar uzunlukları 15k, 20k, 25k olur.

Adım 4 — Çevre farkını yaz

\text{Çevre farkı} = \text{Büyük üçgenin çevresi} - \text{Küçük üçgenin çevresi} = 60 - (15k + 20k + 25k) = 60 - 60k = 60(1-k)

Adım 5 — Üçgenlerin ortak kenarı ve benzerlik oranını kullanarak |LN| uzunluğunu bul
LN, küçük üçgenin hipotenüsü olup, LN = 25k.
Yani, sorun k değerini ve çevre farkını bulmakta.

Adım 6 — LN’nin dik kenarlara dik olduğunu ve üçgenlerin doğru kesiştiğini değerlendirme

LN \perp KM

Ancak elimizde fazla bilgi yok, soru doğruyu veya işaretlenen uzunluğu sormaktadır.

İpucu:
Bu problemde LN, dik kenarlar boyunca kesildiği için;
Benzer oranlardan:

\frac{LN}{KM} = \frac{NK}{MK} = \frac{LN}{25} = k

Ama LN uzunluğu sorulmuş. Elimizde değişkenlik var; daha fazla bilgi/veri gerekli.

Yardımcı çözüm yolu:
Verilen kenarlar 15 ve 20, hipotenüs 25.

Az daha ayrıntılı yapı için:

  • LN doğru parçası hipotenüse dik olarak iniyor (şekilden anlaşılıyor)
  • LN hipotenüs üzerinde K ve M arasında bir noktadır (bu durumda LN dik açı üzerindedir)
  • Soruda LN doğru parçası uzunluğu sorulmuş, üçgenler benzer.

Hesaplama için:
Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik formülü:

h = \frac{a \times b}{c}

Burada a=15, b=20, c=25:

LN = h = \frac{15 \times 20}{25} = \frac{300}{25} = 12

Adım 7 — Çevre farkını hesapla
İki üçgenin çevresi farkı hipotenüs uzunluğunun farkıyla bağlantılıdır. Burada benzer üçgenlerin çevreleri oranı:

  • KLM çevresi: 15 + 20 + 25 = 60
  • KLN çevresi, kenarlar oranı ile: k = \frac{LN}{25} = \frac{12}{25} = 0.48
\text{KLN çevresi} = 60 \times 0.48 = 28.8
\text{Çevre farkı} = 60 - 28.8 = 31.2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • |LN| = 12 birim
  • Oluşan üçgenlerin çevre uzunlukları farkı 31.2 birimdir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Şekil 1’de dik üçgen KLM’de KL = 15 birim, LM = 20 birim. L noktasından hipotenüse indirilen LN yüksekliği üçgeni iki benzer üçgene ayırıyor. Oluşan iki üçgenin çevre uzunlukları farkı kaç birimdir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Pisagor Teoremi: c=\sqrt{a^2+b^2}
  • Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik: h=\dfrac{a\cdot b}{c}
  • Hipotenüsün parçaları (projeksiyon): p=\dfrac{a^2}{c},\; q=\dfrac{b^2}{c} ve p+q=c

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Hipotenüsü bulma
Hipotenüs KM=c=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25.

Adım 2 — Yüksekliği (LN) bulma
LN=h=\dfrac{15\cdot 20}{25}=\dfrac{300}{25}=12.

Adım 3 — Hipotenüsün parçalarını bulma (KN ve MN)
KN=\dfrac{15^2}{25}=\dfrac{225}{25}=9
MN=\dfrac{20^2}{25}=\dfrac{400}{25}=16

Adım 4 — Her küçük üçgenin çevresini hesaplama
Üçgen KLN çevresi: 15+12+9=36
Üçgen LMN çevresi: 20+12+16=48

Adım 5 — Çevre uzunlukları farkı
48-36=12

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Pisagor Teoremi
  • Tanım: Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
  • Bu problemde: Hipotenüs 25 olarak bulundu.
  1. Hipotenüse indirilen yükseklik ve benzerlik
  • Tanım: Sağ açıdan hipotenüse indirilen yükseklik, oluşan küçük üçgenlerin her birinin orijinal üçgene benzemesini sağlar.
  • Bu problemde: Yükseklik 12 bulundu; hipotenüs parçaları 9 ve 16 çıktı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hipotenüsü yanlış hesaplama

  • Yanlış: c=\sqrt{15^2+20} gibi hatalı işlem.
  • Doğru: c=\sqrt{15^2+20^2}.
  • Neden yanlış: Bir dik kenarın karesi unutuluyor.
  • Düzeltme: Her iki dik kenarın da karesini topla ve karekök al.

:cross_mark: Yüksekliği doğrudan hipotenüsün yarısı kabul etme

  • Yanlış: LN=\dfrac{c}{2}.
  • Doğru: LN=\dfrac{a\cdot b}{c}.
  • Neden yanlış: Yükseklik hipotenüsün sabit bir oranı değildir; kenarlara bağlıdır.
  • Düzeltme: h=\dfrac{a\cdot b}{c} formülünü kullan.

:white_check_mark: CEVAP: 12 birim

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: