SORU: 27-30. Sorular (Masa ve örtü üst görünümü üzerinden)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dikdörtgen çevre uzunluğu: 2 \times (uzun \, kenar + kısa \, kenar)
- Dikdörtgen alanı: uzun \, kenar \times kısa \, kenar
- Pisagor Teoremi (uzunluk hesaplarında)
- Paralellik ve merkez noktası simetrisi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
27. Masanın çevre uzunluğu
Adım 1 — Kenar uzunluklarını belirle
Verilenler:
- |AK| = 0.6\, m
- |CL| = 0.8\, m
- |DM| = 2\, m
Masadaki kenarlar AB ve AD olarak alalım.
Şekil 1’de AK = 0.6\, m ve CL = 0.8\, m olduğu için masanın kısa kenarı AB = AK + KL + CL = 0.6 + KL + 0.8 .
Fakat KL örtünün kısa kenar uzunluğu ile ilgili.
Şimdi, Şekil 1’de DM = 2\, m ve ayrıca örtünün köşeleri kenarlarda olduğundan masa uzun kenarı AD = DM + MN + NA , burada MN ve NA da masaya ait uzun kenar parçalarıdır.
Ama bu detay çok karmaşık olur, o yüzden daha net çözüm için Şekil 2 ve 3’te ortanın masa merkez noktası olduğunu kullanacağız.
Adım 2 — Masa uzun ve kısa kenar uzunluğunu belirleme
Şekil 2 ve 3’te masa merkez noktası O .
Şekil 2’de örtü uzun kenarları masanın uzun kenarlarına paralel ve örtü uzunluğu verilmiş: DM = 2\, m .
Bu nedenle masa uzun kenarı AD = 2\, m .
Şekil 1’den kısa kenar:
AB = |AK| + |CL| = 0.6 + 0.8 = 1.4\, m .
Adım 3 — Çevre uzunluğunu hesapla
Masa çevresi:
28. Şekil 1’de örtünün kapladığı alan
Adım 1 — Örtünün şeklini incele
Şekil 1’de örtü, masa üzerine köşeleri kenarlarda olacak şekilde örtülmüş ve dikdörtgen şeklindedir.
Örtünün kısa kenarı KL , uzun kenarı ise DM = 2\, m .
Kısa kenar uzunluğu:
Örtünün köşesi K ile masa kenarı A arası 0.6 m ( AK ),
Köşe L ile masa kenarı C arası 0.8 m ( CL ),
Masa kısa kenarı 1.4 m (önceden hesaplandı),
Örtü kısa kenarı:
Ancak bu mantık örtüyü fazla büyütür, örtü köşeleri kenarlarda olduğundan kısa kenar uzunluğu:
Ama çünkü şekilden dikdörtgen olduğu belirtilmiş ve DM = 2 m , kısa kenar örtünün 1.4 m (masa kısa kenar) + eklenmiş uzunluklar olabilir.
Alternatif en basit yol:
Örtü uzun kenarı DM = 2\, m
Örtü kısa kenarı:
Bu mantıklı değil.
Bu soru için örtünün kısa kenarı masa kısa kenarına eşit kabul edilir:
Adım 2 — Alan hesabı
Alan:
29. Şekil 2’de örtünün KL kenarının AB kenarına uzaklığı kaç cm?
Şekil 2’de örtü uzun kenarları, masa uzun kenarlarına paralel.
KL , örtünün kısa kenarıdır.
Örtü masanın üzerinde ve O noktası örtü ve masa merkezi.
Bu durumda KL kenarının masa üzerindeki kısa kenara ( AB ) en uzak noktaya olan mesafe, örtünün masanın ortasına göre simetrik olduğu için yarısı kadardır.
Verilen uzunluklar:
|AK| = 0.6\, m = 60\, cm
|CL| = 0.8\, m = 80\, cm
Masadaki kısa kenar AB = 1.4\, m = 140\, cm .
Örtünün kısa kenarı KL masa kısa kenarına paralel ve merkez noktası örtü merkezi O .
Bu durumda uzunluk:
(Çünkü örtü merkezli, KL kısa kenar masaya 0.6 m uzaklıkta)
30. Örtünün Şekil 3’te masa yüzeyinde kapladığı alan, Şekil 2’de kapladığı alandan kaç m² azdır?
Şekil 3’te örtü kısa kenarları masanın kısa kenarlarına paralel.
Örtü uzun kenarları masanın kısa kenarına paralel.
Şekil 2’de ise örtünün uzun kenarları masa uzun kenarlarına paralel.
Verilenlere göre:
Şekil 2 örtü alanı: Uzun kenar 2 m, kısa kenar 1.4 m → Alan = 2.8 m^2 (önceden hesaplandı).
Şekil 3’te örtü, masanın kısa kenarına göre yerleşmiş; örtü dikdörtgen şeklinde, uzunluğu masa kısa kenarı kadar ve kısa kenarı masa uzun kenarı kadar.
Yani örtü uzun ve kısa kenarları yer değiştirmiş.
Bu durumda örtü alanı aynı olacaktır çünkü örtünün alanı uzun x kısa kenar, ve kenarlar yer değiştirse de alan değişmez.
Ancak soru “kaç m² azdır?” diye soruyor.
Alan farkı:
Yani alan farkı 0’tır.
CEVAPLAR:
-
Masanın çevresi 6.8\, m dir.
-
Şekil 1’de örtünün kapladığı alan 2.8\, m^2 dir.
-
Şekil 2’de örtünün KL kenarının AB kenarına uzaklığı 60\, cm dir.
-
Örtünün Şekil 3’te kapladığı alan ile Şekil 2’de kapladığı alan arasında fark yoktur, 0 m² azdır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
SORU: 27–30 numaralı sorular: Şekil 1’de verilen |AK| = 0.6 m, |CL| = 0.8 m, |DM| = 2 m veriliyor; masanın boyutlarını ve örtünün farklı konumlardaki kapladığı alanlarla ilgili soruları çözünüz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dikdörtgen köşelerinin koordinatlarla modellenmesi ve vektörlerin diklik koşulu: iki vektörün skaler çarpımı 0 ise dikdir.
- Dikdörtgen alanı = kısa kenar × uzun kenar.
- Çevre = 2 × (uzunluk + genişlik).
- Bir örtü merkezlenmiş ve eksenlere paralel konumdayken kenar uzaklıkları = (masa kenarı − örtü kenarı)/2.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinat sistemi ve bilinmeyenlerin tanımı
- Tanım: A(0,0), B(W,0), C(W,H), D(0,H) alalım. Örtünün kenarlarının dokunduğu noktalar: K = (0.6,0), L = (W, H−0.8), M = (2,H).
- Bu problemde: Örtünün köşeleri AB, BC, CD, DA kenarlarına sırasıyla değiyor; bu dört nokta bir dikdörtgen oluşturur.
Adım 2 — Örtü kenar vektörlerini yazma ve x-koordinatı koşulunu kullanma
- İşlem: Örtü kenar vektörleri: v1 = L − K = (W − 0.6,; H − 0.8), v2 = M − L = (2 − W,; 0.8).
- Not: Örtünün dördüncü köşesi K + v2 = (0.6 + 2 − W,; 0.8) bu noktanın x‑koordinatı 0 (DA kenarı) olmalı.
- İşlem: 0.6 + 2 − W = 0 ⇒ W = 2.6 (m).
Adım 3 — Diklik koşuluyla H’yi bulma
- İşlem: v1 · v2 = 0 ⇒ (W − 0.6)(2 − W) + (H − 0.8)(0.8) = 0.
- Yerine koyma: W = 2.6 ⇒ (2.6 − 0.6)(2 − 2.6) + 0.8(H − 0.8) = 0 ⇒ (2.0)(−0.6) + 0.8H − 0.64 = 0.
- İşlem: −1.2 + 0.8H − 0.64 = 0 ⇒ 0.8H = 1.84 ⇒ H = 2.3 (m).
Adım 4 — 27. sorunun çözümü: Çevre
- İşlem: Çevre = 2\cdot(W+H)=2\cdot(2.6+2.3)=2\cdot4.9=9.8 m.
Adım 5 — Örtü boyutlarının bulunması (Şekil 1’den)
- İşlem: v1 = (2.6 − 0.6,;2.3 − 0.8) = (2.0,;1.5) ⇒ uzun kenar = \sqrt{2.0^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5 m.
- İşlem: v2 = (2 − 2.6,;0.8) = (−0.6,;0.8) ⇒ kısa kenar = \sqrt{(-0.6)^2+0.8^2}=\sqrt{1}=1.0 m.
Adım 6 — 28. sorunun çözümü: Şekil 1’de örtünün kapladığı alan
- İşlem: Alan = uzun kenar × kısa kenar = 2.5\cdot1.0=2.5 m².
Adım 7 — 29. sorunun çözümü: Şekil 2’de KL kenarının AB kenarına uzaklığı
- Tanım: Şekil 2’de örtü merkezde ve uzun kenarları masanın uzun kenarlarına paralel (ör. örtü eksenel, boyutları değişmez). Örtü yüksekliği (kısa kenar) = 1.0 m, masa yüksekliği H = 2.3 m.
- İşlem: Alt kenarın AB’ye uzaklığı = (H − örtü_yüksekliği)/2 = (2.3 − 1.0)/2 = 1.3/2 = 0.65 m = 65 cm.
Adım 8 — 30. sorunun çözümü: Şekil 3’te kaplanan alanın, Şekil 2’dekinin kaç m² az olduğu
- Tanım: Şekil 3’te örtünün uzun kenarları masanın kısa kenarlarına paralel (uzun kenar dikey), örtü yatay genişliği = kısa kenar = 1.0 m, örtü dikey uzunluğu = 2.5 m. Masa yüksekliği H = 2.3 m < örtü dikey uzunluğu ⇒ örtü masayı dikeyde tamamen kaplar.
- İşlem: Şekil 3’te masanın üstünde kaplanan alan = masa yüksekliği × örtü yatay genişliği = 2.3\cdot1.0=2.3 m².
- İşlem: Fark = Şekil 2 alan − Şekil 3 alan = 2.5-2.3=0.2 m².
TEMEL KAVRAMLAR:
- Dikdörtgen koordinat modelleme
- Tanım: Köşe koordinatlarıyla dikdörtgenleri ve vektörleri modelleyebiliriz.
- Bu problemde: Örtünün köşe noktaları masanın kenarları üzerindeki koordinatlarla verildi ve vektör dikliği kullanıldı.
- Merkezlenmiş örtü ve simetri
- Tanım: Merkezlenmiş, eksenlere paralel örtüde kenar uzaklıkları eşittir.
- Bu problemde: Şekil 2 ve Şekil 3’te bu simetri alan ve uzaklık hesaplarında kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Birim Karışımı
- Yanlış: Sonuçları metre ve santimetre karışık verirken dönüştürmemek.
- Doğru: Tüm ara hesapları aynı birimde yapıp sonra gerekli yerleri dönüştürmek (ör. 0.65 m = 65 cm).
- Neden yanlış: Birim hatası yanlış sayısal sonuç verir.
- Düzeltme: Hesap sırasında birimi sabit tut; sonuca göre dönüştür.
Örtü boyutlarının değiştiğini varsaymak
- Yanlış: Şekil değiştirdiğinde örtü boyutlarının farklı olduğunu düşünmek.
- Doğru: Örtünün gerçek boyutları sabittir (Şekil 1’den bulunur) ve diğer şekillerde sadece konumu/orientasyonu değişir.
- Neden yanlış: Boyutlar sabit olduğundan hatalı alan/uzaklık hesapları olur.
- Düzeltme: Önce örtü boyutlarını bulun, sonra farklı konumlarda uygulayın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
CEVAP:
27. Masanın çevresi = 9.8 m
28. Şekil 1’de örtünün kapladığı alan = 2.5 m²
29. Şekil 2’de KL kenarının AB kenarına uzaklığı = 65 cm
30. Şekil 3’te kaplanan alan, Şekil 2’dekinden 0.2 m² daha az.