Problemin Çözümü
Önemli Noktalar
- Baba ile iki çocuğun yaşlarının toplamı 60’tır.
- 4 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 3 katı olacaktır.
- Çocukların yaşları tam sayı ve büyüğünün yaşı sorulmaktadır.
Bir baba ile iki çocuğunun yaşlarının toplamı 60’tır. 4 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 3 katı olacaktır. Buna göre, büyük çocuğun yaşı en az kaçtır?
İçindekiler
1. Denklemlerin Kurulması
Babanın yaşı b , büyük çocuğun yaşı x ve küçük çocuğun yaşı y olsun.
Toplam yaş:
4 yıl sonra yaşlar:
- Baba: b + 4
- Çocuklar toplamı: (x + 4) + (y + 4) = x + y + 8
Şart:
2. Sistem Çözümü ve Sonuç
İkinci denklemi açalım:
Buradan:
Birinci denklemden:
Eşitlersek:
Düzenleyelim:
Böylece çocukların yaşları toplamının 10 olduğu sonucu çıkar.
Şimdi babanın yaşı:
Tam sayılar ve büyüğün yaşını en az yapmak istiyoruz.
Yaşlar tam sayı ve pozitif olmalı. x + y = 10 ve x \geq y
Büyük çocuk x , küçük çocuk y olarak düşünürsek:
- y = 0 , x = 10 → Küçük çocuğun yaşı 0 olamaz (tam sayı yaş ve gerçekçi olması için pozitif kabul edilir)
- y = 1 , x = 9 büyük = 9
- y = 2 , x = 8 büyük = 8
- y = 3 , x = 7 büyük = 7
- y = 4 , x = 6 büyük = 6
Ancak, soruda 4 yıl sonra babanın yaşı çocukların yaşları toplamının 3 katı olacak dedik, o koşula bakalım tekrar:
4 yıl sonra:
- Baba: 50 + 4 = 54
- Çocuklar toplamı: 10 + 8 = 18 (çocukların toplamı 10 ama 4 yıl sonra toplamları 10 + 8 )
Şartı tekrar yazalım:
Bu doğru.
Ancak x=8 ve y=2 şeklinde, büyük çocuk en az 8 olur. 7 ya da 6 olduğunda 4 yıl sonrası koşulu sağlanmaz.
Sonuç: Büyük çocuğun yaşı en az 8’dir.
Özet Tablo
| Bilgi | Değer |
|---|---|
| Toplam yaş (baba + çocuklar) | 60 |
| 4 yıl sonraki baba yaşı | 54 |
| 4 yıl sonraki çocuklar toplamı | 18 |
| Babanın yaşı | 50 |
| Çocukların yaş toplamı | 10 |
| Büyük çocuğun yaşının en az değeri | 8 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden küçük çocuğun yaşı 0 olamaz?
Genellikle yaş problemlerinde, yaş 0 veya negatif olamaz, mantıklı pozitif tam sayılar alınır.
2. Başka kaç farklı yaş kombinasyonu olabilir?
x + y = 10 ve b = 50 koşulunu sağlayan pek çok tam sayı kombinasyon olabilir, ancak büyüğün yaşının en azı sorulduğunda cevap 8 'dir.
3. 4 yıl sonraki şart nasıl kullanılabilir?
4 yıl sonraki baba yaşı ve çocukların toplamının 3 katı olması denklemdeki ikinci şarttır ve çözümün belirlenmesinde kritiktir.
Sonraki Adımlar
Daha karmaşık yaş problemlerinde sistem denklemi kurma ve çözüm tekniklerini detaylı incelmek ister misiniz?
Ya da benzer problem tiplerinden farklı örnekler çözülmesini ister misiniz?
Soru Tekrarı
Bir baba ile yaşları tam sayı olan iki çocuğunun yaşlarının toplamı 60’tır. 4 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 3 katı olacağına göre, büyük çocuğun yaşı en az kaçtır?
Önemli Noktalar
- Baba ve iki çocuğun yaşları tam sayı ve pozitif.
- Şu an:F + x + y = 60(F = baba yaşı, x≤y = çocuk yaşları)
- 4 yıl sonra koşul:F + 4 = 3\bigl[(x+4)+(y+4)\bigr]
- “Büyük çocuk” tanımı: x < y
Büyük çocuğun yaşı en az 6’dır; bu değer hem toplam yaş koşulunu hem de 4 yıl sonraki “3 kat” şartını sağlar.
İçindekiler
Detaylı Çözüm
- Değişkenleri tanımlayalım:
- Baba yaşı: F
- Çocuk yaşları: x ve y (x ≤ y ve tam sayı)
- Şu anki toplam:F + x + y = 60 \quad\Longrightarrow\quad x + y = 60 - F.
- 4 yıl sonraki koşul:F + 4 = 3\bigl[(x+4)+(y+4)\bigr] = 3(x+y+8) = 3(x+y) + 24.
- x+y = 60 - F ifadesini yerine koyarsak:F + 4 = 3(60 - F) + 24 = 180 - 3F + 24 = 204 - 3F.
- Eşitliği çözelim:F + 4 = 204 - 3F \quad\Longrightarrow\quad 4F = 200 \quad\Longrightarrow\quad F = 50.
- Böylece çocukların toplam yaşı:x + y = 60 - 50 = 10.
- “Büyük çocuk” tanımına göre x<y ve x+y=10; $y$’yi en az yapmak için $x$’i mümkün olduğunca büyük, ama x<y olacak şekilde alırız:10 - y < y \quad\Longrightarrow\quad y > 5 \quad\Longrightarrow\quad y_{\min} = 6.
Sonuç: Büyük çocuğun yaşı en az 6’dır.
Özet Tablosu
| Değişken / Koşul | Şu An | 4 Yıl Sonra |
|---|---|---|
| Baba yaş (F) | F = 50 | F + 4 = 54 |
| Çocukların toplam yaşı | x + y = 10 | (x + 4) + (y + 4) = 18 |
| İlişki | F + x + y = 60 | F + 4 = 3\bigl[(x+4)+(y+4)\bigr] (54 = 3×18) |
| Örnek çocuk yaşları (min) | x=4,\;y=6 | x+4=8,\;y+4=10 |
Sıkça Sorulan Sorular
S1: Çocukların yaşları eşit olsaydı ne olurdu?
C1: x=y=5 seçeneğinde büyük çocuk tanımı geçerli olmaz; soruda “büyük çocuk” ifadesi var, bu nedenle x<y alınır.
S2: 4 yıl sonraki denklemi nasıl kurduk?
C2: Her bir yaşa 4 ekleyip toplamı alıyoruz: F+4 ve (x+4)+(y+4), sonra “baba = 3×(çocuklar)” koşulunu uygularız.
S3: Denklemi çözmek için neden x+y=60-F kullandık?
C3: İki denklemden $x+y$’yi ifade ederek bir bilinmeyenli denklem elde ediyor ve $F$’yi buluyoruz.
Bu problemde kullandığımız denklem kurma yöntemini pekiştirmek için 3 tane benzer yaş problemi çözmek ister misiniz?