Resimli Soru 22-01-2026 13:37:52

YKS TYT
1

!16846|446x500 [Link Silindi]

2

Resimli Soru 22-01-2026 13:37:52

Önemli Noktalar

  • Normal dağılımda ortalamalar, standart sapma ve güven aralıkları hesaplama temel konulardır.
  • Örneklem ve anakütle varyansı, standart sapma ve güven aralıklarını ayırmak önemlidir.
  • Z tablosu ve standart normal dağılım kullanılırken doğru formüller ve α seviyesi (%95 veya %90) gerekir.

Verilen sorular, istatistikte normal dağılım, varyans ve güven aralığı hesaplamalarını içeren uygulama problemleridir. Her soru, öğrenci veya örneklem verileriyle güven aralıklarını veya olasılıkları hesaplamayı amaçlar.

İçindekiler

  1. Soru 1: Aile Gelir Ortalaması Hesaplama
  2. Soru 2: Varyans ve Güven Aralığı Bulma
  3. Soru 3: Genel Yetenek Testi Ortalaması ve Güven Aralığı
  4. Soru 4: Boy Uzunluğu Güven Aralığı
  5. Soru 5: Notlar İçin Olasılık Hesaplama

1. Soru: Aile Gelir Ortalaması Hesaplama

Tablodaki sınıf aralıkları ve aile sayıları verilmiş. Amaç, bu sınıfların ortalamalarını kullanarak öklidik ortalama hesaplamak.

Yöntem:

  1. Sınıf aralıklarının ortasını hesapla (ör. 3000-4999 → (3000+4999)/2 = 3999,5)
  2. Her sınıf ortalaması ile o sınıftaki aile sayısını çarp
  3. Çarpımların toplamını, toplam aile sayısına böl

Örnek:

Gelir Aralığı Orta Nokta (X) Aile Sayısı (f) f×X
3000-4999 3999.5 31 3999.5×31
5000-6999 5999.5 42 5999.5×42
7000-8999 7999.5 45 7999.5×45
9000-10999 9999.5 57 9999.5×57
11000-12999 11999.5 42 11999.5×42
13000-14999 13999.5 35 13999.5×35

Toplam f = 31+42+45+57+42+35 = 252

Ortalamayı bulmak için:

\bar{X} = \frac{\sum (f × X)}{\sum f}

Bu hesaplama sonucu gelirlerin ortalaması bulunur.

:light_bulb: Pro Tip: Sınıf aralıklarında uç değerler varsa median veya mod da incelenebilir, ama ortalama çoğunlukla tercih edilir.

2. Soru: Varyans ve %95 Güven Aralığı Hesaplama

  • Öğrenci sayısı = 101
  • Varyans = 120 (örneklem varyansı olduğu varsayılır)
  • Güven aralığı %95 isteniyor

İşlem Adımları:

  1. Standart sapmayı hesapla:
    s = \sqrt{120} \approx 10.95
  2. Örneklem büyüklüğü n = 101
  3. %95 güven katsayısı (Z değeri) ≈ 1.96 (büyük örneklem)
  4. Hata payı:
    E = Z \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{10.95}{\sqrt{101}}
  5. Güven aralığı:
    $$\bar{X} \pm E$$ (Burada \bar{X} soruda verilmemiş, sadece aralık hesaplanır)

:warning: Uyarı: Anakütle varyansı bilinmediğinde t-dağılımı kullanılabilir ancak n>30 için Z değeri yeterli kabul edilir.

3. Soru: Genel Yetenek Testi Ortalaması ve %90 Güven Aralığı

  • 13 erkek, ortalama 82, varyans 78
  • 16 kız, ortalama 87, varyans 72
  • Toplam 29 öğrenci
  • Güven aralığı %90

Amaç:: Erkek ve kız öğrencilerin varyanslarından genel varyans ve %90 güven aralığı hesaplamak.

Adımlar:

  1. Her grubun varyansını kullanarak birlikte varyans hesapla (varyansların ağırlıklı ortalaması):
    s_p^2 = \frac{(n_1 -1)s_1^2 + (n_2 -1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}
  2. Toplam ortalama:
    \bar{X} = \frac{n_1 \bar{X}_1 + n_2 \bar{X}_2}{n_1 + n_2}
  3. Güven aralığı için t-tablosundaki %90 için t_{(0.05,27)} değeri
  4. Güven aralığı hesaplama:
    \bar{X} \pm t \times \sqrt{\frac{s_p^2}{n_1 + n_2}}

:light_bulb: Uzman İpucu: Küçük örneklemlerde varyans kontrolü, “iki örneklem t testi” için önemlidir.

4. Soru: Boy Uzunluğu için %90 Güven Aralığı

  • n=25, ortalama = 165 cm
  • Standart sapma = 5 cm
  • %90 güven aralığı isteniyor

İşlem:

  1. n=25, küçük örneklem, dolayısıyla t_{0.05,24} kullanılır
  2. Güven aralığı:
    165 \pm t_{0.05,24} \times \frac{5}{\sqrt{25}}
  3. t_{0.05,24} değeri t-tablosundan yaklaşık 1.711
  4. Hata payı:
    1.711 \times 1 = 1.711
  5. Sonuçta:
    [163.289, 166.711]

5. Soru: Notların Normal Dağılımına Göre Olasılık

  • Ortalama \mu=75, standart sapma \sigma = 5
  • Notların 65 ile 95 arasında olma olasılığı isteniyor

Adımlar:

  1. Z skorlarını hesapla:
    Z_1 = \frac{65 - 75}{5} = -2
    Z_2 = \frac{95 - 75}{5} = 4
  2. Standart normal tablodan:
    • P(Z < 4) \approx 1.00
    • P(Z < -2) = 0.0228
  3. Aralık olasılığı:
    P(65 < X < 95) = P(Z < 4) - P(Z < -2) = 1 - 0.0228 = 0.9772

Yani, bir öğrencinin notunun 65 ile 95 arasında olma olasılığı %97.72’dir.

Özet Tablo

Soru Konu Önemli Noktalar
1 Aile Gelir Ortalaması Frekans ağırlıklı ortalama hesaplama
2 Varyans ve Güven Aralığı Standart sapma, %95 Z değeri ile aralık
3 Genel Yetenek Testi İki grup varyans birleşimi ve %90 t güven aralığı
4 Boy Uzunluğu Küçük örneklem, t dağılımı, %90 güven aralığı
5 Not Olasılığı Normal dağılımda Z tablosu ile aralık olasılığı

Sık Sorulan Sorular

1. %95 güven aralığı nasıl yorumlanır?
%95 güven aralığı, gerçek parametrenin bu aralık içinde olma olasılığının %95 olduğunu ifade eder. Bu, istatistikte belirsizliği ölçen önemli bir kavramdır.

2. Neden t-dağılımı bazı sorularda kullanılır?
Örneklem büyüklüğü küçük (genellikle <30) ve anakütle varyansı bilinmediğinde t-dağılımı kullanılır, çünkü daha geniş kuyrukları vardır ve belirsizliği daha iyi yansıtır.

3. Z ve t tablolarının farkı nedir?
Z-tablosu standart normal dağılımı, t-tablosu ise küçük örneklemler için modifiye edilmiş dağılımı gösterir ve serbestlik derecesine (df) bağlıdır.

Sonraki Adımlar

Soru çözümlerini adım adım örneklerle ister misiniz? Ayrıca, normal dağılım ve güven aralığı hesaplama konusunda interaktif uygulama örnekleri ilginizi çeker mi?

@Esad_Ferhat

3

Resimli Soru 22-01-2026 13:37:52

Temel Çıkarımlar

  • Gruplu veride aritmetik ortalama \,\bar x=\dfrac{\sum f_i m_i}{\sum f_i}\, formülüyle hesaplanır.
  • Varyans için %95 güven aralığı
    \Bigl(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\;n-1}}\;,\;\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\;n-1}}\Bigr)
    bağıntısıyla elde edilir.
  • Tek ve iki örneklem ortalaması için t-dağılımı kullanılarak güven aralıkları
    $$\bar x\pm t_{\alpha/2,;n-1}\frac{s}{\sqrt n},\quad
    (\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{\alpha/2,;n_1+n_2-2}\sqrt{Sp^2\Bigl(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\Bigr)}$$
    şekilde bulunur.

Doğrudan Cevap:

  1. \bar x\approx 8700{,}21\ \text{TL}
  2. Varyans için %95 GA: (93{,}49,\;163{,}63)
  3. İki örneklem ortalamaları farkı için %90 GA: (-0{,}75,\;8{,}75)
  4. Tek örneklem ortalaması için %90 GA: (163{,}29,\;166{,}71)\ \text{cm}
  5. P(65<X<95)=0{,}9772

İçindekiler

  1. Soru 1 – Aritmetik Ortalama (Sınıflandırılmış Veri)
  2. Soru 2 – Varyans İçin %95 Güven Aralığı
  3. Soru 3 – İki Örneklem Ortalamaları Farkı İçin %90 GA
  4. Soru 4 – Tek Örneklem Ortalaması İçin %90 GA
  5. Soru 5 – Normal Dağılım Olasılık Hesabı
  6. Özet Tablosu
  7. SSS

Soru 1 – Aritmetik Ortalama (Sınıflandırılmış Veri)

Gruplu veri için ortalama

\bar x = \frac{\sum f_i\,m_i}{\sum f_i}

formülüyle bulunur.
• Sınıf ortancaları m_i:
2000-3999 arası (2000+3999)/2=2999,5, …, 13000-14999 arası (13000+14999)/2=13999,5.
• Frekans toplamı N=31+32+42+45+57+42+35=284.
• \sum f_i m_i\approx2{,}470\,858.
Sonuç:

\bar x \approx \frac{2\,470\,858}{284} \approx 8700{,}21\ \text{TL}.

Soru 2 – Varyans İçin %95 Güven Aralığı

n=101, s^2=120, df=n-1=100, \alpha=0{,}05, \alpha/2=0{,}025.
Kritik değerler: \chi^2_{0{,}975,100}\approx73{,}36, \chi^2_{0{,}025,100}\approx128{,}42.

\bigl(\tfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\;\tfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}\bigr) =\Bigl(\tfrac{100\cdot120}{128{,}42},\;\tfrac{100\cdot120}{73{,}36}\Bigr) \approx(93{,}49,\;163{,}63).

Soru 3 – İki Örneklem Ortalamaları Farkı İçin %90 GA

n_1=13,\;x̄_1=82,\;s_1=8;\quad n_2=16,\;x̄_2=78,\;s_2=7.
Eşit varyans varsayımı altında

Sp^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} =\frac{12\cdot64+15\cdot49}{27}\approx55{,}67,\quad Sp\approx7{,}46.

\alpha=0{,}10,\;df=27,\;t_{0.95,27}\approx1{,}703.
Fark d=x̄_1-x̄_2=4 için

d \pm t\,Sp\sqrt{\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}} =4 \pm 1{,}703\cdot7{,}46\sqrt{0{,}0769+0{,}0625} \approx 4\pm4{,}75

%90 GA: (-0{,}75,\;8{,}75).

Soru 4 – Tek Örneklem Ortalaması İçin %90 GA

n=25,\;x̄=165,\;s=5,\;df=24,\;\alpha=0{,}10,\;t_{0.95,24}\approx1{,}711.

x̄ \pm t\frac{s}{\sqrt n} =165 \pm 1{,}711\cdot\frac{5}{\sqrt{25}} =165 \pm1{,}711

%90 GA: (163{,}29,\;166{,}71)\ \text{cm}.

Soru 5 – Normal Dağılım Olasılık Hesabı

X\sim N(\mu=75,\sigma=5) için

P(65<X<95)=P\bigl(-2<Z<4\bigr) =\Phi(4)-\Phi(-2)\approx0{,}99997-0{,}0228=0{,}9772.

Karşılaştırmalı Tablo

Parametre Dağılım Güven Aralığı Formülü Kritik Değer
Tek Örneklem Ortalaması t \bar x\pm t_{\alpha/2,n-1}\dfrac{s}{\sqrt n} t_{0.95,24}
İki Örneklem Ortalamaları Farkı t (\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{\alpha/2,n_1+n_2-2}\sqrt{Sp^2(\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2})} t_{0.95,27}
Varyans χ² \bigl(\tfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\tfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}\bigr) \chi^2_{0.975,100},\;\chi^2_{0.025,100}

Özet Tablosu

Soru Sonuç
  1. Ort. (gruplu veri) | \bar x\approx8700{,}21 TL
  2. Varyans %95 GA | (93{,}49,\;163{,}63)
  3. İki ort. farkı %90 GA | (-0{,}75,\;8{,}75)
  4. Tek ort. %90 GA | (163{,}29,\;166{,}71) cm
  5. P(65<X<95) | 0{,}9772

SSS

  1. Gruplu veride neden sınıf ortancası kullanılır?
  2. Varyans için ki-kare yerine t-dağılımı kullanılmaz mı?
  3. İki örneklemde eşit varyans varsayımı nedir, sağlamazsak ne olur?
  4. Normal dağılım altındaki olasılık hesaplarında Z dönüşümü nasıl yapılır?

Hangi sorunun adım adım çözümünü görmek istersiniz?
@Esad_Ferhat