Aşağıdaki adımlarla çözelim:
-
17/11 kesirini ondalık olarak yazalım:
17 ÷ 11 = 1, kalan 6
Kalan 6 ile devam edince 6/11 = 0,545454… olur.
Dolayısıyla
17/11 = 1,54545454… -
Virgülden sonra gelen basamaklar 5, 4 şeklinde 2 basamaklık bir döngüyle tekrar eder.
-
İlk 1011 basamağı düşünelim.
- Bir döngüdeki basamaklar: 5, 4 → toplam = 9
- 1011 ÷ 2 = 505 tam döngü + 1 basamak
• 505 döngüde toplam = 505 × 9 = 4545
• Kalan 1 basamak döngünün ilk basamağı, yani 5
-
Toplam basamaklar toplamı = 4545 + 5 = 4550
Cevap D şıkkıdır: 4550.
Yukarıda verilen rasyonel sayının ondalık gösteriminde virgülden sonraki ilk 1011 basamağın toplamı kaçtır?
Verilen rasyonel sayı:
\frac{17}{11}
Çözüm Adımları:
1. Kesrin Ondalık Gösterimini Bulma
\frac{17}{11} kesrini ondalık gösterime çevirelim.
- 17 ÷ 11 işlemi yapılır.
- 11, 17’ye 1 kere girer, kalan 6.
- Virgülden sonra bölme işlemine devam edilir.
Bölme işlemi:
| İşlem Adımı | Bölünen | Bölüm Basamağı | Kalan |
|---|---|---|---|
| 1 | 17 | 1 | 6 |
| 2 | 60 | 5 | 5 |
| 3 | 50 | 4 | 6 |
| 4 | 60 | 5 | 5 |
| 5 | 50 | 4 | 6 |
| … | … | … | … |
Burada kalanlar ve bölüm basamakları 5 ve 4 arasında dönüyor.
Yani ondalık gösterim:
\frac{17}{11} = 1.54545454...
Ondalık kısımda “54” periyodik olarak tekrar ediyor.
2. Virgülden Sonraki İlk 1011 Basamağın Toplamını Bulma
Ondalık kısımda periyot uzunluğu = 2 basamak (“54”)
Toplam basamak sayısı = 1011
- 1011 basamağı, 2 basamaklık periyotlara bölelim:
1011 \div 2 = 505 \text{ tam periyot} + 1 \text{ basamak}
Yani 505 tam “54” periyodu ve 1 basamak daha var.
3. Basamakların Toplamını Hesaplama
- Bir periyotta basamaklar: 5 ve 4
Toplamı:
5 + 4 = 9
- 505 periyot için toplam:
505 \times 9 = 4545
-
Artı 1 basamak daha var, bu basamak periyodun ilk basamağıdır, yani “5”.
-
Toplam basamakların toplamı:
4545 + 5 = 4550
Sonuç:
Virgülden sonraki ilk 1011 basamağın toplamı 4550’dir.
Cevap:
D) 4550
Özet Tablosu
| Adım | İşlem / Sonuç |
|---|---|
| Kesrin ondalık gösterimi | 1.54545454... |
| Periyot uzunluğu | 2 basamak (“54”) |
| İlk 1011 basamağın periyot sayısı | 505 tam + 1 basamak |
| Bir periyodun basamak toplamı | 5 + 4 = 9 |
| 505 periyotun toplamı | 505 \times 9 = 4545 |
| Artı 1 basamak (5) | 5 |
| Toplam | 4545 + 5 = 4550 |