Resimli Soru 21-02-2026 19:31:02

YKS TYT
1

17716914716836099296966060991119
17716914716836099296966060991119720×960 24.3 KB

2

ABC Üçgeninde |DE|/|BC| Oranı ve |AE|, |BC| Uzunluklarının Bulunması

Önemli Noktalar

  • Üçgen benzerliği ve açı eşitlikleri kullanılarak uzunluklar arasında oran kurulur.
  • D ve E noktaları verilen segmentlerde belirli uzunluklarda konumlanmıştır.
  • Öğrenilen oranlarla üçgende bilinmeyen uzunluklar hesaplanabilir.

ABC üçgeninde;

  • D, AB üzerinde, AD = 8 cm, DB = 4 cm
  • E, AC üzerinde, EC = 5 cm
  • DE // BC ve açı ölçüleri eşit m(∠ABE) = m(∠EBC)

İçindekiler

  1. DE ve BC Oranı Bulma
  2. AE ve BC Uzunluklarını Hesaplama
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. DE ve BC Oranı Bulma

Verilen bilgiler ve paralellik durumundan, DE // BC olduğundan DE ve BC kenarları arasında bir oran vardır ve üçgen benzerliği kullanılabilir.

D noktası AB üzerinde, AD = 8 cm ve DB = 4 cm, yani AB = AD + DB = 12 cm.
Açı eşitliği m(∠ABE) = m(∠EBC) nedeniyle üçgenlerde açı açı benzerlik vardır.

Bu durumda:

  • △ADE ~ △CBE (açıların eşitliği ve DE // BC den dolayı)

Benzerlik oranı;

\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|DE|}{|BC|}

Verilen AD = 8, DB = 4 olduğuna göre,

\frac{8}{4} = 2

Buna göre,

\frac{|DE|}{|BC|} = 2

Ancak verilen EC=5 cm olduğundan \frac{|AE|}{5} = 2 ile bağıntıya ulaşacağız.

Ama burada dikkat edilecek nokta: AD/DB oranı 2 olduğuna göre DE/BC oranı da 2/1 olarak değil farklı hesaplanmalı, çünkü DE ve BC uzunlukları değişir. Açı ölçülerinden dolayı oranlar eşittir.

Daha doğru yaklaşım:

  • BC = DB + EC = 4 + 5 = 9 cm

DE // BC olduğundan ve üçgenler benzer olduğundan:

\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AB|}

Burada AB = AD + DB = 12 cm, böylece

\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Sonuç:

\boxed{\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3}}

:light_bulb: Pro Tip: Paralellik durumlarında benzerlik oranlarını segment uzunlukları üzerinden kurarak soruları hızlıca çözebilirsiniz.

2. AE ve BC Uzunluklarını Hesaplama

Yukarıdaki gibi benzerlik oranlarını kullanarak AE ve BC’yi bulabiliriz.

Benzerlik oranından:

\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|AD|}{|DB|} = 2

Verilen EC = 5 cm, o halde;

|AE| = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}

BC uzunluğunu karar verirken, BC = DB + EC = 4 + 5 = 9 cm olarak direkt biliniyor.

Sonuçlar:

|AE| = 10 \text{ cm} \quad \text{ve} \quad |BC| = 9 \text{ cm}

:warning: Uyarı: BC uzunluğu toplam DB + EC olduğu için toplamanın doğru yapıldığından emin olun.

Karşılaştırma Tablosu

Öğe Değer Notlar
(\frac{ DE }{
( AE )
( BC )

Özet Tablo

Eleman Değer
(\frac{ DE
( AE
( BC

Sık Sorulan Sorular

1. DE // BC ne anlama gelir?
DE doğrusu BC doğrusuna paralel demektir ve benzerlik oranlarının kurulması için önemli temel bir bilgidir.

2. Açı eşitliği neden benzerlik anlamına gelir?
İki üçgenin iki açısı eşitse, üçgenler benzerdir. Burada verilen m(∠ABE) = m(∠EBC) iki açının aynı olması benzerliği sağlar.

3. Üçgende iki noktanın arasında oran nasıl bulunur?
Genellikle benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları oranlanır veya paralellik ve açı kullanılarak oranlar bulunur.

Sonraki Adımlar

Benzerlik problemlerinde daha karmaşık örneklerle devam etmek ister misiniz? Ya da paralel doğrular ve oranlar konusunu detaylandırayım mı?

@Fatma75

3

**Soru: Aşağıdaki ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC], DE ∥ BC, ∠ABE = ∠EBC, AD = 8 cm, DB = 4 cm, EC = 5 cm ise:

a) DE/BC oranı nedir?
b) AE ve BC uzunlukları kaç cm’dir?**

Anahtar Noktalar

  • Paralel Doğrularla Benzerlik: DE ∥ BC ⇒ DE/BC = AD/AB = AE/AC.
  • Açı İkiz Bölücü Teoremi: AE/EC = AB/BC.
  • $AD = 8,$cm, $DB = 4,$cm ⇒ $AB = AD + DB = 12,$cm.

Doğrudan Cevap

a) DE/BC = \tfrac{2}{3}.
b) $AE = 10,$cm ve $BC = 6,$cm.

İçindekiler

  1. DE/BC Oranını Bulma
  2. AE ve BC Uzunluklarını Bulma
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. SSS

1. DE/BC Oranını Bulma

DE ∥ BC olduğundan

\triangle ADE \sim \triangle ABC.

Benzerlik oranı:

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.

2. AE ve BC Uzunluklarını Bulma

  1. Benzerlikten AE/AC = AD/AB = 8/12 = 2/3.
    AC = AE + EC ⇒

    AE : EC = 2 : 1 \quad\Rightarrow\quad AE = 2\cdot EC = 2\cdot5 = 10\text{ cm.}

    AC = 10 + 5 = 15 cm.

  2. Açı ikiz bölücü teoremine göre

\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \quad\Rightarrow\quad BC = \frac{AB\cdot EC}{AE} = \frac{12\cdot5}{10} = 6\text{ cm.}

3. Karşılaştırma Tablosu

Özellik Paralel Doğrularla Benzerlik Açı İkiz Bölücü Teoremi
Kullanım Koşulu DE ∥ BC ∠ABE = ∠EBC
Elde Edilen Oran DE/BC = AD/AB AE/EC = AB/BC
Uygulama Alanı Üçgenlerde benzerlik kurma Üçgende kenar bölme

4. Özet Tablo

Veri Değer
AD 8 cm
DB 4 cm
AB = AD+DB 12 cm
EC 5 cm
DE/BC oranı 2/3
AE 10 cm
AC = AE+EC 15 cm
BC 6 cm

5. SSS

Q1: Paralel doğrularla benzerlik nasıl kurulur?
Q2: Açı ikiz bölücü teoremi hangi koşullarda geçerlidir?
Q3: Benzerlikte hangi kenar oranları eşitlenir?
Q4: Açı ikiz bölücünün karşı kenarı nasıl böldüğünü nasıl kanıtlarız?

Bu problemdeki benzerlik ve açı ikiz bölücü teoremleri üzerine 3 alıştırma sorusu ister misiniz?
@Fatma75