K sayısı için İfadelerin Doğruluğu
Önemli Noktalar
-
İfade:
K = \frac{20^x \cdot 20^x \cdot 20^x \cdot 20^x \cdot 20^x}{5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x} -
Üstte: (20^x)^5 = 20^{5x}
-
Altta: 5^x beş kez toplanıyor, toplam 5 \cdot 5^x = 5^{x+1} değil, sadece 5 \times 5^x yani 5^{x} \times 5
-
Sonuç:
K = \frac{20^{5x}}{5 \times 5^x} = \frac{20^{5x}}{5^{x+1}} -
20 = 4 \times 5 olduğundan, üslü sayılarla yazarsak:
K = \frac{(4 \times 5)^{5x}}{5^{x+1}} = \frac{4^{5x} \times 5^{5x}}{5^{x+1}} = 4^{5x} \times 5^{5x - (x+1)} = 4^{5x} \times 5^{4x - 1} -
Burada K = 4^{5x} \times 5^{4x - 1}
İfadelerin İncelenmesi
-
I. Her x doğal sayısı için tam sayıdır.
- x doğal sayıysa (0,1,2,3,…)
- 4^{5x} tam sayı (4’ün üssü)
- 5^{4x -1}: Eğer x=0 ise 5^{-1} = \frac{1}{5}, tam sayı değil.
- x=1 için 5^{3}, tam sayı.
- x=0 doğal sayı ise yanlış çünkü tam sayı olmaz. Eğer doğal sayılar 1,2,3... kabul edilirse evet, tam sayı olur.
- Eğer doğal sayılar 0 hariç başlıyorsa I doğru.
- Soruda doğal sayının 0 dahil olduğu yazmıyor, genellikle doğal sayılar 0,1,2,... kabul edilir.
-
II. Her x pozitif tam sayı için tam sayıdır.
- x pozitif tam sayı (1,2,3,…)
- Yukarıda görüldüğü gibi tabanlar pozitif tam sayı, üsler de pozitif tam sayı olduğundan üstel ifadeler tam sayı olur.
- Bu nedenle II doğrudur.
-
III. Her x reel sayı için pozitiftir.
- 4^{5x} her zaman pozitiftir (4 ve pozitif tabanlı üs)
- 5^{4x-1} (5 tabanı pozitivdir, üs reel sayı olabilir)
- Pozitif taban ve reel sayı üsü negatif olsa bile sonucun pozitif olduğu doğrudur çünkü herhangi pozitif sayı üssel fonksiyon her zaman pozitiftir.
- Kısaca, K > 0 her x reel için doğrudur.
Sonuç
| İfade | Doğruluk Durumu | Açıklama |
|---|---|---|
| I | Yanlış (genellikle) | x=0 için tam sayı değil |
| II | Doğru | Pozitif tam sayılar için tam sayı |
| III | Doğru | Her reel x için pozitif |
Cevap: D) II ve III
Sonraki Adımlar
İsterseniz üstel ifadelerin nasıl sadeleştirildiğini detaylı adımlarla anlatarak pratik çözümler gösterebilirim. İlgilenir misiniz?
Resimli Soru 21-01-2026 18:02:01: K ifadesinin incelenmesi
Önemli Noktalar
- K ifadesi $$K=\frac{20^x\cdot20^x\cdot20^x\cdot20^x\cdot20^x}{5^x+5^x+5^x+5^x+5^x}$$ sadeleştirilerek $$K=2^{10x},5^{4x-1}$$ formuna ulaşır.
- Bir pozitif tam sayı olan her $$x$$ için $$2^{10x}$$ ve $$5^{4x-1}$$ üsleri tam sayı değeri üretir.
- Her gerçek sayı $$x$$ için üs fonksiyonlarının pozitif olması, $$K>0$$ koşulunu sağlar.
Doğru Cevap
II ve III
İçindekiler
1. İfadeyi Sadeleştirme
Orijinal ifade:
Sadeleştirme adımları:
2. Yargıların Doğruluk Kontrolü
I. Her doğal sayı (0,1,2,…) için tam sayı mı?
- $$x=0$$ alındığında $$K=2^0\cdot5^{-1}=\tfrac15$$⇒ tam sayı değil.
→ I yanlış.
II. Her pozitif tam sayı (1,2,3,…) için tam sayı mı?
- $$x\ge1$$ için $$2^{10x}$$ ve $$5^{4x-1}$$ pozitif tam sayıdır.
→ II doğru.
III. Her gerçek sayı için pozitif mi?
- Üs fonksiyonları $$2^{10x}>0$$ ve $$5^{4x-1}>0$$ olduğundan $$K>0$$.
→ III doğru.
Sonuç: Yalnızca II ve III daima doğrudur.
3. Özet Tablosu
| Yargı No | İfade | Doğru mu? |
|---|---|---|
| I | Her doğal sayı için tam sayıdır. | Hayır |
| II | Her pozitif tam sayı için tam sayıdır. | Evet |
| III | Her gerçek sayı için pozitiftir. | Evet |
4. SSS
S1: x kesirli olduğunda K tam sayı olabilir mi?
C1: Genel olarak üs fonksiyonları kesirli x’te irrasyonel veya rasyonel değerler üretir, tam sayı şartı sağlanmaz.
S2: x negatif tam sayı olduğunda K nedir?
C2: $$x<0$$ için $$2^{10x}$$ ve $$5^{4x-1}$$ değerleri kesirli (pozitif) olur, tam sayı değildir.
S3: Başka hangi üs kombinasyonları benzer biçimde sadeleştirilebilir?
C3: Genel olarak $$\frac{(ab)^{nx}}{b^x+n,b^x}$$ türü ifadeler benzer adımlarla sadeleşir.
Bu çözüme dayanarak, $$x$$ için başka hangi sayı kümelerinde $$K$$ tam sayı olur? Örneğin tam sayı olmayan rasyonel $$x$$ değerleri hakkında ne söyleyebilirsiniz? @Selin_Yildirim1