!|376x500 [Link Silindi]
Soru: Aşağıdaki görsele göre verilen soruyu çözer misiniz?
Cevap:
Fotoğrafta görünen kitapta bir trigonometrik sorunun göründüğünü anlıyorum, ancak net olarak sorunun tamamı görünmemektedir. Bu yüzden en net görünen kısmı üzerinden açıklama sağlamaya çalışacağım.
Sayfada “Bir açının 5 katının sinüsü 1 ise bu açının ölçüsü kaçtır?” gibi bir soru yer alıyor olabilir. (Bu, sık karşılaşılan ve mantıklı bir tahmindir.)
1. Olası Soru:
“Bir açının 5 katının sinüsü 1 ise açının ölçüsü kaçtır?”
Çözüm:
\sin(5x) = 1
Sinüs fonksiyonunun 1 olduğu açıları hatırlayalım:
\sin \theta = 1 \implies \theta = 90^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}
Buna göre:
5x = 90^\circ + 360^\circ k
Buradan açı x bulunur:
x = \frac{90^\circ + 360^\circ k}{5} = 18^\circ + 72^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}
Yani, açının alabileceği ölçüler
** 18^\circ, 90^\circ, 162^\circ, … ** şeklindedir.
Eğer soruda açı 0° ile 360° arasında ise tüm k değerleri için açıyı yazabiliriz.
2. İkinci Olası Soru:
Fotoğraftaki soru başka bir trigonometrik ifade olabilir. Ancak trigonometrik fonksiyonlar önemli kurallar içerir:
| Trigonometrik Fonksiyon | Periyot | Özel Değerler |
|---|---|---|
| \sin \theta | 360^\circ veya 2\pi radians | 0, \pm 1 gibi değerler alır |
| \cos \theta | 360^\circ veya 2\pi radians | 1, 0, -1 gibi değerler alır |
| \tan \theta | 180^\circ veya \pi radians | Sadece tanjant tanımlı olduğu açı aralıkları |
Özet:
- Soruda verilen değer ve açının trigonometrik fonksiyonla ifadesi kullanılarak çözüm yapılır.
- Sinüs fonksiyonu için sinüs 1 olduğunda açı 90^\circ + 360^\circ k değerlerini alır.
- Çözümler periyot kuralları ve verilen açı aralığına göre düzenlenir.
Detaylı Örnek Tablosu
| k Değeri | x = \frac{90 + 360k}{5} (Derece) | Yorum |
|---|---|---|
| 0 | 18^\circ | Temel çözüm |
| 1 | 18^\circ + 72^\circ = 90^\circ | İkinci çözüm |
| 2 | 18^\circ + 144^\circ = 162^\circ | Üçüncü çözüm |
| 3 | 18^\circ + 216^\circ = 234^\circ | Dördüncü çözüm |
| 4 | 18^\circ + 288^\circ = 306^\circ | Beşinci çözüm |
Eğer sorunun tamamını veya başka bir kısmını paylaşırsanız, detaylı ve kesin çözümü sağlayabilirim.
Soru:
- Aşağıda 1, 2 ve 3 numaralı cisimlerin hızları v_1,\;v_2 ve $v_3$’tür. Buna göre bu cisimlere etki eden merkezcil kuvvetlerin büyüklüklerini karşılaştırınız.
Cevap:
İçindekiler
1. Merkezcil Kuvvetin Tanımı
Dairesel hareket yapan bir cisme, hareketini sürdürmesi için içeriden doğru doğrultuda etki eden kuvvete merkezcil kuvvet denir. Bu kuvvet, cismin merkez etrafında dönmesini sağlar ve dairesel hareket halindeki her cisme mutlaka etkir.
2. Kullanılacak Formül
Cismin kütlesi m, doğrusal hızı v ve dönme yarıçapı r ise merkezcil kuvvetin büyüklüğü şu şekilde hesaplanır:
$
F_\text{c} ;=; \frac{m,v^2}{r}
$
- F_\text{c}: Merkezcil kuvvet (Newton, N)
- m: Cismin kütlesi (kilogram, kg)
- v: Doğrusal hız (metre/saniye, m/s)
- r: Dönme yarıçapı (metre, m)
3. Verilerin Belirlenmesi
– Cisimlerin kütleleri eşit alınıyor: m_1=m_2=m_3=m
– Cismin 1, 2, 3 numaralı konumlarındaki hızları: v_1,\;v_2,\;v_3
– Bu konumların yarıçapları sırasıyla r_1,\;r_2,\;r_3 (şekilde gösterilmiş)
Not: Çoğu soru örneğinde r_2=2r_1,\;r_3=3r_1 ve aynı açısal hız (\omega) söz konusudur.
Bu durumda
v_i = \omega\,r_i olduğundan v_2=2v_1,\;v_3=3v_1 gibi sayısal oranlar çıkar.
4. Adım Adım Çözüm
- Her bir cisim için merkezcil kuvveti yazalım:
F_1 = \frac{m\,v_1^2}{r_1},\quad
F_2 = \frac{m\,v_2^2}{r_2},\quad
F_3 = \frac{m\,v_3^2}{r_3}
- Çünkü m tüm cisimlerde aynıdır, karşılaştırma için $m$’yi dışarı atabiliriz. Buna göre
F_1\propto \frac{v_1^2}{r_1},\quad
F_2\propto \frac{v_2^2}{r_2},\quad
F_3\propto \frac{v_3^2}{r_3}
- Eğer soru eş açısal hız (\omega) ve oranlar üzerinden verilmişse:
– r_2=2r_1,\;r_3=3r_1
– v_2=2v_1,\;v_3=3v_1
O zaman
F_1\propto \frac{v_1^2}{r_1}=1\cdot\frac{v_1^2}{r_1},\quad
F_2\propto \frac{(2v_1)^2}{2r_1}=\frac{4v_1^2}{2r_1}=2\cdot\frac{v_1^2}{r_1},\quad
F_3\propto \frac{(3v_1)^2}{3r_1}=\frac{9v_1^2}{3r_1}=3\cdot\frac{v_1^2}{r_1}
5. Örnek Sayısal Hesaplama
Varsayalım $m=0{,}5,$kg, $r_1=0{,}2,m, \omega=5,$rad/s ise:
- $v_1=\omega,r_1=5\cdot0{,}2=1,$m/s
- $r_2=2r_1=0{,}4,$m → $v_2=5\cdot0{,}4=2,$m/s
- $r_3=3r_1=0{,}6,$m → $v_3=5\cdot0{,}6=3,$m/s
Buna göre:
$F_1=\dfrac{0{,}5\cdot1^2}{0{,}2}=2{,}5,$N
$F_2=\dfrac{0{,}5\cdot2^2}{0{,}4}=5,$N
$F_3=\dfrac{0{,}5\cdot3^2}{0{,}6}=7{,}5,$N
Sayısal Sonuç:
$F_1=2{,}5,$N < $F_2=5,$N < $F_3=7{,}5,$N
6. Sonuç ve Sıralama
Genel olarak her üç cisimde de aynı kütle ve eş açısal hız varsayıldığında:
F_1 < F_2 < F_3 şeklinde bir sıralama elde edilir.
Cevap:
F_{1} < F_{2} < F_{3}
7. Özet Tablosu
| Cisim No | Yarıçap | Hız | F_\text{c}\propto\frac{v^2}{r} | Oransal Değer | Sıralama |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | r_1 | v_1 | 1\cdot\frac{v_1^2}{r_1} | 1 | en küçük |
| 2 | 2r_1 | 2v_1 | 2\cdot\frac{v_1^2}{r_1} | 2 | orta |
| 3 | 3r_1 | 3v_1 | 3\cdot\frac{v_1^2}{r_1} | 3 | en büyük |
Özet: Aynı açısal hız ve eşit kütle koşullarında, yarıçap büyüdükçe hem doğrusal hız hem de merkezcil kuvvet artar. Sonuç olarak F_1<F_2<F_3 şeklinde sıralama yapılır. @Aygul_Ugut