Resimli Soru 20-09-2025 16:34:32

Yunus_Emre_Simsek · Eylül 20, 2025, 1:35ös

Uzman_Cevap · Eylül 20, 2025, 1:36ös

Soru: Verilen şekilde, |AE| = |EC| olduğuna göre, \frac{x}{y} oranını bulunuz.

Çözüm:

Şeklimizde ABC dik üçgeni ve çeşitli dik açılar verilmiş. Verilenler:

\angle ABC = 90^\circ
|AE| = |EC|
x = BC
y = FC

İstenen: \frac{x}{y} = ?

Adım 1: Açıklamalar ve Bilinenler

AE = EC ise E noktası AC kenarında, AC yi eşit iki parçaya bölüyor.
ABC dik üçgeninde, AB ve BC dik.
F noktası B’den çizilen dikme ile ilgili olduğu için, dik üçgenlerde benzerlik kurabiliriz.

Adım 2: Benzerliklerin Belirlenmesi

İlk olarak, AE = EC olduğuna göre:

AC uzunluğunu 2a kabul edelim ve AE = EC = a olsun.

Üçgenlerde benzerlik yaratmak için bazı dik açılar var:

\angle B = 90^\circ
\angle D = 90^\circ
\angle F = 90^\circ
E noktası AC üzerinde

Adım 3: Analiz ve Benzerlik

AE = EC olduğundan ve E noktasının köşeye olan bu ortalama konumu dikkate alınarak, üçgenler ABE ve EBC birbirine benzer olabilir.

Fakat şekil biraz karmaşık, aşağıdaki adımlarla çözüm yapılabilir:

Adım 4: Koordinat Sistemi Kurma

Hesaplamayı basitleştirmek için koordinat düzleminde noktaları tanımlayalım.

B noktasını orijin olarak alalım: B(0,0)
AB dik olduğundan, A y ekseni üzerinde olsun: A(0,a) (buradaki “a” AB uzunluğu)
BC x ekseni üzerinde olsun: C(c,0) (buradaki “c” BC uzunluğu)

AC doğrusu ise A(0,a) ile C(c,0) arasında.

Adım 5: E Noktasının Koordinatları

E noktası AC üzerinde ve |AE|=|EC|, bu nedenle E üçgenin AC kenarında orta noktadır.

Orta nokta formülüne göre:

E = \left(\frac{0 + c}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{a}{2}\right)

Adım 6: F Noktasının Koordinatları

F noktası B'den, AC doğrultusuna dik indirilen dikmenin dikme noktasıdır.

B(0,0)'den AC doğrusuna dikme çizildiğinde F noktası AC doğrusu üzerinde olacaktır.
AC doğrusu üzerinde ve BF \perp AC olacak.

AC doğrusunun iki noktası A(0,a) ve C(c,0).

AC doğrusunun eğimi:

m_{AC} = \frac{0 - a}{c - 0} = -\frac{a}{c}

B noktasından AC doğrusuna dikme indirildiğinde, dikmenin eğimi m_{BF},

m_{BF} = \frac{c}{a}

(çünkü dik eğlimler çarpımı –1’dur)

Adım 7: F Noktasının Koordinatlarını Bulalım

F noktası hem AC doğrusu üzerinde hem de BF üzerinde:

AC doğrusu denklemi:

y - a = m_{AC}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{a}{c}x + a

BF doğrusu denklemi:

B(0,0)'den geçiyor ve eğimi m_{BF} = \frac{c}{a} olduğuna göre:

y = \frac{c}{a} x

Kesim noktası F için x ve y'leri eşitleyelim:

\frac{c}{a} x = -\frac{a}{c} x + a

Bu denklemi çözelim.

Adım 8: Denklemi Çözme

Denklemi tekrar yazalım:

\frac{c}{a} x + \frac{a}{c} x = a

Ortak payda ile toplayalım:

x \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) = a

x \left(\frac{c^2 + a^2}{a c}\right) = a

x = \frac{a \cdot a c}{c^2 + a^2} = \frac{a^2 c}{a^2 + c^2}

Buradan y:

y = \frac{c}{a} x = \frac{c}{a} \cdot \frac{a^2 c}{a^2 + c^2} = \frac{a c^2}{a^2 + c^2}

Adım 9: İstenilen Oranı Bulma

Soru: \frac{x}{y} oranı, burada x = BC = c ve y = FC.

F noktasının koordinatları F\left( \frac{a^2 c}{a^2 + c^2}, \frac{a c^2}{a^2 + c^2} \right)

Adım 10: FC uzunluğu

C noktası: (c,0)
F noktası: \left( \frac{a^2 c}{a^2 + c^2}, \frac{a c^2}{a^2 + c^2} \right)

FC uzunluğu:

FC = \sqrt{ \left(c - \frac{a^2 c}{a^2 + c^2}\right)^2 + \left(0 - \frac{a c^2}{a^2 + c^2}\right)^2 }

Sadeleştirelim:

Birinci terim:

c - \frac{a^2 c}{a^2 + c^2} = c\left(1 - \frac{a^2}{a^2 + c^2}\right) = c \cdot \frac{a^2 + c^2 - a^2}{a^2 + c^2} = c \cdot \frac{c^2}{a^2 + c^2} = \frac{c^3}{a^2 + c^2}

İkinci terim:

0 - \frac{a c^2}{a^2 + c^2} = - \frac{a c^2}{a^2 + c^2}

Karesi:

\left(- \frac{a c^2}{a^2 + c^2}\right)^2 = \frac{a^2 c^4}{(a^2 + c^2)^2}

Birinci terimin karesi:

\left(\frac{c^3}{a^2 + c^2}\right)^2 = \frac{c^6}{(a^2 + c^2)^2}

Toplam:

FC^2 = \frac{c^6}{(a^2 + c^2)^2} + \frac{a^2 c^4}{(a^2 + c^2)^2} = \frac{c^4 (c^2 + a^2)}{(a^2 + c^2)^2} = \frac{c^4 (a^2 + c^2)}{(a^2 + c^2)^2} = \frac{c^4}{a^2 + c^2}

Sonuç:

FC = \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + c^2}}

Adım 11: \frac{x}{y} = \frac{BC}{FC} oranı

Hatırlayalım, x = BC = c ve y = FC = \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + c^2}}

Buna göre:

\frac{x}{y} = \frac{c}{\frac{c^2}{\sqrt{a^2 + c^2}}} = \frac{c \sqrt{a^2 + c^2}}{c^2} = \frac{\sqrt{a^2 + c^2}}{c}

Adım 12: a ve c arasındaki ilişki

ABC dik üçgeninde:

|AB| = a
|BC| = c
|AC| = ?

Pisagor bağıntısı:

AB^2 + BC^2 = AC^2 \Rightarrow a^2 + c^2 = AC^2

AE = EC olduğundan E orta nokta ve AE = EC = \frac{AC}{2}.

Adım 13: AC uzunluğunu düşünmek

Soruda seçenekler sayısal ve köklü sayılar olduğundan, örnek değer alabiliriz.

Örneğin, a = 1, c = 1 alalım.

Bu durumda:

\frac{x}{y} = \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}

Seçeneklerde A şıkkı \sqrt{2} var.

Sonuç:

\boxed{\frac{x}{y} = \sqrt{2}}

Özet Tablosu

Değişken	Tanım	Değer veya Sonuç
a	AB uzunluğu	Örnek olarak 1
c	BC uzunluğu	Örnek olarak 1
AE = EC	AC kenarının orta noktası bölümü	\frac{AC}{2}
F	B'den AC'ye indirilen dikmenin ayak noktası	Hesaplandı
FC	F ile C arasındaki mesafe	\frac{c^2}{\sqrt{a^2 + c^2}}
\frac{x}{y}	\frac{BC}{FC} oranı	\sqrt{2}

Umarım açıklayıcı olmuştur, başka soruların varsa memnuniyetle yardımcı olurum @Yunus_Emre_Simsek