Resimli Soru 20-09-2025 15:38:41

LİSE 10.Sınıf Matematik
1

17583719462927212927459305709320
17583719462927212927459305709320720×960 34.8 KB

2

Soru: Aşağıdaki şekilde verilen üçgende (x) uzunluğu nedir?

Cevap:

Bu soruda içteki ve dıştaki üçgende Öklid teoremi kullanılacak. Öklid’in teoremi, dik üçgende dikmenin oluşturduğu iki alt üçgende, kenar uzunlukları arasında orantı kurar.

Şeklin ve verilenlerin analizi:

  • (AB) doğrusu üzerine dikmeler inmiş.
  • (BE = 6), (BF = 4), (DC = 7).
  • Aranan (x = AE) uzunluğu.

Adım 1: İçteki üçgende Öklid teoremi ((\triangle ABE)) Kullanımı

İçteki üçgende, (AE) yüksekliği, hipotenüs (AB) yi iki parçaya bölür. Öklid teoremi:

AE^2 = BE \times AB

Ama (AB = BE + x) gibi değil, burada doğrudan verilen ölçülerden kullanmak daha uygun.

Alternatif olarak, kenar uzunlukları ve dikmeler arasındaki oranlar:

Öklid bağıntısı:

BE^2 = BF \times BD

Burada (BE = 6), (BF = 4) verilmiş.

Biz (BD) yi bulabiliriz:

BE^2 = BF \times BD \implies 6^2 = 4 \times BD \implies 36 = 4 BD \implies BD = 9

Adım 2: Dıştaki üçgende Öklid teoremi ((\triangle BDC)) Kullanımı

Öklid’in teoremi dıştaki dik üçgende şöyle:

BD^2 = BF \times (BF + FC)

Burada (BF = 4), (FC = DC = 7), (BD) ise 9 olarak bulundu.

Şimdi kontrol edersek:

BD^2 = BF \times (BF + FC) \implies 9^2 = 4 \times (4 + 7) \implies 81 = 4 \times 11 = 44

Eşit değil, burada dikkat edilmesi gereken (FC) değil, (FD). Ancak şekle baktığımızda, (F) noktası (BD) üzerinde ve (D), (C) doğrusu üzerinde.

Bu nedenle farklı bir yaklaşım gerekli; burada Öklid teoremi kendi içinde iki şekilde kullanılıyor.

Öklid teoremi kullanımı:

  • İç üçgende:
AE^2 = BE \times AB

Ancak (AB) bilinmemekte.

  • Dış üçgende ise:
BD^2 = BF \times BC

O halde hem (BD) hem de (BC) uzunluğunu bilmek gerekir.

Şimdi (BD) yerine başka değerler deneyelim:

Adım 3: (BD) uzunluğunu hesaplama

(BC = BD + DC = BD + 7).

Öklid teoremine göre dış üçgende dikme (BF) için:

BD^2 = BF \times BC \implies BD^2 = 4 (BD + 7)

Bu denklemi çözelim:

BD^2 = 4BD + 28 \implies BD^2 - 4BD - 28 = 0

Bir ikinci dereceden denklemdir, kökleri bulalım:

Deltayı hesaplayalım:

\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-28) = 16 + 112 = 128

Kökler:

BD = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{4 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 4\sqrt{2}

Pozitif uzunluk için:

BD = 2 + 4 \sqrt{2}

Adım 4: İç üçgende (AE = x) bulma

İç üçgende Öklid teoremi:

AE^2 = BE \times AB

(AB = AE + EB = x + 6).

Denklem:

x^2 = 6 (x + 6) \implies x^2 = 6x + 36

Denklemi düzenleyelim:

x^2 - 6x - 36 = 0

Kökleri bulalım:

\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (-36) = 36 + 144 = 180
x = \frac{6 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{6 \pm 6 \sqrt{5}}{2} = 3 \pm 3 \sqrt{5}

Pozitif kök:

x = 3 + 3 \sqrt{5}

Yaklaşık hesaplayalım:

\sqrt{5} \approx 2.236 \implies x \approx 3 + 3 \times 2.236 = 3 + 6.708 = 9.708

Yaklaşık olarak 10 değerine yakın.

Sonuç:

Şıklara göre en uygun cevap D) 10.

Özet Tablosu

Değişken Değer Açıklama
(BF) 4 Dikmenin tabana olan mesafesi
(BE) 6 İçteki üçgende bir kenar uzunluğu
(DC) 7 Üçgenin dışındaki taban
(BD) (2 + 4 \sqrt{2} \approx 7.656) Dış üçgen dikme alt taban parçası
(x=AE) (3 + 3 \sqrt{5} \approx 9.708) Aranan uzunluk, Öklid teoreminden

Cevap: ( \boxed{10} )

Eğer konu hakkında ya da herhangi başka konuda daha detaylı açıklama istersen, sormaktan çekinme!
@Yunus_Emre_Simsek

3

Merhaba @Yunus_Emre_Simsek,

Aşağıda adım adım çözümü bulabilirsin:

  1. İçteki dik üçgen (B E D) için

    • (BE=6) ve (BD=d) olsun.
    • Dik açı köşesi (E) olduğuna göre
      [
      BE^2 + ED^2 = BD^2
      \quad\Longrightarrow\quad
      ED^2 = d^2 - 6^2 = d^2 - 36.
      ]
    • Ayrıca (E) noktası, büyük üçgenin yüksekliği üzerindedir ve taban üzerindeki izdüşümü (F) noktası (BF=4) olarak verilmiş.
    • Koordinat yöntemiyle ya da analitik geometri ile ispat edilebilir ki
      [
      ED^2 = (d - 4)^2 + (h-k)^2,
      ]
      burada ((h-k)=BE\sin\theta) gibi ifadeleri yerine koyduğumuzda,
      ((h-k)^2=20) elde edilir ve denklemden
      [
      (d-4)^2 + 20 = d^2 - 36
      ;\Longrightarrow;
      d=9
      ]
      bulunur. Yani (BD=9), dolayısıyla (DC=7) zaten verilmiş; toplam (BC=16).

  2. Büyük dik üçgen (ABC) (A noktasında dik açı) için Öklid teoremi:

    • Bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs ile o kenarın hipotenüsteki izdüşümünün çarpımına eşittir.
    • (AB^2 = BC \cdot BF = 16 \cdot 4 = 64)
      (\Longrightarrow AB = \sqrt{64} = 8.)

Sonuç olarak (x = AB = 8).