SORU: 4. soruda KLM ve MNP dik üçgenleri, verilen dik kenar ve uzunluk bilgilerine göre |KN| uzunluğunu bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dik üçgenlerde Pisagor Teoremi
- Dik doğrular arasındaki oran ve benzerlik özellikleri
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bilgileri ve diklik ilişkilerini belirle
- KLM ve MNP dik üçgenler.
- L, M, N doğrusal.
- |KL| \perp |LM|
- |KM| \perp |MP|
- |MN| \perp |NP|
- |KL| = 5 birim, |PN| = 7 birim.
- |KM| = |MP| .
Adım 2 — Üçgenlerin dikliklerine göre hesaplama düzeni
- KLM üçgeninde KL \perp LM ise dik açı L 'de.
- MNP üçgeninde MN \perp NP ise dik açı N 'de.
- KM \perp MP ise KM ve MP dik iki kenar gibi verilmiş.
Adım 3 — Üçgenler arası benzerlik ve uzunluk hesaplama
- |KM| = |MP| olduğu için M noktasında dik üçgenin hipotenüsü ayrımı yapılabilir.
- KLM içinde |KL|=5 , hipotenüs |KM| .
- MNP içinde |PN|=7 , hipotenüs |MP|=|KM| .
Adım 4 — Hipotenüs hesaplama (Pisagor Teoremi)
-
\triangle KLM için:
Hipotenüs KM = \sqrt{KL^2 + LM^2} = \sqrt{5^2 + LM^2}
-
\triangle MNP :
Hipotenüs MP = KM (eşit), diğer dik kenarlardan biri MN , diğeri NP = 7 .
-
MN \perp NP , bu ikili ile L, M, N aynı doğru üzerinde olduğundan MN uzunluğu hesaplanabilir.
Adım 5 — |KN| uzunluğunu bulma
- K , L , M , N aynı doğru üzerinde olduğundan |KN| = |KL| + |LM| + |MN|
- |KL| = 5 biliniyor.
- |LM| hesaplanmalı.
- |MN| hesaplanmalı.
Şimdi verilen diklik ilişkilerini ve eşitlikleri kullanarak |LM| ve |MN| hesaplanabilir.
SORU: 5. soruda ABC ikizkenar üçgeni, verilen paralellik ve uzunluk bilgilerine göre |CF| uzunluğunu bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İkizkenar üçgen özellikleri
- Paralel doğruların uzunluk oranları
- Benzerlik ve orantı
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen bilgileri incele
- ABC ikizkenar üçgen ( AC = BC )
- BF \parallel AE
- |BF| = |FD|
- AE = 12
- Noktalar C, E, F, D doğrusal.
Adım 2 — Paralel doğrunun orantısı
- BF \parallel AE olduğundan, üçgen içerisinde benzerlik kurabiliriz.
- |BF| = |FD| olduğundan B, F, D noktaları arasında eşitlik var.
Adım 3 — Uzunluklar arasındaki ilişki
- AE = 12 birim.
- AC = BC olduğundan üçgende simetri var.
- C, E, F, D doğrusal olduğuna göre noktalar arası mesafeler ve orantılar hesaplanabilir.
Adım 4 — |CF| uzunluğunu hesaplama
- Paralel doğrular ve orantılı mesafelerden |CF| uzunluğu bulunabilir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Yandaki şekilde KLM ve MNP birer dik üçgen; L, M, N doğrusal; [KL] ⟂ [LM], [KM] ⟂ [MP], [MN] ⟂ [NP], |KL| = 5 birim ve |PN| = 7 birim. |KM| = |MP|. Buna göre |KN| kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Pisagor Teoremi: \text{(kenar)}^2=\text{(diğer kenar)}^2+\text{(diğer kenar)}^2
- İki vektörün dik olması koşulu (nokta çarpımı): \vec{u}\cdot\vec{v}=0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinat yerleştirme
Karmaşayı azaltmak için doğrusal L–M–N doğrultusunu x-ekseni üzerine koyarız:
L = (0,0), M = (a,0), N = (a+b,0).
KL dik ve |KL| = 5 olduğuna göre K = (0,5).
PN dik ve |PN| = 7 olduğuna göre P = (a+b,7).
Adım 2 — KM ve MP uzunluklarının ifadeleri (Pisagor)
KM uzunluğu: |KM|=\sqrt{a^{2}+5^{2}}=\sqrt{a^{2}+25} .
MP uzunluğu: |MP|=\sqrt{b^{2}+7^{2}}=\sqrt{b^{2}+49} .
Adım 3 — Eşitlikten denklem (|KM| = |MP|)
\sqrt{a^{2}+25}=\sqrt{b^{2}+49} \Rightarrow a^{2}+25=b^{2}+49
Bundan: a^{2}-b^{2}=24.
Yani (a-b)(a+b)=24.
Adım 4 — Diklilikten denklem (vektör çarpımı)
\vec{MK} = (-a,5), \vec{MP}=(b,7). Dik oldukları için nokta çarpımı sıfır:
(-a)\cdot b + 5\cdot 7 = 0 \Rightarrow -ab +35 = 0
Bundan: ab=35.
Adım 5 — s=a+b ve t=a-b ile çözüm
Let s=a+b ve t=a-b. Biliniyor ki t\cdot s=24 ve ab=\dfrac{s^{2}-t^{2}}{4}=35.
Dolayısıyla s^{2}-t^{2}=140. t=\dfrac{24}{s} olduğundan
s^{2}-\left(\dfrac{24}{s}\right)^{2}=140.
Bu ifadeyi düzenleyip X=s^{2} olarak çözünce: X^{2}-140X-576=0.
Diskriminant 21904=148^{2} olduğundan X=\dfrac{140+148}{2}=144.
Böylece s^{2}=144\Rightarrow s=a+b=12.
Adım 6 — KN uzunluğunu hesaplama
KN uzaklığı K(0,5) ile N(a+b,0)=(s,0) arasındaki mesafe:
|KN|=\sqrt{s^{2}+5^{2}}=\sqrt{12^{2}+25}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}.
CEVAP: 13 birim
TEMEL KAVRAMLAR:
- Pisagor Teoremi
- Tanım: Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
- Bu problemde: KM ve MP uzaklıklarını ifade etmek için kullanıldı.
- Dik olma koşulu (nokta çarpımı)
- Tanım: İki vektörün skaler çarpımı sıfırsa vektörler diktir.
- Bu problemde: \vec{MK}\cdot\vec{MP}=0 denkleminden ab=35 elde edildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dikliği yanlış kullanma
- Yanlış: KM ⟂ MP koşulunu a=b gibi basitleştirmek.
- Doğru: Nokta çarpımı ile -ab+35=0 \Rightarrow ab=35 olarak kullanılmalı.
- Neden yanlış: Dik olma, uzunluk eşitliği ile karıştırılmamalı.
- Düzeltme: Vektörleri doğru yazıp skaler çarpımı sıfıra eşitleyin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?