SORU: Göz hizası yerden 150 cm yükseklikte olan Bülent’in kulenin boyunu kaç m olarak hesaplamalı?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Yansıma açılarının eşit olması (yansıma kuralı)
- Dik üçgen ve benzer üçgenler kullanılarak hesaplama yapılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenleri Belirle
- Bülent’in göz yüksekliği = 150 cm = 1.5 m
- Bülent’in gölet yüzeyinden yüksekliği = 3 m (yansıma noktası ile Bülent’in göz yüksekliği arasındaki mesafe)
- Bülent gölet yüzeyinde duruyor, kulenin yüksekliğini bulacağız.
- Bülent ile yansıma noktası arası yatay mesafe = 75 m
Adım 2 — Üçgenleri İncele
Yansımada ışığın geliş açısı ile yansıma açısı eşittir. Buna göre, Bülent’in göz yüksekliği ile kulenin yüksekliği arasında benzerlik kurulabilir.
Bülent’ten yansıma noktasına ve yansıma noktasından kule tepesine çizilen ışınlar açılarına göre, iki dik üçgen benzer:
-
Küçük üçgen yüksekliği: h_1 = 3 - 1.5 = 1.5 \, m (yansıma noktası ile Bülent göz hizası arasındaki yükseklik farkı)
-
Küçük üçgen tabanı: 75 m (Bülent ile yansıma noktası yatay mesafesi)
-
Büyük üçgen yüksekliği: h_2 = ? (kule yüksekliği / yansıma noktası yüksekliği farkı)
-
Büyük üçgen tabanı: 75 m (yansıma noktası ile kulenin tabanı arasındaki yatay mesafe)
Burada kule yüksekliğinden, yansıma noktasına kadar olan kısmı buluyoruz.
Adım 3 — Benzer Üçgen Oranlarını Kur
Yansımada açıların eşit olması nedeniyle, üçgenler birbirine benzer:
Burada,
- h_1 = 1.5\, m
- d_1 = 75\, m
- h_2 = ?
- d_2 = ?
Ancak verilen problemde yansıma noktası ile kule arasındaki yatay mesafe 75 m ise, yansıma noktası ile kulenin tabanı arasındaki yatay mesafe de aynıdır (aynı doğru doğrultusunda).
Fakat yansıma noktası’nın kulenin yüksekliği 3 m olarak verilmiştir.
Burada kule yüksekliği için:
Kule yüksekliği (yerden) = 3 + h_2
Bülent’in göz yüksekliği 1.5 m olduğuna göre, benzerlik oranını kullanarak kule yüksekliğini hesaplarız.
Adım 4 — Sayısal Hesaplama
Kule yüksekliği ile yansıma noktası arası yüksekliği h_2 ve yatay mesafe 75 m, Bülent’in göz yüksekliği ile yansıma noktası arası yüksekliği 1.5 m ve yatay mesafe 75 m olduğuna göre:
Buradan:
Kule yüksekliği ise:
Ama bu değer kule yüksekliği için çok küçük görünüyor, çünkü kule yüksekliği çok daha fazla olmalı.
Bu durumda problemdeki ölçü birimlerine ve mesafelere dikkat etmek gerekir.
- Bülent’in göz yüksekliği gölettin yüzeyinden 1.5 m (150 cm)
- Bülent’in yuksekligi: 1.5 m (göz hizası)
- Yansıma noktası kulenin tepesinden 3 m yukarıda değil, kulenin su yüzeyinden 3 m yukarıda olabilir.
- Bülent gölet yüzeyinden 1.5 m yüksekte
- Kule ile yansıma noktası arası mesafe 75 m
Yani;
Burada kule yüksekliği x, gölet yüzeyinden ölçülüyor. Gölet yüzeyi referans alınır.
Yansıma noktasında kule yüksekliği 3 m, Bülent’in göz yüksekliği 1.5 m.
Yansıma açılarına göre benzerlik:
Bu oranları eşitleyelim:
Buradan:
Ancak verilen rakamlar küçük kalıyor.
Başka bir çözüm yolu:
- Yansıma açısı eşit olduğuna göre, iki dik üçgen benzer.
- Büyük üçgenin taban uzunluğu: 75 m
- Küçük üçgenin taban uzunluğu: 75 m (aynı, çünkü yansıma noktası ortada)
Ama yükseklik farkları şu:
- Büyük üçgen yüksekliği = Kule yüksekliği (x)
- Küçük üçgen yüksekliği = Bülent’in göz yüksekliği (1.5 m)
- Yansıma yüksekliği 3 m, bu da yansıtıcı seviyedir.
Buna göre benzerlikte:
Ama yatay uzaklık toplam 150 m olabilir.
Buradan:
Anlaşılan 3 m kule yüksekliği çok küçük.
Sonuç olarak elimizdeki bilgilerle en doğru yaklaşım:
Yansıma açısı eşitliğiyle kurulan iki benzer üçgen:
- İlk üçgende yükseklik farkı: 3 - 1.5 = 1.5 \, m
- Bu üçgenin taban uzunluğu: 75 m
- İkinci üçgende yükseklik: kule yüksekliği x - 3 m (yansıma noktası yüksekliği)
- Bu üçgenin taban uzunluğu: 75 m
Benzerlik oranı:
Ancak soruda “kule yüksekliği” yerden yükseklik olarak soruluyor. Yansıma noktası 3 m ise:
Adım 5 — Bülent’in Kulenin Boyunu Hesaplaması
Kulenin tamamı 4.5 m ise, Bülent’in göz hizası 1.5 m olduğuna göre kulenin boyu:
Özet:
- Bülent 1.5 m yüksekten bakıyor.
- Yansıma noktasının su yüzeyinden yüksekliği 3 m.
- Bülent ile yansıtma noktası arasındaki mesafe 75 m.
- Kule ile yansıtma noktası mesafesi 75 m.
- Benzer üçgenlerden kule yüksekliği:
CEVAP: Bülent, kulenin boyunu 4.5 m olarak hesaplar.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Bülent’in göz hizası 150 cm iken su yüzeyindeki yansıma noktasının Bülent’e uzaklığı 3 m ve yansıma ile kulenin tabanı arasındaki yatay uzaklık 75 m veriliyor. Kule yüksekliği kaç m’dir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL: Yansıma için sanaltürev (görüntü) yöntemi: Yansıma yüzeyi yataysa cismin tepe noktası su yüzeyine göre simetrik bir görüntü oluşturur; göz ile bu görüntü arasındaki doğrultu yansıma noktasından geçer. Doğruların eğimleri ve benzer üçgenler kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinatları belirle
- Tanım: Bülent’in gözüni (0,\;1.5) m olarak alıyoruz (150 cm = 1.5 m).
- Tanım: Yansıma noktası x=3 m, su yüzeyi y=0.
- Tanım: Yansıma noktası ile kule tabanı arasındaki uzaklık 75 m ise kule tabanı x=3+75=78 m’dedir.
- Tanım: Kule tepe noktasının görüntüsü su yüzeyinin altındaki (78,\;-h) noktasındadır (kule yüksekliği h).
Adım 2 — Doğrunun eğimini yaz
- İşlem: Doğrunun eğimi m=\dfrac{y_{\text{görüntü}}-y_{\text{göz}}}{x_{\text{görüntü}}-x_{\text{göz}}}=\dfrac{-h-1.5}{78-0}=\dfrac{-h-1.5}{78}.
- İşlem: Doğru denklemi: y-1.5=m(x-0)=m x.
Adım 3 — Yansıma noktasında y=0,\;x=3 kullan
- İşlem: 0-1.5=m\cdot 3.
- İşlem: m=\dfrac{-1.5}{3}=-0.5.
Adım 4 — Eğimi eşitleyip h yi çöz
- İşlem: \dfrac{-h-1.5}{78}=-0.5.
- İşlem: -h-1.5=-0.5\times 78.
- İşlem: -0.5\times 78=-39.
- İşlem: -h-1.5=-39.
- İşlem: -h=-39+1.5=-37.5.
- İşlem: h=37.5.
TEMEL KAVRAMLAR:
- Yansıma (yansıma yasası)
- Tanım: Geliş açısı ile yansıma açısı eşittir; düz yansıtıcıda görüntü simetriktir.
- Bu problemde: Kule tepe noktasının su yüzeyine göre simetrik görüntüsü kullanıldı.
- Sanaltürev / Görüntü yöntemi
- Tanım: Yansıyan cismin, aynanın diğer tarafında simetrik bir görüntüsü varmış gibi düşünme.
- Bu problemde: Göz ile görüntü arasındaki doğru yansıma noktasından geçtiği için doğruların eğimi kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Birim karışıklığı
- Yanlış: 150 cm’yi 150 m veya 150 olarak almak.
- Doğru: 150 cm = 1.5 m.
- Neden yanlış: Birim hatası sonuca büyük etki eder.
- Düzeltme: Her uzunluğu metreye çevir.
Mesafe toplamını yanlış hesaplama
- Yanlış: Yansıma noktasından kuleye olan 75 m’yi doğrudan Bülent-kule mesafesi sanmak.
- Doğru: Bülent-kule yatay mesafesi 3+75=78 m.
- Neden yanlış: Yansıma noktası Bülent ile kule arasında ara noktadır.
- Düzeltme: Tüm yatay mesafeleri topladıktan sonra kullan.
CEVAP: Kule yüksekliği 37.5 m’dir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?