SORU: Yandaki ABC üçgeninde |AB| = |AC| ve |AN| \perp |BC| ise, \triangle ABC üçgeninin aynı zamanda yükseklik ve kenarortay olduğunu kanıtlayınız.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Eşkenar ve ikizkenar üçgenlerde yükseklik, açıortay ve kenarortay bazı durumlarda çakışabilir.
- |AB| = |AC| ise, \triangle ABC ikizkenar üçgendir.
- İkizkenar üçgende yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğrultudadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İkizkenar Üçgeni Tanımla
|AB| = |AC| olduğuna göre \triangle ABC ikizkenar üçgendir. Bu durumda, taban BC üzerindeki A köşesinden inilen yükseklik kenarortaydır.
Adım 2 — Yükseklik ve Kenarortayın Tanımı
- Yükseklik: Bir köşeden karşı kenara indirilen dikme (dik doğru parçası). Burada, |AN| \perp |BC| olduğuna göre, AN yüksekliğin kendisidir.
- Kenarortay: Köşeden karşı kenarın orta noktasına inen doğru parçası. Eğer N noktası BC kenarının orta noktası ise, AN kenarortaydır.
Adım 3 — N Noktasının Orta Nokta Olduğunu Kanıtla
Eşkenar üçgende olmayan bir \triangle ABC ikizkenarda ise, yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
Yani, |BN| = |NC| olduğunu göster:
İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler. Bu yüzden;
Adım 4 — Sonuç
Öyleyse AN hem yüksekliktir (dik gösterilmiştir, AN \perp BC) hem de N, BC kenarının orta noktasıdır, yani kenarortaydır.
CEVAP: \triangle ABC ikizkenar üçgen olduğunda, taban BC üzerindeki yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. Çünkü |AN| \perp |BC| ve N, BC kenarının orta noktasıdır, dolayısıyla AN hem yükseklik hem kenarortaydır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: ABC üçgeninde AB = AC ise tepeye indirilen doğru parçalarının açıortay, yükseklik ve kenarortay özelliklerini açıklayınız (şemaya göre A’dan tabana inen doğruyu gösteriniz).
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İkizkenar üçgende eşit kenarlara karşılık gelen taban açıları eşittir.
- Üçgen eşliği için SAS (kenar-açı-kenar) ve RHS (dik-hipotenuz-kenar) kullanılır.
- İki komşu açının toplamı 180° ise ve bu açılar birbirine eşitse her biri 90° olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tabandan gelen iki üçgeni ele al
- A’dan taban BC üzerine indirilen doğruyu M noktası üzerinde kabul edelim.
- İncelenecek üçgenler: \triangle ABM ve \triangle ACM.
Adım 2 — Eşitlikleri ve açıortayı kullan
- Verilmiş: AB = AC.
- Eğer AM, açıortay ise \angle BAM = \angle MAC.
- AM ortak kenardır.
- Böylece \triangle ABM ve \triangle ACM için SAS ile eşlik sağlanır: AB = AC,\ \angle BAM=\angle MAC,\ AM=AM.
Adım 3 — Eşlikten sonuçlar (kenarortay olduğunu göster)
- Eşlikten BM = MC sonucunu elde ederiz. Bu da AM’nin kenarortay olduğunu gösterir (M, BC’nin orta noktasıdır).
Adım 4 — Eşlikten yükseklik olduğunu göster
- Eşlik ayrıca \angle AMB = \angle CMA sonucunu verir. Bu iki açı doğrusal açı olup toplamları 180^\circ’dir (çünkü \angle AMB ile \angle CMA aynı doğru üzerinde komşu açılardır).
- İki eşit açının toplamı 180^\circ ise her biri 90^\circ olur. Dolayısıyla \angle AMB = \angle CMA = 90^\circ.
- Bu da AM’nin BC’ye dik olduğunu, yani AM’nin yükseklik olduğunu gösterir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: AM, verilen şartlarda hem açıortay, hem kenarortay, hem de yüksekliktir (yani tepeye indirilen doğru aynı anda açıortay, kenarortay ve yüksekliği sağlar).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- İkizkenar üçgen — Tanım: İki kenarı eşit olan üçgen. Bu problemde: AB = AC olduğu için taban açıları eşit ve simetri vardır.
- Üçgen eşliği (SAS) — Tanım: İki kenar ve aralarındaki açı eşitse üçgenler eşit. Bu problemde: AB = AC, \angle BAM=\angle MAC, AM ortak olduğu için eşlik sağlandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açıların toplamı unutulur
- Yanlış: Eşlikten sadece BM = MC sonucu alınır; diklik atlanır.
- Doğru: Eşlikten elde edilen komşu açıların eşitliği ve doğrusal toplamı dikkate alınarak diklik de gösterilir.
- Neden yanlış: Diklik ancak açıların her birinin 90° olduğu gösterilerek kanıtlanır.
- Düzeltme: Eşlikten gelen açı eşitliğini ve doğrusal toplamı kullanın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?