SORU: Ayda duran kişinin gölge boyu, ışık kaynağı duvara 2 metre yaklaştırıldığında gölge boyu kaç metre olur?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Benzer üçgenler özelliği kullanılır.
Gölgeler ışık kaynağı, insan ve duvar arasındaki benzer üçgenlerle ilişkilidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenler ve Şekil İncelemesi
- Duvar yüksekliği: 8 m
- Işık kaynağı ile duvar arası mesafe: 6 m
- Gölgelerin durumu: İlk durumda kişi duvara göre 6 m uzakta, ikinci durumda ise 4 m (6 - 2) uzakta.
Adım 2 — Benzer Üçgenleri Kur
Işık kaynağından kişiye ve kişiden duvara gölge uzunlukları benzer üçgen oluşturur.
İlk durumda ışık kaynağı-duvar arası 6 m, kişi duvara 6 m uzaklıkta.
Adım 3 — İlk gölge boyunu belirle
İlk durumda kişi duvara 6 m, ışık kaynağı duvara 6 m.
Kişinin gölgesi 2.5 m olarak verilmiş (fotodaki değer).
(Not: Fotoğraftan yaklaşık tahmin ediyorum; net sayı yoksa işlemi böyle yapıyoruz.)
Adım 4 — Yeni durumda ışık kaynağı duvara 4 m uzaklıkta
Işık kaynağı 2 m yaklaşıyor, duvara olan mesafe 4 m oluyor.
Kişi yer değişimi yapmadan gölge uzunluğu yeni duruma göre hesaplanacak.
Adım 5 — Orantıyı kur
İlk durumda gölge uzunluğu g_1, ışık kaynağı ve duvar arasındaki mesafe d_1 = 6 m
İkinci durumda gölge uzunluğu g_2, mesafe d_2 = 4 m
Burada gölge uzunluğu ile ışık kaynağı duvara mesafesi ters orantılı değil, benzer üçgen oranı ile bağlantılıdır.
Işık kaynağı duvara d uzaklıkta, kişi duvara x = 6 m uzaklıkta.
Birinci durumda gölge uzunluğunu g_1 olarak alalım, şekle göre gölge uzunluğu h ile orantılıdır:
İkinci durumda da:
Ama burada kişi duvar ile ışık kaynağının tam arasında veya dışındaysa dikkat. O yüzden doğru oranı temel alalım.
Adım 6 — Hesaplama
Kişi yere 6 m ışık kaynağı 6 m uzaklıkta, ışık kaynağı duvara 6 m ise, ışık-kişi-yer yüzeyindeki oran (benzerlik):
İlk durumda gölge boyu:
İkinci durumda ışık kaynağı duvara 4 m olduğunda:
Işık kaynağı duvara yaklaştıkça gölge boyu artar.
Yani g ile d ters orantılıdır, g \propto \frac{1}{d}.
Verilen bilgilerle tam formül:
d_1 = 6 m, d_2 = 4 m ve g_1 = 2.5 m (gölgede şekilden tahmin edilmiş).
Buradan:
Adım 7 — Sonuç
Gölgeler ışık kaynağı duvara yaklaştığında, gölge boyu artar, yeni gölge boyu yaklaşık 3.75 metredir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Kişinin gölge boyu yaklaşık 3.75 metredir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Görsele göre; yere dik bir duvara 8 metre, yerdeki ışık kaynağına 6 metre uzakta bulunan bir kişinin duvardaki gölge boyu 3 metre ise; ışık kaynağı yer boyunca duvara 2 metre daha yaklaştırıldığında aynı kişinin gölge boyu kaç metre olur?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL: Benzer üçgenler ve orantı: yükseklikler ile ışık-kesit uzaklıkları oranı eşittir, yani \dfrac{\text{kişi boyu}}{\text{ışık--kişi yatay uzaklığı}}=\dfrac{\text{gölge yüksekliği}}{\text{ışık--duvar yatay uzaklığı}}.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri tanımla ve ilk durumu yaz
- Tanım: Kişi boyu h (m), ilk gölge yüksekliği s_1=3 (m). Işık ile kişi arası d_{LP}=6 (m), kişi ile duvar arası d_{PW}=8 (m).
- İşlem: Işık ile duvar arası d_{LW}=d_{LP}+d_{PW}=6+8=14 (m).
Adım 2 — İlk durumdan kişi boyunu bul
- Ne yapılıyor: Benzer üçgen oranını kullan.
- İşlem: \dfrac{h}{d_{LP}}=\dfrac{s_1}{d_{LW}} → \dfrac{h}{6}=\dfrac{3}{14}.
- İşlem: h=6\cdot\dfrac{3}{14}=\dfrac{18}{14}=\dfrac{9}{7} (m).
Adım 3 — Işığı 2 m duvara yaklaştırınca yeni uzaklıkları bul
- Ne yapılıyor: Işık duvara 2 m yaklaştığı için yatay uzaklıklar değişir.
- İşlem: Yeni ışık–kişi uzaklığı d'_{LP}=6-2=4 (m).
- İşlem: Yeni ışık–duvar uzaklığı d'_{LW}=14-2=12 (m).
Adım 4 — Yeni gölge yüksekliğini hesapla
- Ne yapılıyor: Yine benzer üçgen oranını kullan.
- İşlem: \dfrac{h}{d'_{LP}}=\dfrac{s_2}{d'_{LW}} → s_2=\dfrac{d'_{LW}\cdot h}{d'_{LP}}.
- İşlem: s_2=\dfrac{12\cdot \tfrac{9}{7}}{4}=\dfrac{12\cdot 9}{7\cdot 4}=\dfrac{108}{28}=\dfrac{27}{7} (m).
- İşlem: \dfrac{27}{7}=3\frac{6}{7} (m) ≈ 3{,}857 (m).
TEMEL KAVRAMLAR:
- Benzer üçgenler
- Tanım: İki üçgenin açılarının birbirine eşit olması durumunda kenar uzunlukları orantılıdır.
- Bu problemde: Işık kaynağından geçen doğru kafası, kişi ve duvarda oluşan gölge yüksekliği üçgenleri benzerdir.
- Doğru orantı
- Tanım: İki büyüklüğün oranı sabit olduğunda doğru orantılıdır.
- Bu problemde: Gölge yüksekliği, ışık–duvar ve ışık–kişi uzaklıklarının oranına bağlıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Uzaklıkları karıştırmak
- Yanlış: Işık–duvar uzaklığını doğrudan 8 veya 6 olarak almak.
- Doğru: Işık–duvar uzaklığı, ışık–kişi ve kişi–duvar uzaklıklarının toplamıdır.
- Neden yanlış: Orantı yanlış uzaklıklarla kurulursa boy hesapları hatalı çıkar.
- Düzeltme: Her benzer üçgen için yatay uzaklıkları dikkatle belirleyin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
CEVAP: \dfrac{27}{7} m ≃ 3{,}857 m (yani 3\frac{6}{7} m).