SORU: Umut Öğretmen’in verdiği üç farklı renkteki üçgenlerle, çeşitli noktalardan kesimler yapılarak ABC üçgenine benzer üçgenler oluşturulması isteniyor. Buna göre a, b, ve c şıkları soruyor: Kesilen parçalar hangi benzerlikleri sağlar, benzerlik çizimlerini gösteriniz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Üçgenlerde benzerlik şartları:
- İki açı eşit ise (AA)
- İki kenar orantılı ve aradaki açı eşit ise (K-A-K)
- Üç kenar orantılı ise (K-K-K)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a şıkkı inceleme (Kırmızı üçgen - Kenarlarda Kesim)
- AB ve AC kenarlarında alınan iki nokta seçiliyor ve bu noktalar birleştirilerek kesim yapılıyor.
- AB ve AC kenarları üzerinde kesilen bu doğru parçası, orijinal üçgenin köşelerinden bir açı ile kesiliyor.
- Bu durumda kesilen yeni üçgenin, orijinal ABC üçgeni ile iki açıları eşit olur; çünkü ortak açı korunur ve kesilen çizgi nedeniyle diğer açı eşit olur.
- Yani, oluşan üçgenler AA benzerliğiyle benzer olur.
- Çizimde benzer üçgenler aynı açılara sahip, kenar oranları farklı olur.
Adım 2 — b şıkkı inceleme (Yeşil üçgen - Kenarlarda Kesim Paralel Olmayan)
- AB ve AC kenarları üzerindeki iki noktayı, BC kenarına paralel olmayan bir doğru parçası ile birleştiriyoruz.
- Bu durumda yeni oluşan üçgen, orijinaline benzer mi?
- Eğer doğru parçası BC’ye paralel olursa benzerlik sağlanır (çünkü açıların eşitliği oluşur). Ancak burada paralel değil.
- Paralel olmaması nedeniyle açı eşitliği sağlanmaz.
- Dolayısıyla benzerlik oluşmaz.
- Bu yüzden benzerlik çizimi yapılamaz.
Adım 3 — c şıkkı inceleme (Lacivert üçgen - A Köşesinden Kesim)
- A köşesi ile BC kenarı üzerindeki bir noktayı birleştirip kesiyoruz.
- Bu durumda oluşan küçük üçgenin açısı A açısına eşittir ve BC kenarına paralel bir çizgi çekilmişse (burada öyle olmadığına dair bilgi yok, genelde böyle olur) yeni üçgen ABC üçgenine benzer.
- Eğer açılar eşit ve kenar orantısı sağlanırsa, yine AA benzerliği vardır.
- Bu durumda benzerlik çizimi AA benzerliğiyle gösterilir.
CEVAP:
a) Kırmızı üçgenler AB ve AC kenarlarında kesilen noktalar arasındaki doğru parçası nedeniyle, oluşan küçük üçgenler ABC üçgenine AA benzerliğiyle benzer.
b) Yeşil üçgenlerde AB ve AC kenarlarında alınan iki noktayı BC’ye paralel olmayan doğru parçasıyla birleştirmek, açı eşitliği sağlamadığı için benzerlik oluşturmaz.
c) Lacivert üçgende A köşesi ile BC kenarı üzerindeki bir noktayı birleştirerek kesim yapıldığında, AA benzerliğiyle ABC üçgenine benzer üçgenler oluşur.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Resimdeki a), b) ve c) durumlarında ABC üçgenine benzer üçgenlerin nasıl oluştuğunu açıklayın ve benzerliği gösterin.
CEVAP:
a) AB ve AC üzerindeki iki nokta arasındaki doğru parçası BC ile paralel ise, üstte kalan küçük üçgen ABC ile benzerdir.
b) Eğer o doğru parçası BC ile paralel değilse, elde edilen küçük üçgenler genel olarak benzer değildir. Paralellik yoksa açı eşitlikleri sağlanmaz.
c) A köşesinden BC üzerindeki herhangi bir D noktasına çizilen doğru parçası (AD) ile oluşturulan alt üçgenler, D = B veya D = C gibi trivial durumlar dışında ABC ile benzer değildir.
AÇIKLAMA:
- a) Çünkü: AB ve AC üzerindeki noktaları birleştiren doğru parçası BC ile paralel ise üstte kalan küçük üçgenin tepe açısı A, ana üçgenin A açısıyla aynıdır; diğer iki açı da paralara yapılan alternatif iç açılar nedeniyle ana üçgenin taban açılarına eşittir. İki açının eşit olması (AA) benzerliği sağlar. (Çizimde: A noktasından tabana paralel bir çizgi çekin; üstteki üçgen ABC’ye benzer.)
- b) Çünkü: Paralellik yoksa, üstte kalan üçgenin A açısı ana üçgenin A açısı ile ortak olsa bile diğer açılardan en az biri farklı olur; bu nedenle AA koşulu sağlanmaz ve benzerlik yoktur. (Çizimde: AB ve AC üzerinde iki nokta alın, bunları birleştiren çizgiyi BC ile paralel olmayan şekilde çizin; açıları ölçün — en az bir açı farklı olacaktır.)
- c) Çünkü: AD gibi bir cevian (A’dan BC’ye) çizildiğinde oluşan üçgenlerin açıları ana üçgenin açılarıyla aynı olmaz; örneğin ΔABD içindeki B açısı ile ΔABC içindeki B açısı aynı olabilir ama A açısı ΔABD’de AD ile AB arasındaki açı, ΔABC’deki A açısı ile aynı değildir (ancak D = C durumunda trivially aynı olur). Bu yüzden genel durumda benzerlik olmaz.
TEMEL KAVRAMLAR:
- AA (Açı-Açı) Benzerlik Ölçütü
- Tanım: İki üçgende iki açı eşitse üçgenler benzerdir.
- Bu problemde: Paralel çizgi sayesinde oluşan alternatif iç açılar iki üçgende eşit olur → AA ile benzerlik.
- Paralel Doğruların Alternatif İç Açıları
- Tanım: Bir doğru paralel iki doğruyu kestiğinde oluşan alternatif iç açılar eşittir.
- Bu problemde: Üstteki küçük üçgenin taban açılarının ana üçgenin taban açılarına eşit olmasını sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Paralel olmayan çizgiyi paralel saymak
- Yanlış: Herhangi bir iç üçgenin otomatik olarak benzer olduğu düşüncesi.
- Doğru: Benzerlik için açı eşitlikleri gerekir; paralellik yoksa açı eşitliği genelde sağlanmaz.
- Neden yanlış: Paralellik açılara eşitlik kazandırır; paralellik yoksa açılar farklıdır.
- Düzeltme: Çizimi yapıp açıları gösterin veya alternatif iç açıları kullanarak açı eşitliklerini açıkça yazın.
ÇİZİMLE GÖSTERME ÖNERİSİ (kısa):
- a) AB ve AC üzerinde iki nokta alıp bunları BC ile paralel bir çizgiyle birleştirin; üstte kalan Δ (A ile bu çizginin iki ucu) ve ΔABC açılarını işaretleyin (A ortak, diğer iki açı eşit).
- b) Paralel olmayan durumda açıları işaretleyip birbirine eşit olmadıklarını gösterin.
- c) A’dan BC’ye çizilen AD için oluşan ΔABD veya ΔADC açılarını işaretleyin; A açısının değiştiğini gösterin (trivial D=B veya D=C dışındaki durumlarda benzerlik yok).
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?