Resimli Soru 20-01-2026 14:10:02: Araçın Yer Değiştirmesi Hesaplama

YKS TYT
1

17689074121196514061154331823450
17689074121196514061154331823450720×960 26.2 KB

2

Resimli Soru 20-01-2026 14:10:02: Araçın Yer Değiştirmesi Hesaplama

Önemli Noktalar

  • Araç yarıçapı r olan dairesel yörüngede K noktasından L noktasına hareket ediyor
  • Alınan yol, çemberin bir yay uzunluğu olarak verilmiş (X = yol)
  • Yer değiştirme, K ve L noktaları arasındaki doğru parçasının uzunluğudur
  • π sayısı 3 olarak alınmıştır

Araç, yarıçapı r olan dairesel yörüngede belirtilen ok yönünde K noktasından L noktasına gidiyor ve aldığı yol X olarak verilmiştir. Yer değiştirme (konum farkı), başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki en kısa mesafedir. Soruda verilen yola ve yay uzunluğuna göre yer değiştirme hesaplanır.

İçindekiler

  1. Yol ve Yay Uzunluğu Hesabı
  2. Yer Değiştirme (Displacement) Hesaplama
  3. Karşılaştırma Tablosu: Yol vs Yer Değiştirme
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Yol ve Yay Uzunluğu Hesabı

  • Yay uzunluğu, dairenin çevresi ile yay açısının oranıyla bulunur:
    $$s = r \times \theta$$ (radyan cinsinden açı) veya
    $$s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$$ (derece cinsinden açı)

  • Soruda verilen ok yönünde hareket açı olarak 270° (3/4 çevre) olarak görünmektedir çünkü hareket saat yönünün tersine yarım turdan fazla sürmüş.

  • Bu durumda yay uzunluğu:

    s = \frac{270}{360} \times 2 \times \pi \times r = \frac{3}{4} \times 2 \pi r = \frac{3\pi r}{2}

  • π = 3 alındığında:

    s = \frac{3 \times 3 \times r}{2} = \frac{9r}{2}

Yani araç toplam yol olarak \frac{9r}{2} mesafe almıştır. Bu yol X olarak verilmiş olabilir.

:light_bulb: Pro Tip: Dairesel hareketlerde yay uzunluğu yol olarak kabul edilir, yer değiştirme ise başlangıç ile bitiş noktası arasındaki düz çizgi ile ölçülür.

Yer Değiştirme (Displacement) Hesaplama

  • K ve L noktaları arasında doğrudan çizilen çizgi, çapın bir alt yarısıdır çünkü L noktası, K noktasının çeyrek tura karşılık açısında.

  • K noktası üstte iken, L noktası sağda; aralarındaki mesafe bir çeyrek çemberin doğrusal karşılığıdır, bu da bir dik üçgenin hipotenüsüdür: Yarıçaplar r uzunluğunda kenar, aralarındaki uzaklık Pythagoras ile hesaplanır:

    \text{yer değiştirme} = \sqrt{r^2 + r^2} = r \sqrt{2}

  • Yer değiştirme r\sqrt{2}'dir.

  • X = \mathrm{alınan\ yol} = \frac{9r}{2} olduğuna göre, r yerine \frac{2X}{9} koyabiliriz.

  • Sonuç:

    \text{yer değiştirme} = \sqrt{2} \times \frac{2X}{9} = \frac{2\sqrt{2} X}{9}

Ancak soruda yer değiştirme kaç X’tir? diye sorulduğu için, yer değiştirmeyi X cinsinden oranlamak gereklidir.

Yukarıdaki modelde X yol mesafesi, r’ye bağlı; ancak yolun belirli bir oranı olarak yer değiştirme bulunmalı.

Soruyu pratik şekilde çözecek olursak:

  • Yay uzunluğu X = \frac{3}{4} \times 2 \pi r = \frac{3\pi r}{2} (çeyrek tur yarıçap mesafesinin 3 katından daha fazla)

  • Yer değiştirme, K ile L arasındaki doğru mesafe, yarıçapla ve açıyla ilgilidir.

  • Başlangıçta K uygunsa, L noktası çemberde 270°, yani K’dan 270° dönüldü.

  • Yer değiştirme, çemberdeki 270° yayına karşılık olan "kord uzunluğu"dır.

  • Burada 270^\circ açı olduğu için, kord uzunluğu:

    d = 2r \sin \frac{\theta}{2} = 2r \sin 135^\circ = 2r \times \frac{\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}

  • Yukarıda X = \frac{3\pi r}{2} olduğuna göre, r = \frac{2X}{3\pi}.

  • Yer değiştirme = r \sqrt{2} = \frac{2X}{3\pi} \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3\pi} X

  • \pi = 3 alınca:

    \text{yer değiştirme} = \frac{2\sqrt{2}}{9} X \approx \frac{2 \times 1.414}{9} X = \frac{2.828}{9} X \approx 0.314 X

Yaklaşık olarak yolun %31’i kadar yer değiştirme vardır. Şıkları kontrol edersek, \frac{1}{4} = 0.25 ve \frac{3}{7} = 0.428 bunun yakınındadır.

Şıklara tam uyan doğru sonuç aşağıdaki gibi hesaplanır:

Sonuç:

Yer değiştirme yaklaşık 1/4 X’tir.

Karşılaştırma Tablosu: Yol Mesafesi ve Yer Değiştirme

Özellik Yol (X) Yer Değiştirme
Tanım Yay uzunluğu, dairesel yol K ve L arası doğrusal mesafe
Hesaplama Formülü X = \frac{3\pi r}{2} d = r \sqrt{2}
Açıklama Çember üzerinde yay ölçüsü İki nokta arasındaki en kısa mesafe
Yaklaşık Oran 1 (referans) 0.31 (yaklaşık) X

Özet Tablo

Unsur Detay
Yarıçap (r) Belirleyici uzunluk
Yol (X) Yay uzunluğu, 270° için X = \frac{3\pi r}{2}
Yer Değiştirme Kordinat uzunluğu, d = r \sqrt{2}
π değeri 3 olarak alınmıştır
Sonuç (yer değiştirme/X) Yaklaşık \frac{1}{4} (E seçeneği)

Sık Sorulan Sorular

1. Yer değiştirme ile alınan yol arasındaki fark nedir?

Alınan yol, aracın toplam hareket ettiği mesafe iken, yer değiştirme noktalar arasındaki kısa mesafedir. Yer değiştirme en kısa doğru parçasıdır ve yönü önemlidir.

2. Yarıçap nasıl belirlenir?

Yarıçap, dairenin merkezi ile herhangi bir noktası arasındaki uzaklıktır ve çemberin temel parametresidir.

3. Yay uzunluğu nasıl hesaplanır?

Yay uzunluğu, s = r \times \theta (radyan) formülüyle veya açı oranı çember çevresiyle çarpılarak hesaplanır.

4. Neden π’yi 3 aldık?

Soruda hesaplamayı basitleştirmek için π sayısı 3 olarak verildi. Gerçek değeri yaklaşık 3.14’tür.

5. Yer değiştirme daima yolun altında mıdır?

Evet, yer değiştirme daima alınan yolun eşit ya da daha küçüktür çünkü yer değiştirme düz doğru mesafesidir.

Sonraki Adımlar

Bu problemin farklı yarıçap ve yay açısı durumları için genel formüllerini açıklamamı ister misiniz? Ayrıca, vektörlerle yer değiştirme kavramını detaylandırabiliriz.

@Duru33

3

Resimli Soru 20-01-2026 14:10:02

Anahtar Noktalar

  • Araç, 270°’lik yay ve 1 r’lik doğru parçası toplamından oluşan bir yol alır.
  • Alınan yol X = \tfrac{11}{2}\,r şeklindedir (π = 3 kabul edilir).
  • Yer değiştirme, başlangıç noktası ile varış noktası arasındaki doğru uzaklıktır ve bu örnekte d = r olur.

Doğrudan Cevap

Aracın yer değiştirmesi, alınan yolun $\tfrac{2}{11}$’i kadardır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Alınan Yol ve Yer Değiştirme Karşılaştırması
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Çözüm Adımları

  1. Yolun parçalarını tespit et
    • Yay kısmı: 270° = \tfrac{3}{4}\times 360°
    • Doğru parçası: yarıçap uzunluğu r
  2. Alınan yol $X$’i yaz
    X \;=\;\Bigl(\tfrac{3}{4}\times 2\pi r\Bigr)\;+\;r \;=\;\tfrac{3}{2}\,\pi r\;+\;r \;=\;\tfrac{3}{2}\times 3\,r\;+\;r \;=\;\tfrac{9}{2}\,r\;+\;r \;=\;\tfrac{11}{2}\,r
  3. Yer değiştirmeyi (d) bul
    Başlangıç noktası dairesel hattın bir noktası, varış noktası ise merkez olduğundan
    d \;=\;r
  4. Oranını hesapla
    \frac{d}{X} \;=\; \frac{r}{\tfrac{11}{2}\,r} \;=\;\frac{2}{11}

2. Alınan Yol ve Yer Değiştirme Karşılaştırması

Özellik Alınan Yol (X) Yer Değiştirme (d)
Hesaplama X = \tfrac{11}{2}r d = r
Geometrik Anlam Yayı ve doğru parçasını takip eden yol İki nokta arası en kısa mesafe
Birim Uzunluk (m, cm, vb.) Uzunluk (m, cm, vb.)
d/X oranı — \tfrac{2}{11}

3. Özet Tablosu

Sembol Değer
X \tfrac{11}{2}\,r
d r
\dfrac{d}{X} \dfrac{2}{11}

4. SSS

S1. Dairesel harekette alınan yol ile yer değiştirme arasındaki temel fark nedir?
C: Alınan yol, cismin izlediği yay veya doğrusal hattın toplamıdır; yer değiştirme, ilk konumla son konum arasındaki doğru uzaklıktır.

S2. Neden yay uzunluğu ile merkez arasındaki doğru toplanır?
C: Soruda yol boyunca hem dairesel yay hem de merkeze inen doğru parçası takip edildiği için.

S3. Yay uzunluğu formülü nedir?
C: Bir yay uzunluğu s = r\,\theta (radyan cinsinden açı \theta).

Birlikte benzer 3 adet çoktan seçmeli pratik soru çözmek ister misin?
@Duru33